2021-2022学年上海市普陀区晋元高中高三(上)期中数学试卷.docx

2021-2022学年上海市普陀区晋元高中高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分36分）只要求直接填写结果，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。）
1．（3分）若集合A＝{2，a2﹣a+1}，B＝{3，a+3}，且A∩B＝{3}，则实数a＝　 　．
2．（3分）若复数z＝（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为　 　．
3．（3分）已知全集U＝R，集合，则集合＝　 　．
4．（3分）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝　 　．
5．（3分）已知复数z0＝3+i（i为虚数单位），复数z满足z•z0＝3z+z0，则|z|＝　 　．
6．（3分）已知tanθ＝3，则sin2θ﹣2cos2θ＝　 　．
7．（3分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a6＝2，则log2（a1•a2•a3⋯•a11）＝　 　．
8．（3分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）＝　 　．

9．（3分）f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[﹣1，4]，则f（x）﹣g（x）的值域为 　 　．
10．（3分）若函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是　 　．
11．（3分）已知关于x的方程|x+a2|+|x﹣a2|＝﹣x2+2x﹣1+2a2有解，则实数a的取值范围是 　 　．
12．（3分）如果数列{an}满足：a1＝1，a2021＝2017，且对于任意n∈N*，存在实数a使得an、an+1是方程x2﹣（2a+1）x+a2+a＝0的两个根，则a100的所有可能值构成的集合是 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．（3分）若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（3分）设Sn为数列{an}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．（3分）有四个命题：
①若0＞a＞b，则；
②若a＜b＜0，则a2＞b2；
③若，则1＞a；
④若1＜a＜2且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．
其中真命题的是（　　）
A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④
16．（3分）已知A＝{y|y＝sin（ωn+φ），n∈Z}，若存在φ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（　　）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．已知关于x的不等式．
（1）若2为该不等式的一个解，求实数a的取值范围；
（2）当a＞0时，求解该不等式．
18．在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
19．奉贤博物馆新馆位于上海之鱼，整体理念是将生态自然与人文历史有机的融合，与周边环境自然过渡连接．为了减少能源损耗，馆顶和外墙需要建造隔热层，博物馆每年节省的能源费用h（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．当不建造隔热层时，每年节省费用为0，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：g（x）＝2x．
（1）①求k的值；
②为了使得每年隔热层节省的能源费用不低于隔热层自身消耗的能源费用，隔热层建造的厚度x应该满足什么条件？
（2）在建造厚度为x的隔热层后，每年博物馆真正节省的能源费用f（x）＝h（x）﹣g（x），求每年博物馆真正节省的能源费用的最大值．
20．设函数f（x）＝（x＞0），数列{an}满足a1＝1，an＝f（）（x∈N*，且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a1为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N*）的等比数列{}，k∈N*，使得数列{}中每一项都是数列{an}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式；若不存在，说明理由．
21．若对于定义域为R的函数f（x）图像上任意一点P（x0，f（x0）），存在过点P的直线g（x）＝kx+b，当x≠x0时，f（x）＞g（x）恒成立，则称该函数满足性质M．
（1）判断函数f（x）＝sinx，g（x）＝x2是否满足性质M（无需要说明理由）；
（2）若函数f（x）满足性质M，求证：f（x）不是奇函数；
（3）若函数f（x）满足性质M，求证：当λ＞0，x1≠x2时，不等式恒成立，并求函数h（x）＝f（x）+f（2021﹣x），x∈[1，2020]的最小值．

2021-2022学年上海市普陀区晋元高中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分36分）只要求直接填写结果，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。）
1．【解答】解：集合A＝{2，a2﹣a+1}，B＝{3，a+3}，且A∩B＝{3}，
