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2020北京丰台中考评测卷
数 学
一、选择题（每题2分，满分16分）
1．某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是（　　）

A．正方体 B．长方体 C．圆柱体 D．圆锥体
2．2019年末到2020年3月16日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到15万人，将数据15万用科学记数表示为（　　）
A．1.5×104 B．1.5×103 C．1.5×105 D．1.5×102
3．实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，正确的结论是（　　）

A．a＜﹣5 B．|a|＞|d| C．b+c＞0 D．bd＞0
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
6．化简的结果是（　　）
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
7．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
8．在一次中学生野外生存训练活动中，每位队员都配发了一张地图，并接到训练任务：要求36小时之内到达目的地，但是，地图上并未标明目的地的具体位置，仅知道A、B两地坐标分别为A（﹣1，2）、B（3，2）且目的地离A、B两地距离分别为5、3，如图所示，则目的地的具体位置的坐标为（　　）

A．（3，5） B．（3，5）或（3，﹣1）
C．（﹣1，﹣1）或（3，﹣1） D．（3，﹣1）
二．填空题（满分16分，每小题2分）
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：A（1，4）、B（0，3）、C（3，0），若P为x轴上一点，且∠BPC＝2∠ACB，则点P的坐标为　 　．
11．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为3，那么数据a+2，b+2，c+2的平均数和方差分别是　 　、　 　．
12．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为　 　．

13．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为　 　．

14．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是　 　．

16．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是　 　．

三．解答题
17．（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．

求作：直线PE，使得PE∥BC．
作法：如图2．
①在直线BC上取一点A，连接PA；
②作∠PAC的平分线AD；
③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；
④作直线PE．
所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD．
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝　 　，
∴∠PEA＝　 　，
∴PE∥BC．（　 　）（填推理依据）．
18．（5分）计算：2cos45°﹣（π﹣3）0+﹣|﹣1|．
19．（5分）解不等式组：并将解集在数轴上表示．

20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．
21．（5分）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．

22．（6分）某校为了解八年级学生课外阅读情况，随机抽取20名学生平均每周用于课外阅读的时间（单位：min），过程如表；
【收集数据】
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
【整理数据】
课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
【分析数据】
平均数
中位数
众数
80
m
n
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）如果每周用于课外阅读的时间不少于80min为达标，该校八年级现有学生200人，估计八年级达标的学生有多少人？
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为（1，8），点D的坐标为（4，n）．
（1）分别求m、n的值；
（2）连接OD，求△ADO的面积．

24．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的周长．

25．（5分）如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．
（1）如图1，AB是⊙O的直径；
（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求线段CD的长．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A和顶点D的坐标；
（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E，求直线BE的表达式；
（3）若抛物线y＝ax2﹣6与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

27．（7分）如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，连结CD并延长交AB于点F，连结BD，CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）当CF⊥AB时，∠ADB＝140°，求∠ECD的度数．

28．（7分）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．
（1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；
（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．

参考答案
一、选择题
1．解：俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．
故选：C．
2．解：15万＝15×104＝1.5×105．
故选：C．
3．解：由图可知：﹣4＞a＞﹣5，|a|＞|d|，b＜0，d＞0，
∴bd＜0，
故选：B．
4．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选：C．
5．解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180＝1080，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8．
故选：C．
6．解：原式＝＝．
故选：B．
7．解：∵此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝11.5，
∴炮弹所在高度最高时：
时间是第12秒．
故选：C．
8．解：设目的地确切位置的坐标为（x，y），
根据题意有，
解可得 或
故所求点的坐标为（3，5）或（3，﹣1）．
故选：B．
二．填空
9．解：根据题意得：3﹣2x≥0，解得：x≤．
故答案为：x≤．
10．解：如图，∵A（1，4）、B（0，3）、C（3，0），
∴AB＝，BC＝3，AC＝2，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
作△ABC关于BC的轴对称图形，得到△BCN，过点A作AM⊥NC，
由三角形ANC面积关系，可得
AM•NC＝2AB•BC，
∴2AM＝2××3，
∴AM＝，
∴MC＝，
∴tan∠ACN＝tan2∠ACB＝，
∵∠BPC＝2∠ACB，
∴tan∠BPC＝，
∴PO＝4，
∴P（﹣4，0）或P（4，0），
故答案为（﹣4，0）或（4，0）．

11．解：∵数据a，b，c的平均数为5，
∴（a+b+c）＝5，
∴（a+2+b+2+c+2）＝（a+b+c）+2＝5+2＝7，
∴数据a+2，b+2，c+2的平均数是3；
∵数据a，b，c的方差为3，
∴[（a﹣5）2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]＝3，
∴a+2，b+2，c+2的方差＝[（a+2﹣7）2+（b+2﹣7）2+（c+2﹣7）2]＝[（a﹣5）2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]＝3．
故答案为：7、3．
12．解：连接BC，作OH⊥BC于H，
则CH＝BH，
在Rt△ACB中，BC＝＝，
∴CH＝BC＝，
∵∠OCH＝∠BCA，
∴Rt△COH∽Rt△CBA，
∴＝，即＝，
解得，OC＝3.4．
故答案为：3.4cm．

