第二章-§2-3-函数的奇偶性、周期性与对称性.docx

§2.3　函数的奇偶性、周期性与对称性
考试要求　1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．

知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称

2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　×　)
(2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)g(x)为奇函数．(　×　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(　√　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　)
教材改编题
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案　B
解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．
2．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2 023)＝______.
答案　
解析　∵f(x)的周期为2，
∴f(2 023)＝f(1)＝2－1＝.
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．

答案　(－2,0)∪(2,5]
解析　由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；
当2<x≤5时，f(x)<0，
又f(x)是奇函数，
∴当－2<x<0时，f(x)<0，
当－5≤x<－2时，f(x)>0.
综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．

题型一　函数的奇偶性
命题点1　判断函数的奇偶性
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋)．
解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
思维升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

命题点2　函数奇偶性的应用
例2　(1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案　C
解析　依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N的值为2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案　1
解析　方法一　(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二　(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三　(转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝，则函数f(x)(　　)
A．既是奇函数也是偶函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数
D．是偶函数，但不是奇函数
答案　C
解析　由9－x2≥0且|6－x|－6≠0，
解得－3≤x≤3且x≠0，
可得函数f(x)的定义域为
{x|－3≤x≤3且x≠0}，
关于原点对称，
所以f(x)＝＝＝，
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，但不是偶函数．
2．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.
答案　－1
解析　∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，
∴g(－1)＝1，
∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.
思维升华　(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
跟踪训练1　(1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案　B
解析　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________.
答案　－1　－2－x－2x＋1
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即1＋a＝0，
∴a＝－1.
∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，
设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝2－x＋2x－1，
∴f(x)＝－2－x－2x＋1.
题型二　函数的周期性
例3　(1)(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f ＝f 
＝f ＝－f ＝－.
(2)函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.
答案　－2
解析　f(x)＝－f(x＋2)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－2.
教师备选
若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
答案　－1
解析　当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
思维升华　(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
跟踪训练2　(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于(　　)
A．336 B．338
C．337 D．339
答案　B
解析　因为f(x＋6)＝f(x)，
所以函数的周期T＝6，
于是f(1)＝1，f(2)＝2，
f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，
f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，
f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
而2 023＝6×337＋1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)
＝337×1＋1＝338.
(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝________.
答案　0
解析　∵f(x＋1)＝f(x－1)，
∴f(x)的周期为2，
∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①
又f(x)的周期为2，
∴f(－1)＝f(1)，②
由①②得f(1)＝0，
∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.
题型三　函数的对称性
例4　(1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①f(x)的图象关于直线x＝2对称；
②f(x)的图象关于点(2,0)对称；
③f(x)的周期为4；
④y＝f(x＋4)为偶函数．
答案　①③④
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．
(2)函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________．
答案　x＝
解析　内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝，所以函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程是
x＝.
教师备选
已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的图象关于点(0,1)对称，且f′(1)＝4，则a－b＝________.
答案　－1
解析　因为f(x)关于点(0,1)对称，
所以f(x)＋f(－x)＝2，
故f(1)＋f(－1)＝2，
即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，
解得a＝0，
所以f(x)＝x3＋bx＋1，
又因为f′(x)＝3x2＋b，
所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，
所以a－b＝－1.
思维升华　(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
跟踪训练3　(1)函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(2 025)＝________.
答案　1
解析　∵f(x)的周期为6，则f(2 025)＝f(3)，
又f(x＋2)为偶函数，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(3)＝f(1)＝1，∴f(2 025)＝1.
(2)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是________．(填序号)
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的图象关于点(π，0)对称．
答案　②③④
解析　∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋
＝－sin x－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
故①错误，②正确．
∵f ＝cos x＋，
f ＝cos x＋，
∴f ＝f ，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故③正确．
又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋
＝sin x＋，
f(－x)＝－sin x－，
∴f(x＋2π)＝－f(－x)，
∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故④正确．
课时精练

1．如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上(　　)
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递减且最小值为－5
C．单调递增且最大值为－5
D．单调递减且最大值为－5
答案　C
解析　因为奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，
所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.
2．若函数f(x)＝＋a为奇函数，则a的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
答案　C
解析　方法一　(定义法)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＋a＝－，
∴2a＝－＝1，
∴a＝.
方法二　(特值法)f(x)为奇函数，且x≠0，
∴f(－1)＝－f(1)，
∴a－2＝－(a＋1)，
∴a＝.
3．(2022·南昌模拟)函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
答案　B
解析　f(x)＝＝3x＋3－x，
f(－x)＝3－x＋3x，
∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
答案　A
解析　依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2 021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2 021)＝2.
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
答案　D
解析　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，
A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
B项，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，为偶函数；
C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．
6．(2022·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于(　　)
A．0 B．－1 C．－2 D．2
答案　C
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，
所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，
又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝f(－x)，
所以函数图象关于直线x＝1对称，
所以－＝1，解得a＝－2，
所以a＋b＝－2.
7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
答案　
解析　因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
则有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，则a＝，
同时f(－x)＝f(x)，
即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，
则有bx＝0，必有b＝0.
则a＋b＝.
8．已知函数f(x)满足对∀x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝x2＋mx，若f ＝，则m＝______.
答案　
解析　由f(1－x)＝f(1＋x)，
f(x＋2)＝－f(x)，
知f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的周期为4，
∴f ＝f ＝f ＝，
∴＋m＝，
∴m＝.
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知

所以1<a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2
＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

11．(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于(　　)
A．－7 B．－3 C．3 D．7
答案　B
解析　设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，
则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，
即f(x)－2＝－f(－x)＋2，
故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.
12．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x＋a，则g(1)等于(　　)
A．a＋ B.
C. D．a＋
答案　C
解析　依题意
又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴②式可化为f(1)－g(1)＝＋a， ③
由①③可得g(1)＝.
13．已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则下列结论正确的是________．(填序号)
①f(x)的图象关于点(2,0)对称；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)的周期为4；
④f(x)的周期为8.
答案　①④
解析　∵f(x)为偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，
又∵f(x＋2)是奇函数，
∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，
∴f(x)的图象关于(2,0)对称，
又∵f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)为周期函数且周期为8.
14．已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图象与y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝________.
答案　3
解析　因为f(－x)＋f(x)＝2，
则f(x)的图象关于点(0,1)对称，
又直线y＝x＋1也关于点(0,1)对称，
因为y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点，
则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，
则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.

15．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝____________，f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________.
答案　1　1 011
解析　因为f(x)＝，
所以f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＋
＝＋
＝＝1，
设f ＋f ＋f ＋…＋f ＝m，①
则f ＋…＋f ＋f ＋f ＝m，②
①＋②得2 022＝2m，即m＝1 011，
故f ＋f ＋f ＋…＋f ＝1 011.
16．(2022·北京西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值．
解　(1)因为函数y＝x是增函数，
所以函数y＝x不具有性质P，
当A＝1，T＝2π时，
函数y＝cos x对于任意x∈R，
f(x＋T)＝Af(x)成立，
所以y＝cos x具有性质P.
(2)设x∈(－π，0]，则x＋π∈(0，π]，
由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)，
所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]，
由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，
得f(－π)＝f(π)＝0，
所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x，
所以当x＝－时，
f(x)在[－π，0]上有最大值f ＝.