2021北京八十中初三(上)期中数学(教师版).docx

2021北京八十中初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
3．（3分）用配方法解方程时，原方程应变形为　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图，经过变换得到△，其中绕点逆时针旋转的是　　
A． B． C． D．
5．（3分）点、在二次函数的图象上，与的大小关系是　　
A． B． C． D．无法判断
6．（3分）已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程　　

A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
7．（3分）抛物线的图象如图所示， 那么　　

A ．，， B ．，，
C ．，， D ．，，
8．（3分）如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
9．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是　　
A．抛物线的开口向上
B．抛物线与轴有交点
C．当时，抛物线与轴有交点
D．若，是抛物线上两点，则
二、填空题（本题共16分，每题2分）
11．（2分）请写出一个开口向上，且经过点的二次函数解析式　　．
12．（2分）若抛物线的系数，，满足，则这条抛物线必经过点　　．
13．（2分）已知直线与抛物线交点的横坐标为1，则　 　，交点坐标为　 　．
14．（2分）在平面直角坐标系中，把点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 　　．
15．（2分）如图，四边形内接于，，则　　度．

16．（2分）如图，直线与抛物线交于点，，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为　　．

17．（2分）排水管的截面为如图所示的，半径为，已知现在水面位于圆心下方，且水面宽，如果水面上涨后，水面宽为，那么水面上涨了　　．

18．（2分）如图，是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，．以下结论：
①；
②；
③若四边形是正方形，则；
④若为的中点，则为中点；
所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题（本题共54分，第19题8分，第20-23题每题4分，第24题5分，第25-27题每题6分，第28题7分）。
19．（8分）解下列方程
（1）；
（2）．

20．（4分）如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心，保留作图痕迹．

21．（4分）把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点，求平移后的抛物线的解析式．

22．（4分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．

23．（4分）学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边的长为米（要求，矩形花圃的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）要想使矩形花圃的面积最大，边的长应为多少米？

24．（5分）下表是二次函数图象上部分点的横坐标和纵坐标．

0
1
2
3
4
5

8
3
0

0

8

（1）观察表格，直接写出　 　；
（2）其中，、，在函数的图象上，且，，则　 　（用“”或“”填空）；
（3）求这个二次函数的表达式．
25．（6分）如图，是的直径，弦，是上一点，，的延长线相交于点．求证：．

26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，
①抛物线的对称轴为　　；
②若在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是　　；
（2）抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围．

27．（6分）四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于，连接．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出的度数；
（3）连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28．（7分）对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下的定义：在点与图形上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点与图形的距离，特别的，当点在图形上时，点与图形的距离为零．如图1，点，．

（1）点与线段的距离为　　；点与线段的距离为　　；
（2）若直线上的点与线段的距离为2，求出点的坐标；
（3）如图2，将线段沿轴向上平移2个单位，得到线段，连接，，若直线上存在点，使得点与四边形的距离小于或等于1，请直接写出的取值范围为　　．

2021北京八十中初三（上）期中数学
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是中心对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，正确．
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
3．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：，
配方得：，
即．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．【分析】根据轴对称以及旋转的性质逐一判断即可．
【解答】解：选项由图形知，△是由绕点逆时针旋转大于60所得；
选项与中，△是由通过翻折得到，
选项是绕点逆时针旋转所得，
故选：．
【点评】本题考查了旋转及轴对称的概念和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质以及轴对称的性质，属于基础题．
5．【分析】分别计算自变量为、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当时，；
当时，；
，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
6．【分析】首先根据图象求出抛物线的图象与轴的交点横坐标取值范围，进而写出一元二次方程的解的情况．
【解答】解：由图可知：抛物线的图象与轴的交点横坐标的取值范围是，，
则一元二次方程有两个实根，且一根小于1，一根大于2．
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点问题的知识，根据抛物线与轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．
7．【分析】根据抛物线的开口方向、 对称轴方程以及抛物线与轴的交点来判定系数、、的符号 ．
【解答】解： 根据图象知， 抛物线的开口方向向下， 则．
对称轴方程，则，故、同号， 所以；
又因为抛物线与轴的交点位于轴的正半轴， 则．
综上所述，，，．
故选：．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系， 二次函数系数符号由抛物线开口方向、 对称轴、 抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定 ．
8．【分析】根据圆周角定理得到，，利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
9．【分析】根据判别式的意义得到△，即可求得．
【解答】解：根据题意得△，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
10．【分析】根据函数图象的性质和特点，逐次求解即可．
【解答】解：．，故抛物线开口向上，故正确，不符合题意；
．抛物线为开口向上的平行线，一定和轴有交点，故正确，不符合题意；
．当和时对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线，解得，
故抛物线的表达式为，当时，
则△，故抛物线与轴无交点，故错误，符合题意；
．由点、的坐标知，这两个点关于抛物线对称轴对称，故正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
11．【分析】直接利用二次函数开口向上则，且经过，即，进而得出答案．
【解答】解：二次函数开口向上，且经过点，
解析式可以为：等．
故答案为：等．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数基本性质是解题关键．
12．【分析】把代入抛物线的关系式得，而，因此抛物线必过点
【解答】解：当时，，因此抛物线必过点
故答案为：
【点评】考查二次函数的图象和性质，考虑抛物线过特殊点时，相应的、、满足的关系是关键．
13．【分析】首先把分别代入抛物线求得纵坐标，再代入直线求得，进一步与抛物线联立方程求得答案即可．
【解答】解：把分别代入抛物线，
把代入直线解得，
由题意得
，
解得，
所以交点坐标为．
故答案为：4，．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据题意得出关于、的方程组是解答此题的关键．
14．【分析】利用图象法解决问题即可．
【解答】解：如图，观察图象可知，．