13．解：根据图示可得，
故答案是：．
14．解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y＝，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7，
，得x2﹣7x+k＝0
根据△≥0，得k≤，
又因为反比例函数经过点B时，k＝10，经过点C时，k＝6，
综上可知2≤k≤．
故答案为2≤k≤．
15．解：作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
∴CM＝＝＝，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得：EF＝；
故答案为：．

16．解：画树状图如下：

随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于5的占4种，
所有两次摸出的小球标号的和等于5的概率为＝，
故答案为：．
三．解答
17．解：（1）如图所示：直线PE即为所求．

（2）证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD．
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝∠PEA，
∴∠PEA＝∠CAD，
∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行．
18．解：原式＝2×﹣1+﹣（﹣1），
＝﹣1+﹣（﹣1），
＝．
19．解：，
解①得x≥﹣4，
解②得x＜1，
所以不等式组的解集为﹣4≤x＜1，
用数轴表示为
．
20．解：
（1）∵方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣1）2+4（m+2）＞0，
解得；
（2）∵，
∴m的最小整数为﹣2，
∴方程为x2﹣x＝0，
解得x＝0或x＝1．
21．解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△AOD和△COB中，，
∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，
∴AD＝CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝CB，
又DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC＝CB＝AB＝2，
∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，
∴．

22．解：（1）由统计表收集数据可知a＝5，b＝4，m＝81，n＝81；
（2）200×＝120（人），
所以估计八年级达标的学生有120人．
23．解：（1）∵反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C（1，8），
∴8＝，
∴m＝8，
∴函数解析式为y＝，
将D（4，n）代入y＝得，n＝＝2．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意得 ，
解得 ，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+10，
令x＝0，则y＝10，
∴A（0，10），
∴△ADO的面积＝＝20．
24．解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD，

∵OA＝OD，∠DAB＝45°，
∴∠ODA＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，
又∵点D在⊙O上，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）∵⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，
∴AB＝2，
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
由（1）知：△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝OD＝1，
∴BC＝AD＝，
∴图中阴影部分的周长＝CD+BC+＝2++．
25．解（1）如图1，连接BD．

∵＝，
∴∠BDC＝∠ADC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是圆O的直径．
（2）如图2，连接OG、OD、BD．

则OA＝OD＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，
∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，
∵∠FGC＝2∠BAD，
∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，
∴B、G、O、D四点共圆，
∴∠ODE＝∠OBG，
∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，
∴∠EBD＝45°＝∠EDB，
∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，
∴BA平分∠FBE．
（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．

∵AC＝BC，
∴AC＝BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，
连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，
∵2∠MAD+∠FBA＝135°，
∴∠MOD+∠FBA＝135°，
∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，
∴2∠MOD+∠DOK＝270°，
∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，
∴∠AOM＝∠DOM，
∴AM＝DM，
连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，
设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，
∴∠BRH＝∠ARH＝45°
∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACR＝∠CBE，
∴△ACR≌△CBE（AAS），
∴CR＝BE＝ED，
作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，
连接OE，则OE垂直平分BD，
∴OE∥AD∥MN，
∴四边形OEQM是矩形，
∴OM＝EQ，OE＝MQ，
延长DB交MN于点P，
∵∠PBN＝∠EBD＝45°，
∴∠BNP＝45°，
∴△EQN是等腰直角三角形，
∴EQ＝QN＝EN＝13，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，
∴BC＝OC＝26，
∵MN＝AB＝20，
∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，
∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，
∴△OER是等腰直角三角形，
∴RE＝OE＝14，
设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，
在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，
∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，
∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．
26．解：（1）y＝mx2+（m﹣3）x﹣3与y轴交于点C（0，﹣3），
令y＝0，则mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，
可得x1＝﹣1，，
由于点A在点B左侧，m＞0可知点A（﹣1，0），
又∵AB＝4，
∴点B（3，0），
∴m＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D（1，﹣4）；
（2）依题意可知点E（﹣3，﹣4），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BE的表达式为；
（3）点D（1，﹣4），E（﹣3，﹣4）分别代入y＝ax2﹣6，
可得或a＝2，
∴a的取值范围为．
27．解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠CAB＝60°
∵将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE
∴AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°
∴∠EAC＝∠DAB，且AC＝AB，AE＝AD
∴△ACE≌△ABD（SAS）
（2）∵CF⊥AB，AC＝BC
∴DF垂直平分AB，∠ACF＝∠ACB＝30°
∴AD＝DB，且DF⊥AB
∴∠ADF＝∠BDF＝∠ADB＝70°
∴∠ABD＝20°
∵△ACE≌△ABD
∴∠ABD＝∠ACE＝20°
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACF＝50°
28．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD，
∵＝，
∴∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠CAD；
（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，
∴＝，
∴∠EDB＝∠DAE，
∵∠DEG＝∠AED，
∴△EDG∽△EAD，
∴，
∴ED2＝EG•EA；
（3）解：连接OE，

∵点E是劣弧BD的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEO，
∴∠AEO＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴，
∵BO＝BF＝OA，DE＝2，
∴，
∴EF＝4．
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