2017-2021北京初二(上)期中数学汇编：因式分解的定义.docx

2017-2021北京初二（上）期中数学汇编
因式分解的定义
一、单选题
1．（2021·北京市八一中学八年级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A．x2-9=(x-3)2 B．(x+1)2=x2+2x+1
C．x2-4=(x+2)(x-2) D．x+2=x1+2x
2．（2019·北京·临川学校八年级期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（       ）．
A．x2-1+y2=x+1x-1+y2                  B．x2-1=x+1x-1
C．xa-b=ax-bx D．ax+bx+c=xa+b+c
3．（2018·北京四中八年级期中）下列各式变形中，是因式分解的是（       ）
A．a2-2ab+b2-1=(a-b)2-1 B．2x2+2x=2x21+1x
C．(x+2)(x-2)=x2-4 D．x4-1=x2+1(x+1)(x-1)
4．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ）
A．x+2x-2=x2-4 B．x2+4x+4=xx+4
C．x2-2x+1=x-12 D．mx-y=mx-my
5．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）下列各式由左到右是分解因式的是（　　　）
A．x2+6x-9=(x+3)(x-3)+6x B．(x+2)(x-2)=x2-4
C．x2-2xy-y2=(x-y)2 D．x2-8x+16=(x-4)2
6．（2018·北京市第三十一中学八年级期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（       ）．
A．x(a-b)=ax-bx B．x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2
C．x2-1=(x+1)(x-1) D．ax+bx+c=x(a+b)+c
7．（2020·北京·101中学八年级期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（        ）
A．x2-9=(x+3)(x-3)
B．x2+5x-1=x(x+5)-1
C．x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
D．(x+2)(x-2)=x2-4
8．（2021·北京四中八年级期中）下列变形属于因式分解的是（   ）
A．x+2x-2=x2-4 B．x-1=x1-1xx≠0
C．x3+2x2+1=x2x+2+1 D．x2-9=x+3x-3
9．（2018·北京市第四十四中学八年级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A．x2+2x+3=(x+1)2+2 B．(x+y)(x-y)=x2-y2
C．x2-xy+y2=(x-y)2+xy D．2x-2y=2(x-y)
10．（2021·北京·清华附中朝阳学校八年级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A．2a2-2a+1=2a(a-1)+1 B．(x+y)(x-y)=x2-y2
C．x2-6x+5=(x-5)(x-1) D．x2+y2=(x-y)2+2xy
11．（2019·北京师大附中八年级期中）下列各式分解因式正确的是（       ）
A．(a2+b2)-(a+b)=(a+b)(a+b-1) B．3x2-6xy-x=x(3x-6y)
C．a2b2-14ab3=14ab3(4a-b) D．x2-5x-6=(x+1)(x-6)
12．（2019·北京市第二十二中学八年级期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（     ）．
A．a(a+b-1)=a2+ab-a B．a2-a-2=a(a-1)-2
C．-4a2+9b2=-(2a+3b)(2a-3b) D．2x+1=x(2+1x)
13．（2019·北京市第五中学分校八年级期中）下列分解因式正确的是（     ）
A．x3−𝑥=𝑥(x2−1) B．m2+𝑚−6=(𝑚+3)(𝑚−2)
C．(𝑎+4)(𝑎−4)=a2−16 D．x2+y2=(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
14．（2019·北京市三帆中学八年级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(       )
A．a+2a-2=a2-4 B．ab+ac+d=ab+c+d
C．x2-9=x-32 D．a2b-ab2=ab(a-b)
15．（2020·北京市第六十六中学八年级期中）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1
C．a+ax+ay＝a（x+y） D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
16．（2018·北京·101中学八年级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（       ）
A．x3-xy2=x(x-y)2 B．(x+2)(x-2)=x2-4
C．-2x2-2xy=-2x(x+y) D．x2+2x+1=x(x+2)+1
17．（2018·北京师大附中八年级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A．(x+2y)(x-2y)=x2-4y2 B．3(a+b)=3a+3b
C．ax-ay=a(x-y) D．2a2-2a=2a2(1-1a)
18．（2018·北京·清华附中八年级期中）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x+2）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
19．（2019·北京四中八年级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．4x2-1=(2x+1)(2x-1) B．a(x+y+1)=ax+ay+a
C．(x+3y)(x-3y)=x2-9y2 D．a2c-a2b+1=a2(c-b)+1
20．（2018·北京市月坛中学八年级期中）下列各式是因式分解且完全正确的是（        ）
A．ab＋ac＋d=a(b＋c）＋d B．a2－1=（a＋1）（a－1）
C．（a＋2）（a－2）=a2－4 D．x3-x=x(x2-1)
21．（2019·北京八中八年级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A．a(b-c)=ab-ac B．x2-2x+3=x-12+2
C．x2-4=x+2x-2 D．(x+1)(x+2)=x2+3x+2
22．（2018·北京铁路二中八年级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）.
