学生书-§6-7-正弦定理和余弦定理.docx

§6.7　正弦定理和余弦定理
(对应答案分册第19~21页)

1.正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R,其中R是三角形外接圆的半径,由正弦定理可以变形为
(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(3)sin A=a2R;sin B=b2R;sin C=c2R等形式,以解决不同的三角形问题.
2.余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.余弦定理可变形为cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab.
3.三角形的面积公式
S△ABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B=abc4R=12(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算出R,r.
4.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况

A为锐角
A为钝角
或直角
图形

关系式
a=bsin A
bsin A
<a<b
a≥b
a>b
解的
个数
一解
两解
一解
一解

　　1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π,变形为A+B2=π2-C2.
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sin C;
(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sinA+B2=cos C2;
(4)cosA+B2=sin C2.
3.在△ABC中,sin A>sin B⇔A>B⇔a>b,cos A>cos B⇔A<B⇔a<b.
4.三角形射影定理:a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=acos B+bcos A.
5.三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.(　　)
(2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形.(　　)
(3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.(　　)
(4)在△ABC的六个元素(三个角和三条边)中,已知任意三个元素可求其他元素.(　　)

【对接教材】
2.在△ABC中,已知sin A=13,B=π6,AC=3,则BC=(　　).

A.3 B.2 C.32 D.92
3.在△ABC中,已知∠A=60°,∠B=75°,c=20,则a=　　　　. 
【易错诊断】
4.在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B等于　　　　. 

　利用正、余弦定理解三角形　【考向变换】
　　考向1　判断三角形的形状
在△ABC中,若sinAa=cosBb=cosCc,则△ABC为(　　).

A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.有一个内角为30°的直角三角形
D.有一个内角为30°的等腰三角形
　　点拨　判断三角形的形状主要有以下两种途径:
1.通过正弦定理和余弦定理化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系,再进行判断.
2.利用正弦定理和余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出三边之间的关系,再进行变换.
【追踪训练1】在△ABC中,若acos B=bcos A,则△ABC的形状一定是(　　).

A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
　　考向2　求边和角
在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=　　　　,cos∠MAC=　　　　. 
　　点拨　已知边角关系,利用正弦、余弦定理解三角形时,要紧紧把握正弦、余弦定理中所反映的三角形中的边角关系来处理.
【追踪训练2】(1)在△ABC中,AB=4,(AC-AB)·sin∠ABC=(BC+AB)(sin A-sin C),点D在边AC上,且DB=DC,点D到BC的距离为6,则∠ABC=(　　).
A.π4 B.π3 C.5π12 D.π2
(2)若△ABC的周长等于20,面积是103,A=60°,则角A的对边长为(　　).
A.5 B.6 C.7 D.8
　与三角形面积有关的问题　【典例迁移】
　　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=12(a+c).
(1)若4sin A=3sin B,求ca的值;
(2)若C=2π3,且c-a=8,求△ABC的面积.

　　点拨　使用三角形面积公式的常用策略:
1.对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2.与面积有关的问题,一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
3.求周长经常用整体代换思想.

　　【追踪训练3】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcos C+csin B.
(1)求角B;
(2)若b=22,求△ABC面积的最大值.

　正弦、余弦定理在平面几何中的应用　【考向变换】
　　考向1　最值、范围问题

如图,为了检测某工业区的空气质量,某机构要在点A处设立一个空气监测中心(大小忽略不计),在其正东方向点B处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确,在点C和点D处,再分别安装一套监测设备,且满足AD=2 km,AB=4 km,BD=BC,∠DBC=90°,设∠DAB=θ.
(1)当θ=2π3时,求四边形ABCD的面积;
(2)当θ为何值时,线段AC最长.

　　点拨　利用正弦、余弦定理对边角关系进行转化,利用三角形中的相关关系进行运算和证明,利用函数单调性、基本不等式求最值.
【追踪训练4】如图,在四边形AOCB中,OA·OC=0,AC=2,BC=1.
(1)若AB=233,求S△ABC.
(2)若AB=5,求OB的取值范围.

　　考向2　多三角背景解三角形
记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b.
(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

　　点拨　如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),通过解方程(组)得出所要求的量.
　　【追踪训练5】如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.
(1)若∠ABC=30°,求DC.
(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积有最小值?求出最小值.

　函数思想在解三角形中的应用
　　解答三角形应用题时经常会利用函数思想,求解时,根据题意把函数关系式表示出来,利用函数的性质求其最值,要注意变量的取值范围.关于三角形中的最值问题,有时把所求问题表示为关于角θ的三角函数,再利用三角函数的性质来求解.
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.

　　【突破训练】如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,求tan θ的最大值.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角)