2017-2021北京初二(上)期中数学汇编：勾股定理.docx

2017-2021北京初二（上）期中数学汇编
勾股定理
一、单选题
1．（2017·北京东城·八年级期中）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（       ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
2．（2021·北京朝阳·八年级期中）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（　　）
A．3 B．5 C．3 D．3或5
3．（2017·北京东城·八年级期中）如图，字母B所代表的正方形的边长是（　　）

A．194 B．144 C．13 D．12
4．（2021·北京朝阳·八年级期中）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（　　）

A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．24平方厘米 D．3平方厘米
5．（2019·北京昌平·八年级期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出了2个小正方形（如图①），其中，3个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，又生出了4个小正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，在“生长”了2019次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
6．（2019·北京昌平·八年级期中）已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则此三角形的周长是（       ）．
A．22 B．23 C．21 D．24
7．（2017·北京东城·八年级期中）等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则该三角形的面积等于（       ）．
A．6 B．12 C．24 D．40
8．（2017·北京东城·八年级期中）在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（       ）．
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4
C．a=4，b=5，c=6 D．a=5，b=12，c=13
9．（2017·北京东城·八年级期中）如图，已知矩形ABCD，AD=24，CD=16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动而点R不动时，若CR=9，则EF=（       ）．

A．12 B．12.5 C．9 D．不能确定
10．（2017·北京西城·八年级期中）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开6米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（       ）．
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
11．（2017·北京西城·八年级期中）以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（       ）．
A．2，3，4 B．5，12，12 C．1，2，3 D．6，8，9
12．（2017·北京丰台·八年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是（       ）

A．1 B．3 C．2 D．23
13．（2018·北京西城·八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：

①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.
其中说法正确的是(     )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
14．（2021·北京大兴·八年级期中）三角形的两边长分别为1cm和2cm，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是______cm．
15．（2018·北京西城·八年级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是___.

16．（2018·北京西城·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=15，AC=92，AD⊥BC于D，∠ACB=45º, 则BC的长为__________

17．（2017·北京西城·八年级期中）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为______．

18．（2017·北京东城·八年级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是__________三角形．

19．（2017·北京东城·八年级期中）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，写出你比较熟悉的一组勾股数：___________．
20．（2017·北京丰台·八年级期中）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为_____．

21．（2018·北京西城·八年级期中）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，且AD＝12，则BC＝_．
三、解答题
22．（2021·北京大兴·八年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，AB=8，求BC的长．

23．（2020·北京延庆·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠CAB =90°，BC=8 cm，∠ABC＝30°，点D从点B出发，以每秒2cm的速度在射线BA上匀速运动，当点D运动多少秒时，以C，D，B为顶点的三角形恰为等腰三角形？（结果可含根号）．

24．（2018·北京西城·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC=15.
求（1）△ABC 的面积；
（2）斜边AB上的高CD.

25．（2017·北京海淀·八年级期中）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C且与AB平行．点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转90°，与直线BC交于点E．
（1）如图1，若点E在BC的延长线上，请直接写出线段AD、DE之间的数量关系．
（2）依题意补全图2，并证明此时（1）中的结论仍然成立．
（3）若AC=5，CD=42，请直接写出CE的长．

26．（2017·北京东城·八年级期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为1000元/m，问：当水渠的造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少元？

27．（2017·北京海淀·八年级期中）如图∠BAC=45°,BD:DC:BC=3:4：5,AD=4,∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°,求四边形ABDC的面积．

参考答案
1．D
【分析】
由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
解：由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为7．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2．A
【分析】
根据题意得出AC为斜边，AB为直角边，所以BC用勾股定理可求．
【详解】
解：∵∠B是直角，
∴AC为△ABC的斜边，AB为直角边，

∴BC＝AC2-AB2=22-12=3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是用勾股定理进行计算．
3．D
【分析】
正方形的面积就是三角形斜边和直角边的平方，字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，计算得出字母B面积的算数平方根即可．
【详解】
解：如图：