所以a2﹣a+1＝3且a+3≠3，解得a＝﹣1或a＝2，
当a＝﹣1时，A∩B＝{2，3}，不符合题意，
所以a＝2．
故答案为：2．
2．【解答】解：z＝（1+mi）（2﹣i）＝2+m+（m﹣1）i，
∵复数z＝（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，
∴2+m＝0，
即m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
3．【解答】解：∵∵，
∴＝{x|x＜﹣1戓x≥2}，
故答案为：{x|x＜﹣1戓x≥2}．
4．【解答】解：设公差为d，则由a3﹣a1＝2d＝5﹣1，可得 d＝2．
∵Sn＝64＝n×a1+＝n+n（n﹣1），解得 n＝8，
故答案为：8．
5．【解答】解：因为z•z0＝3z+z0，
所以z＝＝＝1﹣3i，
所以|z|＝＝，
故答案为：
6．【解答】解：sin2θ﹣2cos2θ＝sin2θ﹣cos2θ﹣1＝﹣﹣1＝＝
故答案为：
7．【解答】解：由{an}是等比数列，得a1•a2a3•…•a11＝a611，
所以log2（a1•a2a3•…•a11）＝log2211＝11．
故答案为：11．
8．【解答】解：由函数的图象可得A＝，•T＝﹣＝•，求得ω＝2．
再根据五点法作图可得2×+φ＝π，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+），∴f（0）＝sin＝，
故答案为：．
9．【解答】解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，
可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
又函数f（x）+g（x）的值域为[﹣1，4]，
所以﹣1≤f（x）+g（x）≤4，且f（x）和g（x）的定义域都为R，
把x换为﹣x得﹣1≤f（﹣x）+g（﹣x）≤4，
变形得﹣1≤﹣f（x）+g（x）≤4，
即﹣4≤f（x）﹣g（x）≤1，
则f（x）﹣g（x）的值域为[﹣4，1]．
故答案为：[﹣4，1]．
10．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），
①当a＞1时，y＝logax在R+上单调递增，
∴要使y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，
∴Δ＜0，
解得﹣2＜a＜2
∴1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．
综上所述：1＜a＜2；
故答案为：1＜a＜2．
11．【解答】解：|x+a2|+|x﹣a2|≥|x+a2﹣x+a2|＝2a2，当且仅当（x+a2）（x﹣a2）≥0，即﹣a2≤x≤a2时等号成立，
﹣x2+2x﹣1+2a2＝﹣（x﹣1）2+2a2≤2a2，当且仅当x＝1时等号成立，
依题意，﹣a2≤1≤a2，解得a≤﹣1或a≥1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
12．【解答】解：方程x2﹣（2a+1）x+a2+a＝0的两根为a，a+1，
故an+1﹣an＝1或﹣1，
当an+1﹣an＝1恒成立时，若a1＝1，则an＝n，与a2021＝2017不符，
当an+1﹣an＝﹣1恒成立时，若a1＝1，则an＝1﹣（n﹣1）＝2﹣n，与a2021＝2017不符，
当a1＝1时，设数列{an}前2021项中后一项比前一项大1的项数为x，后一项比前一项小1的项数为y，
则x+y＝2020，x﹣y＝2017﹣1＝2016，解得x＝2018，y＝2，
所以数列{an}前100项中若没有后一项比前一项小1的项，则a100＝100，
若后一项比前一项小1的项只有1项，则a100＝98，
若后一项比前一项小1的项只有2项，则a100＝96，
则a100的所有可能值构成的集合是{96，98，100}．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．【解答】解：由sin2θ＝2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．
故选：D．
14．【解答】解：数列﹣3，﹣2，﹣1，0……是递增数列，但{Sn}不是递增数列，即充分性不成立，
数列1，1，1，……，满足{Sn}是递增数列，但数列1，1，1，……，不是递增数列，即必要性不成立，
则“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
15．【解答】解：对于①，∵b＜a＜0，
∴ab＞0，b﹣a＜0，
∴＜0，
∴，故①为真命题，
对于②，∵a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，a+b＜0，
∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＞0，故②为真命题，
对于③，，隐含a＞0，两边同乘a，可得1＞a，故③为真命题，
对于④，∵0＜b＜3，
∴﹣3＜﹣b＜0，
又∵1＜a＜2，
∴﹣2＜a﹣b＜2，故④真命题．
故选：D．
16．【解答】解：对A，当时，，
函数的周期T＝，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，，
当n＝2时，，
当n＝3时，，
当n＝4时，，
当n＝5时，，
当n＝6时，，
令时，，
所以，
，
，
所以存在φ使得n＝1时的y值等于n＝6时的y值，n＝2时的y值等于n＝5时的y值，n＝3时的y值等于n＝4时的y值，
但当n＝0，1，2，3时，不存在φ使得这个y值中的任何两个相等，
所以当时，集合A中至少有4个元素，故A错误；
对B，当时，y＝sin（+φ），
