2021北京重点校初二(上)期中数学汇编：与三角形有关的线段.docx

2021北京重点校初二（上）期中数学汇编
与三角形有关的线段
一、单选题
1．（2021·北京·人大附中八年级期中）已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2021·北京一七一中八年级期中）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能是（ ）．A． B． C． D．
3．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．6，9，14 B．8，8，16 C．10，5，4 D．5，11，6
4．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）用直角三角板作的高，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京·101中学八年级期中）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
6． （2021·北京八十中八年级期中）用下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）．
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，7cm
C．5cm，10cm，4cm D．8cm，12cm，5cm
7．（2021·北京师大附中八年级期中）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．15 C．17 D．19
二、填空题
9．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在△ABC中，点D．E．F分别是线段BC、AD、CE的中点，且=，则= ____

10．（2021·北京·101中学八年级期中）已知，是的高，且，所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是，则的度数为_______．
11．（2021·北京·101中学八年级期中）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____．
12．（2021·北京四中八年级期中）如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，则 BC 边的中线 AD 的取值范围为_____.

13．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是______．

三、解答题
14．（2021·北京八十中八年级期中）在△ABC中，，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）当点E在线段AC时，依题意补全图1，用式子表示线段与EF的大小关系，并证明．
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用式子表示线段与EF的大小关系，并证明．

15．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，在所给的平面直角坐标系中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）

（1）若A（－4，1），C（－3，3），△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，直接写出△A1B1C1三个顶点坐标为A1________，B1_______，C1______；
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A2B2C2；
（3）在DE上画出点P，使PA＋PC最小；
（4）在DE上画出点Q，使QA－QB最大．
16．（2021·北京八十中八年级期中）若一个等腰三角形的周长为36cm，一边长为8cm，求其他两边的长．
参考答案
1．B
【分析】
根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可．
【详解】
解：∵ac=12-bc，
∴ac+bc=12，
∴（a+b）c=12，
∴12=1×12=2×6=3×4，a+b＞c，
或或，
当时，三边长分别为 1，6，6或 1，1，11 （不合题意舍去）；
当时，三边长分别为 2，3，3或 2，2，4 （不合题意舍去）；
当时，三边长分别为 3，2，2或 3，3，1，
所以一共有4个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了不定方程的正整数解和等腰三角形的三边关系，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论．
2．B
【分析】
根据三角形的三边关系，经计算即可得到答案．
【详解】
根据三角形三边关系，得：

∴
∴四个选项中，选项B符合要求
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求解．
3．A
【分析】
运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】
解：由6，9，14可得，6＋9＞14，故能组成三角形；
由8，8，16可得，8＋8＝16，故不能组成三角形；
由10，5，4可得，4＋5＜10，故不能组成三角形；
由5，11，6可得，5＋6＝11，故不能组成三角形；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．
4．C
【分析】
根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
5．C
【分析】
根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】
解：∵三角形的两边为3cm，8cm，
∴第三边长的取值范围为8-3＜x＜8+3，
即5＜x＜11，
只有C符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．
6．D
【分析】
根据三条线段构成三角形的条件：任两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可完成．
【详解】
A、2+3=5，即两边之和等于第三边，故不能组成三角形；
B、3+3<7，即两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
C、5+4<10，即两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
D、8+5>12，即任两边之和大于第三边，故能组成三角形；
故选：D．
【点睛】
本题考查了构成三角形的条件，实际中三线段判断能否构成三角形，只要考虑两条短线段的和是否大于最长的线段．
7．B
【分析】
根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即10-2=8；而小于两边之和，即10+2=12，
即8＜第三边＜12，
四个选项中，只有B符合条件．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形中三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8．C
【分析】
等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
9．2．
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】
解: ∵点D是BC的中点，
∴ = ==4，
∵点E是AD的中点，
∴= =2， ==2，
∴+=4，
∴=8-4=4，
∵点F是CE的中点，
∴==×4=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等（同）底等（同）高的三角形的面积相等．
10．135°或45°
【分析】
分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图1；（2）当∠A为钝角时，如图2；根据四边形的内角和为360°以及三角形内角和为180°，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，

∵∠DOC=45°，
∴∠EOD=135°，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠A=360°-90°-90°-135°=45°；
（2）当∠A为钝角时，如图2，

∵∠F=45°，
同理：∠ADF=∠AEF=90°，
∴∠DAE=360°-90°-90°-45°=135°，
∴∠BAC=∠DAE=135°，
综上所述，∠BAC的度数为45°或135°，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和和四边形的内角和，明确四边形的内角和为360°是关键，解题时要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算．
11．10或11
【分析】
分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键．
12．
【分析】
把AD延长到DE使DE=AD，构造三角形ABE，根据三角形三边直接的关键建立不等式组求范围.
【详解】

如图延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.
在三角形ADC与三角形BDE中

∴(SAS)
∴BE=AC
在三角形AEB中，有，
即，
∴
【点睛】
本题解题关键在于倍长中线，构造三角形，运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质.
13．三角形具有稳定性
【分析】
直接根据三角形的稳定性进行求解．
【详解】
这样做的道理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】
本题考查三角形的稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．
14．（1），证明见解析；（2）图见解析，，理由见解析
【分析】
（1）补全图形，延长FD到H，使得，连接AH，EH，利用SAS证明，得到，，等量代换得到，根据等腰三角形三线合一的逆定理得出，再根据三角形三边关系得出结果；
（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交与点M，连接MF，证明得，，由垂直平分线的判定定理得，进而根据三角形三边关系得出结论；
【详解】
（1）补全图形，延长FD到H，使得，连接AH，EH，

∵D是AB的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即，
在中，，
∴；
（2）补全图形如图，，理由如下：

证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交与点M，连接MF，
则，，
∵D是AB的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形综合应用，三角形三边关系，准确分析证明是解题的关键．
15．（1）（4，1），（2，0），（3，3）；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．
【分析】
（1）由图像可知坐标为，求出点关于轴对称的点的坐标即可；
（2）分别求出点关于对称的点的坐标，描点，连接对应线段即可；
（3）由轴对称的性质可得，即可求得当三点共线时，最小；
（4）由三角形三边关系可得，，当三点共线时，，此时最大．
【详解】
解：（1）由图像可知坐标为
又∵
∴点关于轴对称的点的坐标分别为，，
故答案为，，
（2）∵，，直线为
∴点关于对称的点的坐标分别为、、
如下图，即为所求：

（3）由轴对称的性质可得，
由三角形三边关系可得
当三点共线时，，此时最小，
连接，与交点即是点，如下图：

（4）由三角形三边关系可得，，
当三点共线时，，此时最大，
延长，与交点即是点，如下图：

【点睛】
此题考查了轴对称变换，涉及了轴对称变换的性质，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握轴对称变换的性质以及三角形三边关系的应用．
16．14cm，14cm．
【分析】
题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解:当腰为时，底边长， +＜20，不能构成三角形 ；
当底边为时，三角形的腰， ，14，14能构成三角形，其他两边长为，．
答：另外两边的长度是，．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的边长，解题的关键是熟知三角形的三边关系及等腰三角形的性质．

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