A．(x+2y)(x-2y)=x2-4y2 B．x2y-xy2-1=xy(x-y)-1
C．ax+ay+a=a(x+y) D．x2-4xy+4y2=(x-2y)2
23．（2018·北京市第七中学八年级期中）下列各式是因式分解且完全正确的是（        ）
A．ab＋ac＋d=a(b＋c）＋d B．x3-x=x(x2-1)
C．（a＋2）（a－2）=a2－4 D．a2－1=（a＋1）（a－1）
24．（2018·北京铁路二中八年级期中）下列各式不能分解因式的是（     ）
A．2x2-4x B．x2+x+14 C．x2+9y2 D．1-m2
二、填空题
25．（2019·北京市第一五六中学八年级期中）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为x-1x+3，则k+b的值为______.
26．（2018·北京四中八年级期中）若a2+b2-2a-6b+10=0，则a+b=__________．
27．（2019·北京八中八年级期中）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为(x-1)(x-3)，则k+b的值为__．
三、解答题
28．（2019·北京交通大学附属中学八年级期中）仔细阅读下面例题，解答问题：例题: 已知二次三项式x2   - 4x + m 有一个因式是 ( x + 3) ，求另一个因式以及 m 的值.
解：设另一个因式为 ( x + n) ，得x2   - 4x + m = ( x + 3) ( x + n)     
则x2   - 4 x + m = x2   + (n + 3) x + 3n    
∴n+3=-4m=3n
解得： n = -7, m = -21     
∴   另一个因式为 ( x - 7) ， m 的值为－21   .
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．

参考答案
1．C
【分析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．
【详解】
解：A、x2-9=(x+3)(x-3)，则原等式不成立，此项不符题意；
B、(x+1)2=x2+2x+1等式的右边不是乘积的形式，则此项不符题意；
C、x2-4=(x+2)(x-2)是因式分解，此项符合题意；
D、x+2=x1+2x等式右边中的2x不是整式，则此项不符题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．
2．B
【分析】
根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】
解：A、x2-1+y2=x+1x-1+y2  两因式之间用加号连结，是和的形式不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2-1=x+1x-1是因式分解，故本选项符合题意；
C、xa-b=ax-bx将积化为和差形式，是多项式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、ax+bx+c=xa+b+c两因式之间用加号连结，是和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ．
3．D
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故A错误；
B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故B错误；
C、等式的右边不是整式的积的形式，故C错误；
D、是因式分解，故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．
4．C
【分析】
根据因式分解的定义判断即可．
【详解】
解：A，D选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意；
B选项，x2+4x+4=（x+2）2，所以该选项不符合题意；
C选项，x2-2x+1=（x-1）2，符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
5．D
【分析】
根据分解因式的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．等式右边不是整式的积，由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，注意：把多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式，准确把握定义是解题关键．
6．C
【分析】
根据因式分解的定义逐一判断即可．
【详解】
解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，只有x2-1=(x+1)(x-1)符合该定义，
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7．A
【分析】
因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用多项式的因式分解的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：x2-9=x2-32=(x+3)(x-3)，故A是因式分解；
x2+5x-1=x(x+5)-1，结果不是整式的积的形式，故B不是因式分解；
x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x，结果不是整式的积的形式，故C不是因式分解；
(x+2)(x-2)=x2-4，是整式的乘法运算，故D不是因式分解；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是多项式的因式分解，掌握多项式的因式分解的定义是解题的关键．
8．D
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
9．D
【分析】
通过因式分解的定义判断即可；
【详解】
A选项，x2+2x+3=(x+1)2+2不是因式分解，错误；
B选项，(x+y)(x-y)=x2-y2不是因式分解，错误
C选项，x2-xy+y2=(x-y)2+xy不是因式分解，错误：
D选项，2x-2y=2(x-y)是因式分解，正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的定义应用，准确理解是解题的关键．
10．C
【分析】
根据因式分解的定义判断即可．
【详解】
A. 2a2-2a+1=2a(a-1)+1结果不是乘积的形式,不是因式分解,不满足题意;       
B. (x+y)(x-y)=x2-y2是整式运算,不满足题意;
C. x2-6x+5=(x-5)(x-1)是因式分解,满足题意;
D. x2+y2=(x-y)2+2xy,结果不是乘积的形式不是因式分解,不满足题意;
故选C．
【点睛】
本题考查分辨因式分解的题型,关键在于熟记定义．
11．D
【分析】
利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．
【详解】
A. (a2+b2)-(a+b)≠(a+b)(a+b-1)，故此选项因式分解错误，不符合题意；
B. 3x2-6xy-x=x(3x-6y-1)，故此选项因式分解错误，不符合题意；
C. a2b2-14ab3=14ab2(4a-b)，故此选项因式分解错误，不符合题意；
D. x2-5x-6=(x+1)(x-6)，故此选项因式分解正确，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解．
12．C
【分析】
根据因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可．
【详解】
解：A、B中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解；
C、运用平方差公式进行的因式分解；
D、不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解．
故选C．
【点睛】
因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解，理解因式分解的定义是解决此类问题的关键．
13．B
【详解】
A：错误，没有分解完全，应该分解为xx+1x-1
B：正确
C：错误，不是分解因式，而是把因式变成了多项式
D：错误，两数的平方和不能分解，；两数的平方差才能分解
【点睛】
本题主要考查了因式分解的基本概念性质，熟练掌握相关概念是解题关键
14．D
【分析】
根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可.