函数的周期T＝，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，y＝sin（），
当n＝2时，y＝sin（），
当n＝3时，y＝sin（）＝sin（﹣），
当n＝4时，y＝sin（）＝sin（﹣），
令φ＝，sin＝1，
sin（）＝sin（﹣）＝cos，
sin（）＝sin（﹣）＝cos，
所以时，符合题意，故B正确；
对于C，当时，，
函数的周期，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，y＝sin（）＝cosφ，
当n＝2时，y＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，
当n＝3时，，
令φ＝0，则sin0＝﹣sin0＝0，
cos0＝1，﹣cos0＝﹣1，
所以当时，符合题意，故C正确；
对于D，当时，，
函数的周期为，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，，
当n＝2时，，
令φ＝0，sin0＝0，
，
，
所以当时，符合题意，故D正确；
故选：A．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．【解答】解：（1）把x＝2代入，得，即（2a﹣1）（a﹣2）＞0，
解得a＜或a＞2，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，）∪（2，+∞）．
（2）不等式等价于（ax﹣1）（x﹣a）＜0，
因为a＞0，
所以当＜a，即a＞1时，不等式的解为＜＜x＜a；
当＝a，即a＝1时，不等式可化为（x﹣1）2＜0，无解；
当＞a，即0＜a＜1时，不等式的解为a＜x＜，
综上所述，
当a＞1时，不等式的解集为{x|＜＜x＜a}；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜}．
18．【解答】解：（1）在△ABC中，，即sin2B﹣cos2B＝2sin（2B﹣）＝2，
∴sin（2B﹣）＝1，
又B∈（0，π），2B﹣∈（﹣，），
∴2B＝，即B＝；
（2）∵b＝2，B＝，
∴b2＝4＝a2+c2﹣2ac×＝a2+c2﹣ac≥ac，即ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，
所以△ABC面积S＝acsinB≤×4×＝，
故△ABC面积的最大值为．
19．【解答】解：（1）①由题知，，当不建造隔热层时，每年节省费用为0，
所以h（0）＝0即h（0）＝32﹣＝0，解得k＝1；
②由①知，h（x）＝32﹣，为了使得每年隔热层节省的能源费用不低于隔热层自身消耗的能源费用，
则h（x）≥g（x），即32﹣≥2x，0≤x≤20，化简得x²﹣15x≤0，解得0≤x≤15，
所以隔热层建造的厚度x∈[0，15]；
（2）由题知f（x）＝h（x）﹣g（x），即f（x）＝32﹣﹣2x，0≤x≤20，
所以f（x）＝32﹣﹣2（x+1）+2＝34﹣[+2（x+1）]≤34﹣2＝34﹣16＝18，
当仅当＝2（x+1），即x＝3时取等号，
所以每年博物馆真正节省的能源费用的最大值为18．
20．【解答】解：（1）因为an＝f（），f（x）＝（x∈N*，且n≥2），
所以an﹣an﹣1＝2．
因为a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列．
所以an＝2n﹣1；
（2）①当n＝2m，m∈N*时，Tn＝T2m＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）＝﹣4（a2+a4+…+a2m）＝﹣4（2m+1）m＝﹣2n（n+1）；
②当n＝2m﹣1，m∈N*时，Tn＝T2m﹣1＝T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1＝2n2+6n+3
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
只要使﹣2n（n+1）≥tn2，（n为偶数）恒成立．
只要使﹣2（1+）≥t，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为（﹣∞，3]；
（3）由an＝2n﹣1，知数列{an}中每一项都是奇数．
当q＝1时，显然不存在这样的数列{ank}．
当q＝3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*．
则＝1，n1＝1，所以＝3k﹣1＝2nk﹣1，
所以nk＝．
所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk＝．
21．【解答】解：（1）根据题中定义可知，函数f（x）＝sinx不具有性质M，函数g（x）＝x2具有性质M，
（2）假设函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）＝0，
因为函数f（x）具有性质M，根据题中定义，存在过原点的直线y＝kx，使得当x≠0时，f（x）＞k×0＝0，
另一方面，当x＞0时，若f（x）＞0，则当x＜0时，f（x）＜0，与假设不符，
故假设不成立，所以函数f（x）满足性质M，则f（x）不是奇函数；
（3）函数f（x）满足性质M，当λ＞0，x1≠x2时，
存在过点P（x0，f（x0）），的直线g（x）＝kx+b，使得当x≠x0时，f（x）＞g（x）恒成立，
所以当x≠时，f（x）＞kx+b，
所以f（）＝k×+b＝＜，
当x≠2021﹣x时，h（x）＝f（x）+f（2021﹣x）＞f（）＝f（），即h（x）＞2f（），
又因为h（）＝2f（），
因此，当x∈[1，2020]时，函数h（x）＝f（x）+f（2021﹣x）的最小值为2f（）．

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