故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
15．【分析】根据圆内接四边形的性质，可求得的度数，根据圆周角定理，可求得的度数．
【解答】解：四边形内接于，

故．
【点评】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，比较简单．需同学们熟练掌握．
16．【分析】先求出点，点坐标，结合图象可求解．
【解答】解：抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，
点，
当时，，
，，
点，
不等式的解集为，
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的应用，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
17．【分析】根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点作，连接，如图所示：
，
在中，，
，，
，
，
于，
连接，
同理，
，
当与在圆心的两侧时，
，
故水面上涨了或，
故答案为：1或7．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．【分析】①②正确，证明，可得结论．
③错误，证明，可得结论．
④正确，证明是等边三角形，可得结论．
【解答】解：连接、，如图，
、，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，故②正确，
，，
，故①正确，
当四边形是正方形时，，
，
，故③错误，
若是的中点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
三、解答题（本题共54分，第19题8分，第20-23题每题4分，第24题5分，第25-27题每题6分，第28题7分）。
19．【分析】（1）利用求根公式法求解即可；
（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）；
，，，
△，
，
，；
（2），
，
，
则，
或，
解得，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．【分析】在圆上取两条弦，再做两条弦的中垂线，中垂线的交点即为所求．
【解答】解：如图所示，点即为所求．

【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握圆上所有点到圆心的距离相等的性质及线段中垂线的尺规作图．
21．【分析】可设平移后抛物线的表达式为，然后把点坐标代入求出即得到该抛物线的表达式．
【解答】解：设平移后抛物线的表达式为，
把代入，得
，
解得．
所以平移后的抛物线的解析式是．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
22．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用两根之积等于即可求出方程的另一个根．
【解答】解：（1），
方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为，
由根与系数关系得，
解得，
方程的另一个根为．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程两个实数根”；（2）牢记两根之积等于．
23．【分析】（1）由题意得出，，由矩形的面积公式即可得出与之间的函数关系式；
（2）把函数关系式化成顶点式，由二次根式的性质即可得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：，，，
即与之间的函数关系式为：；
（2），
时，取得最大值108，
答：要想使矩形花圃的面积最大，边的长应为6米．
【点评】本题考查了二次函数的应用、最值问题；根据题意得出函数关系式是解决问题的关键．
24．【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出；
（2）根据，，它们的范围解答；
（3）设二次函数顶点式解析式为，然后把点代入求出的值，即可得解．
【解答】解：（1）观察表格，可知．
故答案为：3；
（2），、，在函数的图象上，且，，
．
故答案为：；
（3）顶点是，
设二次函数顶点式解析式为，
由图可知，函数图象经过点，
，
解得．
二次函数的解析式为，即．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，利用顶点式解析式求二次函数解析式更简便．
25．【分析】连接，如图，根据垂径定理由得到弧弧，再根据圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质得，于是利用等量代换即可得到结论．
【解答】证明：连接，如图，

，
弧弧，
，
，
．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．
26．【分析】（1）把代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；
②根据二次函数的图象和性质，抛物线上有两点，，且进而可得的取值范围；
（2）根据题意先求出点、、的坐标，再结合图象，即可求的取值范围．
【解答】解：（1）①抛物线的对称轴为，
故答案为1；

②抛物线上有两点，，
且，则的取值范围是或；
故答案为：或；
（2）抛物线的对称轴为，且对称轴与轴交于点，
点的坐标为．
点与点关于轴对称，
点的坐标为．
点右移3个单位得到点，
点的坐标为．
依题意，抛物线与线段恰有一个公共点，
把点代入，可得；
把点代入，可得；
把点代入，可得．
根据所画图象可知抛物线与线段恰有一个
公共点时可得：
或．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．
27．【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；
（2）的度数为．由题意得，，，，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；
（3）作，交的延长线于点，判定，可得，，，，从而可得与的数量关系，则可得线段与的数量关系．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：

（2）．设与交于点，如图所示：

由题意得，，，，
，，
，，
．
，
．
，

．
（3）．
证明：如图，作，交的延长线于点，

由（2）得．
．
，，
，
，，
，即，
，
，，
，．
．
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，数量掌握相关性质及定理是解题的关键．
28．【分析】（1）根据点与图形的距离的定义即可解决问题；
（2）画出图形，分两种情形分别解决问题即可；
（3）如图2中，作直线于，延长交直线于，当时，，则有，可得．作直线于，延长交直线于，当时，，可得，解得，结合图形即可解决问题；
【解答】解：（1）点与线段的距离为线段的长；点与线段的距离为线段的长，
故答案为；2．，
（2）如图1，点在直线上．

点，，
平行于轴，
当时，，
，
，
过作交的延长线于点，
直线与坐标轴分别交于点，，
，
可证，
，
，
，
点的坐标为或．
（3）如图2中，

作直线于，延长交直线于，
当时，，
，
．
作直线于，延长交直线于，
当时，，
，
．
观察图象可知：满足条件的的范围为：．
【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、点与图形的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
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