20届高考数学一轮(江苏版)习题-第5讲指数与指数函数.doc

第5讲　指数与指数函数
一、填空题
1.×0＋×－＝________.
解析　原式＝＝2.
答案　2
2．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析　∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.
答案　m>n
3．(2017·衡水中学模拟改编)若a＝x，b＝x2，c＝x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是________(从小到大)．
解析　当x>1时，0<a＝x<，b＝x2>1，c＝x<0，所以c<a<b.
答案　c<a<b
4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，给出下列结论：

①a>1，b<0；
②a>1，b>0；
③0<a<1，b>0；
④0<a<1，b<0.
其中判断正确的结论有________(填序号)．
解析　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.
函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
答案　④
5．(2017·南京、盐城一模)已知c＝则a，b，c的大小关系是________．
解析　∵y＝x在R上为减函数，>，∴b<c.
又∵y＝在(0，＋∞)上为增函数，>，
∴a>c，∴b<c<a.
答案　b<c<a
6．(2017·南京调研)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)＝________.
解析　∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，
∴x1＋x2＝0.
又∵f(x)＝ax，
∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.
答案　1
7．(2017·南通调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
解析　由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
答案　[2，＋∞)
8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
解析　f(x)＝
当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，
当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案　e
二、解答题
9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解　(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又∵x>0，∴a>1.
因此a>1时，f(x)>0.
10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<
－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，
即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，
故原不等式的解集为.
11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
解析　因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－x，
令f(x)＝x－x，
则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)>f(0)＝0－0＝－1，所以a>－1.
答案　(－1，＋∞)
12．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论：
①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；
③2－a<2c；④2a＋2c<2.
其中一定成立的是________(填序号)．
解析　

作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示，
∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知a<0,0<c<1，
∴0<2a<1,1<2c<2，
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.
答案　④
13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.

解析　依题意，f(1)＝，∴a＝，
∴f(x)＝x，x>0.当x<0时，－x>0.
∴g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x.
答案　－2x(x<0)
14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解　(1)∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数．
又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，
又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.