【详解】
解:A、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;
B、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;
C、等式右边应该是(x+3)(x-3),故不符合题意,故本选项错误.
D、等式右边是几个因式积的形式,故是分解因式,故本选项正确;
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义,解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.
15．D
【分析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
A、（a+2）（a-2）=a2-4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；
B、x2+x-1=（x-1）（x+2）+1，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项错误；
C、a+ax+ay=a（1+x+y），故此选项错误；
D、a2b-ab2=ab（a-b），从左到右的变形，是因式分解，故此选项正确．
故选D．
【点睛】
考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．
16．C
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】
A. 没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故A错误；
B. 是整式的乘法，故B错误；
C. 把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C正确；
D. 没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义.
17．C
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】
A. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C. 是因式分解，故本选项正确；
D. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选:C.
【点睛】
考查因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
18．D
【分析】
根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．
【详解】
A选项：12xy2=3xy⋅4y不是因式分解，故是错误的；
B选项：x+1x-3=x2-2x-3，结果不是乘积形式，故是错误的；
C选项：x2-4x+1=xx-4+1，结果不是乘积形式，故是错误的；
D选项： x3-x=xx+1x-1，结果是乘积形式，故是正解的；
故选D.
【点睛】
考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并且结果是积的形式．
19．A
【详解】
因式分解的概念：把一个多项式在一个范围化为几个整式积的形式，这种式子的变形叫做因式分解，由因式分解的概念不难判断只有A选项属于因式分解.
故选A.
点睛：掌握因式分解的概念.
20．B
【详解】
解：A．没把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C．整式的乘法，故C错误；
D．还可以再分解，故D错误；
故选B．
点睛：本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，注意分解要彻底．
21．C
【详解】
试题解析：A. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C. 是因式分解，故本选项正确；
D. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选C.
点睛：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
22．D
【详解】
A选项中，从左至右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，所以不能选A；
B选项中，等式右边是两个整式的差，所以从左至右的变形不是因式分解，不能选B；
C选项中，等号左右两边不相等，所以从左至右的变形不是因式分解，不能选C；
D选项中，从左至右的变形是因式分解，所以可以选D.
故选D.
23．D
【详解】
A.没把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B.还可以再分解，故B错误；
C.整式的乘法，故C错误；
D.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选D.
24．C
【详解】
选项A. 2x2-4x=2x(x-2) .
选项B. x2+x+14=(x+12 )2 .
选项C. x2+9y2 ,不能分.     
选项D. 1-m2=(1-m)(1+m).
故选C.
25．-1
【分析】
将x-1x+3展开，即可得到k，b的值，再计算k+b即可.
【详解】
由题意得x2+kx+b=x-1x+3=x2+2x-3，
∴k=2，b=-3，
∴k+b=2-3=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查已知因式分解结果求参数，掌握整式乘法与因式分解的关系是解题的关键.
26．4
【详解】a2+b2-2a-6b+10=0
(a-1)2+(b-3)2=0,a=1,b=3,所以a+b=4.
故答案为4.
27．-1
【详解】
∵x2+kx+b=(x-1)(x-3)=x2-4x+3，
∴k=-4，b=3，
∴k+b=-4+3=-1.
故答案为-1.
28．（1）x+4，k=20；（2）3x+1，a=2．
【分析】
（1）设另一个因式是（x+b），则（2x-5）（x+b）=2x2+2bx-5x-5b=2x2+（2b-5）x-5b=2x2+3x-k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．
（2）设另一个因式是（3x+m），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
（1）设另一个因式是（x+b），则
（2x-5）（x+b）=2x2+2bx-5x-5b=2x2+（2b-5）x-5b=2x2+3x-k，
则2b-5＝3-5b＝-k ，
解得： b＝4k＝20．
则另一个因式是：x+4，k=20．
（2）设另一个因式是（3x+m），则
（2x+a）（3x+m）=6x2+（2m+3a）x+am=6x2+4ax+2，
则 2m+3a＝4aam＝2 ，
解得a＝2m＝1 或 a＝-2m＝-1 ，
另一个因式是3x-1，a的值是-2（不合题意舍去），
故另一个因式是3x+1，a的值是2．
【点睛】
此题考查因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题关键．
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