课时作业-第5节-条件概率与全概率公式.docx

第5节　条件概率与全概率公式

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
条件概率
1,3,6
10,12

全概率公式的应用
2,4,5,7,8
9,11,13
14

1.从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数字,事件A=“取到的两个数字之和为偶数”,事件B=“取到的两个数字均为偶数”,则P(B|A)=
(　D　)
A.13 B.14 C.25 D.12
解析:P(A)=C32+C32C62=25,P(AB)=C32C62=15,由条件概率,得P(B|A)=P(AB)P(A)=15÷25=12.故选D.
2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　D　)
A.0.8 B.0.832 5
C.0.532 5 D.0.482 5
解析:设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1,A2,A3,A4,则它们构成样本空间的一个划分.
设事件B=“从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒”,则
P(B)=∑i=14P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.482 5.故选D.
3.一盒中装有5个产品,其中有3个一等品,2个二等品,从中不放回地取出产品,每次1个,取两次,已知第二次取得一等品的条件下,第一次取得的是二等品的概率是(　A　)
A.12 B.13 C.14 D.23
解析:法一　设事件A=“第一次取得二等品”,事件B=“第二次取得一等品”,则AB=“第一次取得二等品且第二次取得一等品”,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=2×35×42×3+3×25×4=12.故选A.
法二　设一等品为a,b,c,二等品为A,B,事件B=“第二次取得一等品”所含基本事件有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(A,a),
(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共12个,其中第一次取得二等品的基本事件共有6个,所以所求概率为P=612=12.故选A.
4.设有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲厂生产12,乙、丙两厂各生产14,而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%,现从中任取一件,则取到次品的概率为(　A　)
A.0.025 B.0.08 C.0.07 D.0.125
解析:设事件A1,A2,A3分别表示“取到甲、乙、丙工厂的产品”,事件B表示“取到次品”,
则P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,
P(B|A3)=0.04,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.5×0.02+
0.25×0.02+0.25×0.04=0.025.故选A.
5.甲小组有2个男生和4个女生,乙小组有5个男生和3个女生,现随机从甲小组中抽出1人加入乙小组,然后从乙小组中随机抽出1人,则从乙小组中抽出女生的概率是　　　　. 
解析:根据题意,记事件A1=“从甲小组中抽出的1人为男生”,事件A2=“从甲小组中抽出的1人为女生”,事件B=“从乙小组中抽出的
1人为女生”,
则P(A1)=13,P(A2)=23,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=13×39+23×49=1127.
答案:1127
6.盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,
3,4,5.现每次从中任意抽取一张,取出后不再放回,若抽取三次,则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率为　　　　. 
解析:设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A,“第三张为奇数”为事件B,则所求概率为P(B|A)=n(AB)n(A)=A22C31+A33A32A31+A22A31=12.
答案:12
7.某地有甲、乙两家超市,在某一周内某人去超市购物两次,第1次购物时随机地选择一家超市购物.若第1次去甲超市,则第2次去甲超市的概率为0.4;若第1次去乙超市,则第2次去甲超市的概率为0.6,则此人第2次去甲超市购物的概率为　　　　. 
解析:设事件A1=“第1次去甲超市购物”,事件B1=“第1次去乙超市购物”,事件A2=“第2次去甲超市购物”,
则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,
得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.4,
P(A2|B1)=0.6,由全概率公式得
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)
=0.5×0.4+0.5×0.6
=0.5,
所以此人第2次去甲超市购物的概率为0.5.
答案:0.5
8.若某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第一车间、第二车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提出一台成品,求该产品合格的概率.
解:设事件B={从仓库中随机提出的一台成品是合格品},事件Ai={提出的一台成品是第i车间生产的},i=1,2,则有B=A1B∪A2B,
由题意知P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88,
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×
0.88=0.868,所以该产品合格的概率为0.868.

9.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5 盒,3盒,
2盒依次是甲厂,乙厂,丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为110,115,120,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　A　)
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
解析:以事件A1,A2,A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”,
事件B表示“取得的X光片为次品”,
P(A1)=510,P(A2)=310,P(A3)=210,
P(B|A1)=110,P(B|A2)=115,P(B|A3)=120,
则由全概率公式,
得所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510×
110+310×115+210×120=0.08.故选A.
10.(2021·广东广州模拟)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制(无平局),甲在每局比赛中获胜的概率均为23,且每局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为(　B　)
A.13 B.25 C.23 D.45
解析:设事件A表示“甲获得冠军”,事件B表示“冠军产生时恰好进行了三局比赛”,则A包括“第一局甲获胜、第二局甲获胜”“第一局甲获胜、第二局乙获胜、第三局甲获胜”“第一局乙获胜、第二局甲获胜、第三局甲获胜”,则P(A)=23×23+23×13×23+13×23×23=2027,
事件AB包括“第一局甲获胜、第二局乙获胜、第三局甲获胜”“第一局乙获胜、第二局甲获胜、第三局甲获胜”,则P(AB)=23×13×23+13×
23×23=827,
P(B|A)=P(AB)P(A)=8272027=25.故选B.
11.(2021·河北衡水中学月考)世界卫生组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称新型冠状病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是A传B,B传C,C又传D等,这就是“持续人传人”,而A,B,C分别被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.9,0.85,某人身体健康,参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会的人有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,若此人参加宴会,仅和感染的10人中的一人接触,则被感染的概率为　　　　. 
解析:设事件A,B,C分别表示“此人和第一代、第二代、第三代传播者接触”,事件D表示“此人被感染”,则由题意得P(A)=0.5,P(B)=
0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.9,P(D|C)=0.85,
则P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95×0.5+0.9×0.3+
0.85×0.2=0.915.
答案:0.915
12.现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个事件数为n(Ω)=A62=30.
根据分步乘法计数原理得n(A)=A41A51=20,
得P(A)=n(A)n(Ω)=2030=23.
(2)因为n(AB)=A42=12,
所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=1230=25.
(3)法一　由(1)(2)得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)=P(AB)P(A)=2523=35.
法二　因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=1220=35.
13.已知口袋中有3个黑球和7个白球,这10个球除颜色外完全相同.
(1)先后两次从口袋中不放回地各摸出一球,求两次摸到的均为黑球的概率;
(2)从口袋中不放回地摸球,每次各摸一球,求第三次才摸到黑球的
概率.
解:设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球(i=1,2,3)”,则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”.
(1)由题意知P(A1)=310,P(A2|A1)=29,
则P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=310×29=115,
所以先后两次从口袋中不放回地各摸出一球,两次摸到的均为黑球的概率为115.
(2)设事件A表示第三次才摸到黑球,则A=A1A2A3.
由题意知P(A1)=710,P(A2|A1)=69,
P(A3|A1A2)=38,
则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=710×69×38=740.
所以从口袋中不放回地摸球,每次各摸一球,第三次才摸到黑球的概率为740.

14.盒中有a个红球,b个黑球,现随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c个,再从盒中第二次抽取一个球,则第二次抽出的是黑色球的概率为　　　　. 
解析:设事件A={第一次抽出的是黑球},事件B={第二次抽出的是黑球},则B=AB+AB,
由题意知,P(A)=ba+b,P(B|A)=b+ca+b+c,P(A)=aa+b,P(B|A)=ba+b+c,
由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=b(b+c)(a+b)(a+b+c)+ab(a+b)(a+b+c)=ba+b.
答案:ba+b