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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,一、微分方程概念,二、二阶线性偏微分方程分类,微分方程及其解法,第1页,函数是研究客观事物运动规律一个主要工具，所以寻求客观事物运动改变过程中函数关系是十分主要，然而，在许多问题中，往往不能直接找出所需函数关系。但依据问题所给条件，有时能够列出含有要找函数及其导数关系式，这么关系式就是所谓微分方程。,第2页,解,为了便于阐述微分方程相关概念，先看下面例子：,例,1,一曲线经过点,，,且在该曲线上任一点,切线斜率为,，,求这曲线方程,。,对上式两边积分有,因为所求曲线经过点,一、微分方程概念,第3页,1.,微分方程定义,凡含有未知函数以及未知函数导数（或微分）方程叫微分方程。,例,2.,微分方程分类,3.,微分方程阶,微分方程中所出现未知函数最高阶导数阶数。,第4页,例2,判断以下方程是否为微分方程？若是，是几阶,微分方程？,解,（,1,）是，,1,阶；,（,2,）是，,1,阶；,（,3,）是，,2,阶；,（,4,）是，,3,阶；,（,5,）是，,1,阶；,（,6,）不是。,第5页,4.,微分方程解,任何代入微分方程后使微分方程恒成立函数。,（,1,）微分方 程通解,假如在微分方程解中，所含独立常数个数与微分方程阶数相同，这么解就叫微分方程通解,（,2,）微分方程特解,当微分方程通解中各任意常数都取定值时所得解,（,3,）微分方程初始条件,第6页,确定通解中任意常数附加条件。,5.,微分方程解几何意义,通解图象,:,积分曲线族,.,特解图象,:,微分方程积分曲线,.,例,3,解,第7页,又因为这个解中含有两个独立任意常数 ，而方程为二阶微分方程，所以,第8页,所以方程满足初始条件特解为,第9页,二阶线性偏微分方程分类,本章将介绍二阶线性偏微分方程基本概念、分类方法和偏微分方程标准化,.,尤其对于常系数二阶线性偏微分方程化简方法也进行了详细讨论，这对后面偏微分方程求解是十分有用,.,第10页,在数学物理方程建立过程中，我们主要讨论了三种类型偏微分方程：,波动方程；热传导方程；稳定场方程,这三类方程描写了不一样物理现象及其过程，后面我们将会看到它们解也表现出各自不一样特点,我们在解析几何中知道对于二次实曲线,其中,为常数，且设,10.2,数学物理方程分类,第11页,则当,时，上述二次曲线分别为双,曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏,微分方程进行分类,.,下面主要以含,两个自变量二阶线性偏微分方程,为例，进行理论分析而对于更多个自变量情形尽管要复杂一些，但讨论基本方法是一样,两个自变量,(,x,y,),二阶线性偏微分方程所含有,普遍形式为,第12页,（,10.2.1,）,其中,为,已知函数,定理,10.2.1,假如,是方程,(10.2.2),普通积分，则,是方程,第13页,(10.2.3),一个特解,在详细求解方程,(10.2.10),时，需要分三种情况讨论判别式,1.,当判别式,以求得两个,实函数解,时，从方程,(10.2.10),可,第14页,也就是说，偏微分方程,(10.2.1),有,两条实特征线,于是，令,即可使得,同时，依据,(10.2.4),式，就能够断定,所以，方程,(10.2.6),即为,(10.2.4),第15页,或者深入作变换,于是有,所以,第16页,又能够深入将方程,(10.2.11),化为,这种类型方程称为,双曲型方程,我们前面建立波动方程就属于这类型,2,当判别式,时：这时方程,(10.2.10),一定有重根,第17页,因而只能求得一个解，比如，,，,特征线为,一条实特征线,作变换,就能够使,由,(10.2.4),式能够得出，一定有,，故可推出,这么就能够任意选取另一个变换，,只要它和,彼此独立，即雅可俾式,第18页,即可这么，方程,(10.2.6),就化为,这类方程称为,抛物型方程,热传导（扩散）方程就属于,这种类型,第19页,3.