第10讲整式化简与整式除法(核心考点讲与练)-(原卷版).docx

第10讲整式化简与整式除法（核心考点讲与练）

一．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
二．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
三．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
四．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
五．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
六．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

一．整式的混合运算—化简求值（共5小题）
1．（2021秋•利通区期末）先化简再求值：4（m+1）2﹣（2m+5）（2m﹣5），其中m＝﹣3．

2．（2021秋•杭州期末）已知M＝（ab﹣4a2）﹣8ab，N＝2a（a﹣b），求M+N的值，其中a＝﹣1，b＝．

3．（2021秋•沙坪坝区校级期末）先化简，再求值：2x2+2（x2﹣xy）+（y﹣x）（y+3x），其中x＝，y＝﹣1．

4．（2021秋•嵩县期末）（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值；
（2）先化简，再求值：[（x﹣3y）2﹣x（2x﹣4y）+x2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝2．

5．（2021•兰山区模拟）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：
3x3﹣4x2﹣35x+8＝x（3x2﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值为1008．
请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为：　 　，当x＝8时，这个多项式的值为 　 　．
二．同底数幂的除法（共4小题）
6．（2021秋•兰考县期末）若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为 　 　．（用含a、b的代数式表示）
7．（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．

8．计算：[（xn+1）4•x2]÷[（xn+2）3÷（x2）n]．

9．（2021春•奉化区校级期末）（1）已知a+4＝﹣3b，求3a×27b的值；
（2）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．

三．整式的除法（共3小题）
10．（2021秋•泉港区期末）计算：（6x2y﹣2xy2）÷2xy＝　 　．
11．（2020秋•奉贤区期末）计算：（6x3+3x2﹣2x）÷（﹣2x）﹣（x﹣2）2．

12．（2021秋•椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：

因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值．

四．整式的混合运算（共3小题）
13．（2021秋•镇海区期末）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（　　）

A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长
14．（2021春•浦江县期末）计算
（1）a2÷a3•（﹣3a）2； （2）（8x2﹣12x3+16x）÷4x．

15．（2021秋•萧山区期中）将7张如图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S＝S1﹣S2，周长差为C＝C1﹣C2．
（1）当a＝7，b＝2，AD＝28时，求：①长方形ABCD的面积；②S及C的值；
（2）当b＝2，AD＝28时，请用含a的代数式表示S的值；
（3）当AD的长度变化时，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，若C1与C2始终相等，求a，b满足的关系式．

五．零指数幂（共4小题）
16．（2021秋•应城市期末）20200＝　 　．
17．（2021春•江北区期中）若（1﹣x）2﹣3x＝1，则x＝　 　．
18．（2021春•七星关区期末）计算：（π﹣3.14）0＝　 　．
19．（2020春•安吉县期末）计算：（﹣2）3+（π﹣3）0．
六．负整数指数幂（共4小题）
20．（2022•海曙区校级开学）计算：（﹣）﹣1＝　 　．
21．（2020秋•奉贤区期末）计算（）﹣2＝　 　．
22．（2021•湖州）计算：2×2﹣1＝　 　．
23．（2013春•温岭市校级期中）计算：
（1）

（2）（3x3y2z﹣1）﹣2•（5xy﹣2z3）2．

分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共9小题）
1．（2021•南浔区二模）计算a8÷a4，正确的结果是（　　）
A．4 B．a4 C．a2 D．4a
2．（2021春•慈溪市期末）计算：3﹣1＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
3．（2020秋•齐齐哈尔期末）已知m+n＝2，mn＝﹣2．则（1+m）（1+n）的值为（　　）
A．6 B．﹣2 C．0 D．1
4．（2021•苍南县一模）计算﹣2a4÷a，正确结果是（　　）
A．16a3 B．﹣16a3 C．﹣2a4 D．﹣2a3
5．（2021•下城区一模）下列计算结果是负数的是（　　）
A．2﹣3 B．3﹣2 C．（﹣2）3 D．（﹣3）2
6．（2021春•拱墅区校级期中）已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a＜d＜c＜b D．b＜c＜a＜d
7．（2021春•诸暨市期末）一质点P从距原点8个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为（　　）