根据勾股定理可以得出：
B的面积=169-25=144，
B所代表的正方形的边长=144=12．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题关键．
4．A
【分析】
根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．
【详解】
根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：25-9＝4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为：12×9×4＝6（平方厘米）．
故选：A
【点睛】
本题考查了勾股定理和直角三角形面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的一半是解题的关键．
5．C
【分析】
根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】
设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，
所以，生长1次后，所有的正方形的面积和是2，
同理可得，生长2次后，所有的正方形的面积和是3，生长3次后，所有的正方形的面积和是4，⋯⋯所以，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．
故选C．

【点睛】
此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
6．D
【分析】
根据勾股定理求出斜边长，计算即可．
【详解】
由勾股定理得，此三角形的斜边长=62+82=10，
∴此三角形的周长=6+8+10=24，
故选D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
7．B
【详解】
如图等腰△ABC，过顶点C作AD⊥BC，
∴BD=12BC，
∵底边BC=8，
∴BD=4，
∵AB=5，
∴AD=3，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×8×3=12．
故选B．

8．D
【详解】
A、1.52+22=254≠32=9，故选项A错误；
B、22+32=13≠42=16，故选项B错误；
C、42+52=41≠62=36，故选项C错误；
D、52+122=169=132=169，故选项D正确．
故选D.
点睛:本题考查了勾股定理逆定理的应用,如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
9．B
【详解】
连接AR．

∵∠ADC=90°,
AD=24,DR=DC-CR=16-9=7,
∴AR=AD2+RD2=25．
又∵△ARP中，
E为AP中点，
F为PR中点，
∴EF=12AR=252,
∴EF=12.5
故选B.
点睛：此题主要考查了勾股定理及三角形的中位线定理，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理是解答本题的关键.
10．C
【详解】
如图所示：

根据题意BC=6m，
设AB=xm，则AC=(x+2)m．
在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2
x2+62=(x+2)2
解得x=8，
∴AB=8m．
故选C．
11．C
【详解】
根据勾股定理可判断，若a2+b2=c2，则称三角形为直角三角形．
A．22+32=13≠42．
B．52+122=169≠122．
C．12+(2)2=3=(3)2．
D．62+82=100≠92．
故选C．
12．B
【详解】
找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB
+PE的最小值，求出即可.
解：连接DE交AC于P，连接DE，DB，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）.
在Rt△ADE中，DE=AD2-AE2=3.
即PB+PE的直线值为3.
故选B.
“点睛”本题主要考查轴对称. 最短路线问题，勾股定理等知识点．确定P点的位置是解答此题的关键.
13．B
【详解】
可设大正方形边长为a,小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4;
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得S△=xy2 ，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以4×xy2+4=49，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，所以(x+y)2=94   所以x+y=94，因而式④不正确．
故答案为B．
14．5或3##3或5
【分析】
利用勾股定理的逆定理进行分类讨论即可解出答案．
【详解】
解：∵三角形的两边长分别为1cm和2cm，
∴可设第三边为x cm，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2=12+22，解得x=5；
当x是直角边时，x2+12=22，解得x=3．
故答案为：5或3
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握是勾股定理是解题的关键．
15．5
【分析】
首先利用勾股定理计算出BO的长，然后再根据AO=BO可得答案．
【详解】
OB=22+12=5，
∵OB=OA，
∴点A表示的实数是5，故答案为5.
【点睛】
本题考查实数与数轴、勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用.
16．21
【分析】
在Rt△ADC中利用勾股定理可以求得AD、DC的长，继而在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长，由BC=BD+CD即可得.
【详解】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ACB=45°，∴∠DAC=90°-∠ACB=45°，
∴AD=DC，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，AC=92，
∴AD=CD=9，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，AB=15，
∴BD=12，
∴BC=BD+DC=12+9=21，
故答案为21.
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.
17．20cm
【详解】BO=15-AB=12cm
OC=20-CD=16cm．