,当判别式,面讨论，只不过得到,时：这时，能够重复上,和,是一,对共轭复函数，或者说，偏微分方程,(10.2.1),两条特征线是,一对共轭复函数族,于是,是一对共轭复变量深入引进两个新实变量,第20页,于是,所以,方程,(10.2.11),又能够深入化为,第21页,这种类型方程称为,椭圆型方程,拉普拉斯,(Laplace),方程、,泊松,(Poisson),方程和,Helmholtz,方程都属于这种类型,总而言之，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只,需讨论判别式,即可,.,第22页,10.3,二阶线性偏微分方程标准化,对于二阶线性偏微分方程,(10.3.1),若判别式为,，则二阶,线性偏微分方程分为三类：,第23页,时，方程称为双曲型,;,时，方程称为抛物型,;,时，方程称为椭圆型,;,1.,双曲型偏微分方程,因为双曲型方程对应判别式,所以特征曲线是两族不一样实函数曲线，,第24页,设,特征方程解,为,令,(10.3.2),进行自变量变换，则原偏微分方程变为以下形式,第25页,(10.3.3),上式称为,双曲型偏微分方程第一个标准形式,，再作变量,代换，令,或,则偏微分方程又变为,第26页,(10.3.4),上式称为双曲型偏微分方程第二种形式,注：上式中“*”号不代表共轭，仅说明是另外函数。如,与,是两个不一样函数。,2,抛物型偏微分方程,第27页,因为抛物型偏微分方程判别式,线是,一族实函数曲线,，所以特征曲,其,特征方程解,为,(10.3.5),所以令,进行自变量变换，则原偏微分方程变为,(10.3.6),第28页,上式称为抛物型偏微分方程标准形式,3.,椭圆型偏微分方程,椭圆型偏微分方程判别式,，所以特征曲线是,一组共轭复变函数族其,特征方程解为,(10.3.7),若令,第29页,(10.3.8),作自变量变换，则偏微分方程变为,(10.3.9),上式称为,椭圆型偏微分方程标准形式,第30页,10.4,二阶线性常系数偏微分方程深入化简,假如二阶偏微分方程系数是常数，则标准形式方程还能够深入化简下面按三种类型分别介绍化简方法,1.,双曲型,对于以下含常系数第一个标准形式双曲型标准方程还,可深入化简,第31页,注：上式中用小写字母,代表常系数，方便与,我们不妨令,大写字母代表某函数区分开来,比如,为了化简，,从而有,(10.4.2),第32页,其中,由第二种标准形式双曲型偏微分方程（含常系数）能够进,一步化简,(10.4.3),式中,均为常系数若令,第33页,则有,(10.4.4),(10.4.5),其中,第34页,对于,含常系数抛物型偏微分标准方程,（含常系数）,（,10.4.6,）,还能够深入化简上式中小写字母,均为常系数,为了化简，不妨令,从而有,(10.4.7),2.,抛物型,第35页,3.,椭圆型,对于以下第一个标准形式椭圆型标准方程,(,含常系数,),(10.4.8),还能够深入进行化简上式中小写字母,为常系数,第36页,为了化简，不妨令,从而有,(10.4.9),其中,第37页,含有两个自变量线性偏微分方程普通形式也能够写成下,面形式：,其中,L,是二阶线性偏微分算符，,G,是,x,y,函数,线性偏微分算符有以下两个基本特征：,10.5,线性偏微分方程解特征,第38页,其中,均为常数深入有以下结论：,1.,齐次线性偏微分方程解有以下特征：,为方程解时，则,也为方程解；,(1).,当,为方程解，则,也是方程解；,(2),若,2.,非齐次线性偏微分方程解含有以下特征：,第39页,为非齐次方程特解，,为齐次方程通解，则,为非齐次方程通解；,(1),若,(2),若,则,3,线性偏微分方程叠加原理,需要指出,:,线性偏微分方程含有一个非常主要特征，称为叠,第40页,加原理，即若,是方程,（其中,L,是二阶线性偏微分算符）解,.,假如级数,收敛，且二阶偏导数存在（其中,为任意常数），则,一定是方程,解,程右端级数是收敛）,（当然要假定这个方,第41页,
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