A．2﹣2018 B．2﹣2019 C．2﹣2020 D．2﹣2021
8．（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（　　）
A．2y3﹣3xy2+4 B．3y3﹣2xy2+4 C．3y3+2xy2+4 D．2xy2﹣3y3+4
9．（2020秋•宁波期末）已知长方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当S2﹣S1＝3b时，AB＝（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7
二．填空题（共5小题）
10．（2021秋•青山区期末）计算30＝　 　．
11．（2021秋•巴南区期末）计算：（﹣2022）0+（）﹣1＝　 　．
12．（2021•凉山州模拟）已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2＝　 　．
13．（2021秋•桐柏县期末）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为　 　．
14．（2021春•拱墅区校级期中）若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b的取值无关，则常数k的值 　 　．
三．解答题（共4小题）
15．（2021春•鹤城区期末）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）+（x﹣2）2﹣4x（x﹣1），其中x＝2．

16．（2020秋•紫阳县期末）先化简，再求值：（﹣x﹣2y）（2y﹣x）+（x+2y）2﹣x（2y﹣x），其中x＝﹣，y＝2．

17．（2021春•永嘉县校级期中）当x＝时，求x（4x+3）﹣（2x+）（2x﹣）的值．

18．（2021秋•台州期末）计算：
（1）3﹣2+120； （2）x2y3z÷（2xy）2．

题组B 能力提升练
一．填空题（共7小题）
1．（2021春•贺兰县期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝　 　．
2．（2020春•单县期末）已知32m＝5，32n＝10，则9m﹣n+1的值是　 　．
3．（2021春•拱墅区校级期中）若（a﹣3）a+1＝1，则a＝　 　．
4．（2021春•奉化区校级期末）已知长方形的面积为4a2﹣9b2，其中长为2a+3b，则宽为　 　．
5．（2020秋•五常市期末）计算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝　 　．
6．（2020秋•临河区期末）已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　 　．
7．（2016春•金堂县期末）已知m＝，n＝，那么2016m﹣n＝　 　．
二．解答题（共12小题）
8．（2021春•长兴县月考）先化简，再求值：（x﹣3）（x+3）﹣（x﹣1）2，其中x＝．

9．（2021•义乌市模拟）先化简，再求值：（2x﹣y）2+y（3x﹣2y），其中x＝1，y＝2．

10．（2021春•诸暨市月考）（1）化简求值：已知（x﹣3）2+|x﹣2y+5|＝0，求代数式：﹣3x2y﹣2[3x2y﹣2（xy+x2y）]﹣3xy的值．
（2）关于x的代数式（3﹣ax）（x2+3x﹣1）的展开式中不含x2项，求a的值．

11．（2021春•西湖区校级期中）（1）已知m，n是系数，且mx2﹣2xy+y与3x2+2nxy+3y的差中不含二次项，求m2+2mn+n2的值．
（2）设b＝2am，是否存在实数m使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．

12．（2021春•婺城区校级期中）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．

13．（2021春•江干区期末）某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为a米的两条小路，其余部分修建花圃．
（1）用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简；
（2）记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2，若5S2﹣3S1＝10a2，求的值．

14．（2020秋•宝鸡期末）定义一种新运算：观察下列各式：
1⊙3＝1×4+3＝7，
3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11，
5⊙4＝5×4+4＝24，
4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．
（1）请你想一想：a⊙b＝　 　；
（2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝﹣1，b＝2．

15．（2020•莲池区一模）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，
（1）按照这个规定，请你计算的值；
（2）按照这个规定，请你计算：当x2﹣4x+4＝0时，的值．

16．（2018春•杭州期中）先化简再求值：
（1）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（2）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．

17．（2018春•衢州期中）黄老师在黑板上布置了一道题，小亮和小新展开了下面的讨论：

根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？

18．（2020春•高新区期中）阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2，
得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014．
将下式减去上式，得2S﹣S＝22014一1
即S＝22014一1，
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+3100
（2）1++…+．

19．（2020春•白云区期末）先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7
原式＝（a+3）（a+7）﹣a2
＝a2+10a+21﹣a2
＝10a+21
把a＝0.1468代入
原式＝10×0.1468+21＝22.468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682＝22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．