资源描述
第12讲 二次函数
【考点导引】
1.理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．
4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【难点突破】
1. 二次函数，配方为，顶点坐标是(，)，对称轴是a＝，与y轴交点坐标是(0，c)，与x轴交点的横坐标是的根，当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x轴、y轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a、b、c关系，再结合对称轴x＝，确定a、b之间等量关系，判断与x轴交点情况则利用判别式b2－4ac．
3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为：
（1）上下平移：抛物线y=a(x－h)2+k向上平移m（m>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h)2+k+m；抛物线y=a(x－h)2+k向下平移m（m>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h)2+k－m．
（2）左右平移：抛物线y=a(x－h)2+k向左平移n（n>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h+n)2+k；抛物线y=a(x－h)2+k向右平移n（n>0）个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x－h－n)2+k. 特别地，要注意其中的符号处理．
【解题策略】
1. （1）二次函数＝（≠0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系：
，，
的代数式
决定图象特征
说明
决定抛物线的开口方向
＞0
开口向上
＜0
开口向下
决定抛物线与轴交点的位置，交点坐标为（0，）
＞0
与轴交点在轴上方
＝0
抛物线过原点
＜0
与轴交点在轴下方
决定对称轴的位置，对称轴为直线＝
＞0
对称轴在轴左侧
＜0
对称轴在轴右侧
＝0
对称轴是轴
决定抛物线与轴交点的个数
＞0
与轴有两个交点
＝0
与轴有一个交点
＜0
与轴没有交点
（2）二次函数＝（≠0）的图象与轴两个交点的横坐标就是一元二次方程＝0（≠0）的两个根．
2. 在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面、全程的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，其次，要分清运动过程中不同的位置关系，找到相邻两种状态的分界点，例如这道题的分界点是x=2，根据不同的情况分类讨论，画出图形，然后把图中的线段用含有运动时间t或者自变量x的代数式表示出来，然后考虑构建方程、不等式或函数关系式；
3. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x轴、y轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a、b、c关系，再结合对称轴x＝，确定a、b之间等量关系，判断与x轴交点情况则利用判别式b2－4ac．
4. 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种：
（1）把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较大小；
（2）当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；
（3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小.
【典例精析】
类型一：二次函数的图象及性质
【例1】( 2019甘肃省兰州市) （5分）已知，点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）
A. 2> y1> y2 B. 2 > y2 > y1 C. y1> y2>2 D. y2 > y1>2
类型二：利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例2】(2019，四川成都，3分）如图，二次函数的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.图象的对称轴是直线
类型三：二次函数图象的平移
【例3】（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
类型四：确定二次函数的解析式
【例4】.(2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
图1 图2
类型五：二次函数的实际应用
【例5】（2019▪贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
类型六：二次函数与几何图形的综合应用
【例6】（2019•山东省滨州市 •14分）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．
【真题检测】
1. （2019•浙江衢州•3分）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3）
2. （2019•山东省济宁市 •3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
3. （2019▪广西河池▪3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（ ）
A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
4. （2019•山东省德州市 •4分）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使＜0成立的是（ ）
A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）
C．y＝﹣（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
5. （2019•江苏连云港•3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．18 m2 C．24 m2 D．m2
6. （2019•甘肃武威•4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
7. （2019•湖北天门•3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
8. （2019•四川省凉山州•5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是 ．
9. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 ．
10. （2019•湖北省鄂州市•10分）“互联网+”时代上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
11. （2019•湖北省咸宁市•12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
7
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