在Rt△OBC中，∠O=90°，
∴BC=OB2+OC2=20(cm)．故答案为;20cm.
18．直角三角形
【详解】
∵AB2=32+22=13，BC2=42+62=52，AC2=12+82=65，
∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC为直角三角形．
点睛：本题考查了勾股定理逆定理的应用，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
19．3，4，5（答案不唯一）
【详解】
∵32+42=52符合a2+b2=c2．
∴我较熟悉的一组勾股数是：3，4，5（答案不唯一）.
20．102+（x﹣5+1）2=x2
【详解】
试题分析：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x﹣5+1）2=x2．
故答案为102+（x﹣5+1）2=x2．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
21．14或4
【详解】
：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2-AD2=132-122=25，
∴BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2-AD2=152-122=81，
∴CD=9，
∴BC的长为BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2-AD2=132-122=25，
∴BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2-AD2=152-122=81，
∴CD=9，
∴BC的长为DC-BD=9-5=4．
故答案为14或4．
22．BC的长为27
【分析】
根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】
解：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=8
由勾股定理可得
BC=AB2-AC2=82-62=28=27

所以BC的长为27
【点睛】
此题主要考查了勾股定理解直角三角形，勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．43或4或433秒
【分析】
根据等腰三角形的性质分类讨论即可；
【详解】
解：设运动时间为t
当CD=CB时

BD=83，
∴t=43．
当BC=BD时，

BD=8，
∴t=4．
当DC=DB时，

BD=833，
∴t=433．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确分析相等线段是解题的关键．
24．SΔABC=150，CD=12
【分析】
（1）首先利用勾股定理求得AC，进而得出三角形面积即可；
（2）利用三角形的面积求得AB上的高CD即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，
∴AC＝AB2-BC2＝252-152＝20，
∴△ABC的面积＝12×20×15＝150；
（2）∵12×AB•CD＝12×AC•BC
∴CD＝AC•BCAB＝20×1525＝12．
【点睛】
此题考查三角形的面积，掌握勾股定理和三角形的面积计算公式是解决问题的关键．
25．（1）DA=DE；（2）见解析；（3）3或11.
【详解】
试题分析：
（1）如图1，过点D作DM⊥CD于点D，交CA的延长线于点M，由已知条件易证∠M=∠DCM=∠ECD=45°，CD=DM，∠EDC=∠ADM，从而可证得△ADM≌△EDC，即可得到DA=DE；
（2）先由题意补全图形如下图2所示：过点D作CF⊥CD于点D，交AC于点F，则由一条件可用与（1）相同的思路证得△ADF≌△EDC，由此即可证得DA=DE；
（3）根据点D在直线l上的位置分点D在点C的右侧和左侧两种情况解答：①如图3，订点D在点C右侧时，过点DM⊥CD交CA的延长线于点M，过点A作AN⊥DM于点N，由（1）可知，此时CE=AM，DM=CD，再由DN⊥AB于点N结合AC=5可求得DN的长，从而可得MN的长，就可得到AM和CE的长了；②如图4，当点D在点C的左侧时，作AA'⊥直l于A'点，过D作DN⊥直l交CB于点N，过E作EM⊥DN于M，由已知条件易证△A'DA≌△MDE，从而可得ME=AA′，在等腰直角△ACA′中由AC可求得AA′的长，即可得到ME的长，进而在等腰直角△MEN中由ME的长可求得EN的长，在等腰直角△CDN中，由CD的长可求得CN的长，最后由CE=CN+EN即可求得CE的长了.
试题解析：
（1）如图1，过D作DM⊥l交CA的延长线于点M，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∠A1CB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵直线l∥AB，
∴∠ECD=∠ABC=45°，∠ACD=∠BAC=45°，
∵DM⊥直线l，
∴∠CDM=90°，
∴∠AMD=45°=∠ECD，CD=MD，
∵∠EDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠ADM=90°，
∴∠EDC=∠ADM，
在△ADM和△EDC中，
∠EDC=∠ADMCD=MD∠ECD=∠AMD，
∴△ADM≌△EDC(ASA)，
∴DA=DE．
（2）如图2，过点D作直线l的垂线，交AC于F点，

