学生书-§3-2指数与指数函数.docx

§3.2　指数与指数函数
(对应答案分册第4页)

1.根式
(1)概念:式子na叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:(na)n=a(a使a有意义);当n为奇数时,nan=a,当n为偶数时,nan=|a|=a,a≥0,-a,a<0.
2.分数指数幂
(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
　　(2)指数函数的图象与性质

y=ax,a>1
y=ax,0<a<1
图象

定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即当x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1;
当x>0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数

　　1.y=ax与y=1ax(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.

2.指数函数的图象与底数大小的比较:如图所示的是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.
3.对于形如y=af(x)(a>0,且a≠1)型的函数的单调性,通常要依据底数a的取值进行分类讨论:
①当a>1时,函数y=af(x)的单调性与函数y=f(x)的单调性相同.
②当0<a<1时,函数y=af(x)的单调性与函数y=f(x)的单调性相反.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)nan=(na)n=a(n∈N*).(　　)
(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.(　　)
(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.(　　)
(4)函数y=2-x在R上是减函数.(　　)
(5)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　)
【对接教材】
2.设a>0,将a2a·3a2表示成分数指数幂,其结果是(　　).

A.a12 B.a56 C.a76 D.a32
3.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点2,13,则f(-1)=(　　).
A.1 B.2 C.3 D.3
【易错自纠】
4.(2022·江西抚州月考)已知函数f(x)=1ex+1-12,则f(x)是(　　).
A.奇函数,且在R上是增函数
B.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
C.奇函数,且在R上是减函数
D.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
5.(2022·湖北黄石模拟)当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是(　　).
A.(1,2) B.22,1
C.22,1∪(1,2) D.(0,1)∪(1,2)

　指数幂的运算　【题组过关】
1.(2022·山西临汾模拟)2350+2-2×214-12-0.0112=(　　).

A.1615　　B.31730　　C.-856　　D.0
2.化简:a43-8a13b4b23+23ab+a23÷a-23-23ba×a·3a25a·3a=　　　　(a>0). 
　　点拨　1.当进行指数幂的运算时,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
　指数函数的图象及应用　【典例迁移】
　　(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　).

A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
(2)若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围为　　　　. 
　　【变式设问1】将本例(2)改为:若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围是　　　　. 
　　【变式设问2】将本例(2)改为:若函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围为　　　　. 
　　点拨　有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
　　【追踪训练1】(1)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(　　).

(2)(2022·河北秦皇岛模拟)若函数f(x)=emx-n2的大致图象如图所示,则(　　).

A.m>0,0<n<1 B.m>0,n>1
C.m<0,0<n<1 D.m<0,n>1
　指数函数的性质及应用　【考向变换】
　　考向1　比较指数式的大小
(1)(2022·辽宁沈阳模拟)已知x∈(1,2),a=2x2,b=(2x)2,c=22x,则a,b,c的大小关系为(　　).

A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.c>a>b
(2)若-1<a<0,则3a,a13,a3的大小关系是　　　　.(用“>”连接) 
　　点拨　比较指数式的大小的方法:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
【追踪训练2】(2022·山东模拟)设a=3412,b=4314,c=2334,则a,b,c的大小关系是(　　).
A.c<a<b B.c<b<a
C.a<c<b D.b<c<a
　　考向2　解简单的指数方程或不等式
已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f(1-a)=f(a-1),则实数a的值为　　　　. 
　　点拨　简单的指数方程或不等式求解的基本方法:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.
　　【追踪训练3】若2x2+1≤14x-2,则函数y=2x的值域是(　　).
A.18,2 B.18,2
C.-∞,18 D.[2,+∞)
　　考向3　指数型复合函数的单调性
(1)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是　　　　. 
(2)若函数f(x)=13ax2+2x+3的值域是0,19,则f(x)的单调递增区间是　　　　. 
　　点拨　(1)对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a>1,则函数f(x)的单调递增(减)区间就是函数y=af(x)的单调递增(减)区间;若0<a<1,则函数f(x)的单调递增(减)区间就是函数y=af(x)的单调递减(增)区间.
(2)在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论.
　　【追踪训练4】函数f(x)=3x2-5x+4的单调递增区间为　　　　　　,单调递减区间为　　　　　　. 
　　考向4　指数函数性质的综合问题
已知函数f(x)=13ax2-4x+3.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求实数a的值;

　　(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求实数a的值.

　　点拨　求解与指数函数有关的复合函数问题时,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,当涉及单调性问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
　　【追踪训练5】若不等式1+2x+4x·a≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

　换元法在指数型函数问题中的应用
　　换元法在复杂的指数型复合函数,特别是二次函数与指数函数的复合函数问题中是常用的解题方法.
已知函数f(x)=14x-λ2x-1+3(-1≤x≤2).
(1)若λ=32,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的最小值是1,求实数λ的值.

　　对于此类形如f(x)=a(mx)2+bmx+c的复合函数问题,常借助换元法将复合函数转化为二次函数问题求解,但应注意换元后“新元”的取值范围.

　　【突破训练】(1)已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则实数m的取值范围为　　　　. 
(2)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,那么a的值为　　　　. 
链接《精练案》分册P12