∵△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵直线l∥AB，
∴∠DCF=∠CAB=45°，
∵FD⊥直线l，
∴∠DCF=∠DFC=45°，
∴CD=FD，
∵∠DFA=180°-∠DFC=135°，
∠DCE=∠DCA+∠BCA=135°，
∴∠DCE=∠DFA，
∵∠CDE+∠EDF=90°，
∠EDF+∠FDA=90°，
∴∠CDE=∠FDA，
在△CDE和△FDA中，
∠DCE=∠DFACD=FD∠CDE=∠FDA，
∴△CDE≌△FDA(ASA)，
∴DF=DA．
（3）根据点D在直线l上的位置分以下两种情况进行解答：
①如图3，当点D在C点的右侧时，过A作AN⊥DM于点N，

由（1）可得，此时：△ADM≌△EDC，
∴DM=DC=42，CE=AM，
∵AC=5，DN⊥AB于点N，
∴DN=22AC=522，
∴NM=DM-DN=322，
∴AM=CE=2NM=3．
②如图4，当点D在C点左侧时，作AA'⊥直l于A'点，过D作DN⊥直l交CB于点N，过E作EM⊥DN于M，
∴∠AA′D=∠EMD=90°，

∵∠A'DA+∠ADM=90°，∠ADM+∠MDE=90°，
∴∠A'DA=∠MDE，
在△A'DA和△MDE中，
∠AA'D=∠EMD∠A'DA=∠MDEAD=ED，
∴△A'DA≌△MDE(AAS)，
∴AA'=EM，
∵∠CAA'=45°，AC=3，
∴AA'=322，
∵∠DCN=45°，CD=42，
∴CN=8，
∵∠NEM=45°，EM=AA'=322，
∴NE=3，
∴CE=CN+NE=3+8=11．
点睛：（1）解答本题第1、2两个小题的关键都是“过点D作直线l的垂线交AC或AC的延长线于一点，从而构造出包含线段DA和DE的两个全等三角形”，即可使问题得到解决；（2）解本题第3小题时，需注意要分点D在点C的左侧和右侧两种情况分别讨论计算CE的长，不要忽略了其中任何一种情况.
26．最低造价是：48000元
【详解】
试题分析: 当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将CD的长求出，在Rt△ACD中运用勾股定理可将AD边求出.
解：当CD为斜边AB上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，
∵∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m，
∴AB=AC2+BC2=802+602=100m，
∵S△ABC=12⋅AB⋅CD=12⋅AC⋅BC，
即CD⋅100=80×60，
∴CD=48m．
∵水渠的造价为1000元/m，
∴最低造价是：48000元．
27．143
【详解】
试题分析：如图，作翻折变换，证明E、B、C、F四点共线，进而证明△EAF为等腰直角三角形，求出其面积；证明△BDC为直角三角形，求出其面积，问题即可解决．
试题解析：∵BD：DC：BC=3：4：5，
∴设BD=3k，则DC=4k，BC=5k；
如图，将△ABD、△ACD分别沿AB、AC折叠，得到△ABE和△ACF；
则∠ABE=∠ABD，∠ACD=∠ACF；
AE=AD=4，AF=AD=4；∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC；
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°，
∵∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，∠ACB+∠ACF=180°，
∴E、B、C、F四点共线；
∵∠EAF=90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∴△AEF的面积=12 AE•AF=12 ×4×4=8；
∵（3k）2+（4k）2=（5k）2，
∴△BDC为直角三角形；
EF=3k+4k+5k=12k；
由勾股定理得：（12k）2=42+42，
解得：k=23 ，BD=2 ，DC=423 ，
∴△BDC的面积=12×2×423=43；
设△ABD、△ADC、△BDC的面积分别为x，y，z；
∵x+y+x+y-z=8，而z=43，
∴x+y=143，
即四边形ABCD的面积为143．

【点睛】本题以三角形为载体，以翻折变换为方法，考查了全等三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等，能根据题意通过翻折变换构造图形是解决本题的关键.
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