课时作业-第3节-不等式的性质、一元二次不等式.docx

第3节　不等式的性质、一元二次不等式

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
不等式的性质
4,5,7
11,12,13
15
一元二次不等式的解法
1,3,6,9
10
16
一元二次不等式的恒成立问题
2,8
14

1.不等式(x+b)(x+c)a-x≤0的解集为[-1,2)∪[3,+∞),则b+c=(　B　)
A.-5 B.-2 C.1 D.3
解析:不等式的解集中只有-1,3为闭区间,2为开区间,结合不等式的特征,所以必有a=2,易得a=2,b=1,c=-3或a=2,b=-3,c=1,故b+c=-2.故选B.
2.若函数f(x)=x2-ax+9的图象恒在x轴上方,则实数a的取值范围为(　B　)
A.a<6 B.-6<a<6
C.0<a≤6 D.-6≤a≤6
解析:依题意x2-ax+9>0在R上恒成立,所以Δ<0,由Δ=a2-36<0,解得-6<a<6.故选B.
3.已知关于x的不等式ax>x+6的解集为(b,9),则a+b的值为(　D　)
A.4 B.5 C.7 D.9
解析:由ax>x+6得x-ax+6<0,依题意上述不等式的解集为(b,9),故b-ab+6=0,9-3a+6=0,解得a=5,b=4(b=9舍去),故a+b=9.故选D.
4.(多选题)(2021·福建三明高三模拟)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是(　BC　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ab>0,bc-ad>0,则ca-db>0
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,c>d>0,则ad>bc
解析:若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错误;
若ab>0,bc-ad>0,则bc-adab>0,化简得ca-db>0,故B正确;
若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确;
若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则ad=-1,bc=-1,ad=bc=-1,故D错误.故选BC.
5.(2021·宁夏大学附属中学高三一模)已知a,b,c满足a>b>c,且ac>0,则下列选项中一定能成立的是(　C　)
A.ab>ac B.c(b-a)>0
C.ab(a-c)>0 D.cb2>ca2
解析:取a=-1,b=-2,c=-3,则ab=2<ac=3,cb2=-12<ca2=-3,排除A,D;取a=3,b=2,c=1,则c(b-a)=-1<0,排除B;因为a>b>c,且ac>0,所以a,b,c同号,且a>c,所以ab(a-c)>0.故选C.
6.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,则k的取值范围是　 　　.
解析:x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2.
答案:(-∞,2]∪[4,+∞)
7.设x,y满足1≤x≤3,-1≤x-y≤0,则2x+y的最大值为　　　　. 
解析:因为2x+y=3x-(x-y),由于1≤x≤3,-1≤x-y≤0,可得0≤-(x-y)≤1,3≤3x≤9,由不等式的基本性质可得3≤3x-(x-y)≤10,即3≤2x+y≤10,因此2x+y的最大值为10.
答案:10
8.设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).若不等式f(x)>0的解集为,则实数m的取值范围是　　　　;若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
解析:不等式f(x)>0的解集为,即f(x)≤0对一切实数x恒成立,
所以m+1<0,且Δ=m2-4(m+1)(m-1)≤0,
所以m≤-233.
若f(x)>0的解集为R,所以m+1>0,
且Δ=m2-4(m+1)(m-1)<0,所以m>233.
答案:(-∞,-233]　(233,+∞)
9.(1)若关于x的不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R).
解:(1)由题意可知,方程ax2-3x+2=0的两个不相等的实根分别为x1=1,x2=b,于是有9-8a>0,b+1=3a,b·1=2a,
解得a=1,b=2.
(2)原不等式等价于ax2+(a-3)x-3>0,
即(x+1)(ax-3)>0,
①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}.
②当a≠0时,方程的两根为x1=-1,x2=3a,
当a>0时,不等式的解集为{x|x<-1或x>3a};
当a<0时,(ⅰ)若3a>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x<3a};
(ⅱ)若3a<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|3a<x<-1};
(ⅲ)若3a=-1,即a=-3,原不等式的解集为.
所以综上所得,
当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1};
当a>0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x>3a};
当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x<3a};
当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x<-1};
当a=-3时,原不等式的解集为.

10.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-63[x]+45<0成立的x的取值范围是(　A　)
A.[1,15) B.[2,8]
C.[2,8) D.[2,15)
解析:不等式4[x]2-63[x]+45<0,即为(4[x]-3)([x]-15)<0,解得34<[x]<15,则[x]∈{1,2,3,…,14},因此1≤x<15.故选A.
11.(多选题)已知a>b>0,则下列命题正确的是(　BC　)
A.若a-b=1,则 a-b>1
B.若a-b=1,则a3-b3>1
C.若a-b=1,则ea-eb>1
D.若a-b=1,则ln a-ln b>1
解析:对于A,若a-b=1,取a=4,b=3,则a-b=2-3<1,因此A错误;对于B,因为a-b=1,a>b>0,所以a>1,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=a2+a(a- 1)+(a-1)2=3a(a-1)+1>1,因此B正确;对于C,因为b>0,所以eb>1,即有ea-eb=eb+1-eb=eb(e-1)>1,因此C正确;对于D,若a-b=1,取a=e,b=e-1,则ln a-ln b=1-ln(e-1)<1,因此D错误.故选BC.
12.(2021·河南郑州一中高三联考)已知2<x<4,-3<y<-1,则xx-2y的取值范围是(　B　)
A.(110,14) B.(14,23)
C.(15,1) D.(23,2)
解析:原式分子和分母同时除以x,得xx-2y=11-2yx,由条件得2<-2y<6,所以24<-2yx<62,即12<-2yx<3,所以32<1-2yx<4,所以14<11-2yx<23.故选B.
13.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点分别为m,n(m<n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0,且0<x<m<n<1a,比较f(x)与m的大小.
解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)·(x-n),
当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0,
即a(x+1)(x-2)>0.
当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};
当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.　
(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),
因为a>0,且0<x<m<n<1a,
所以x-m<0,1-an+ax>0.
所以f(x)-m<0,即f(x)<m.
14.已知函数f(x)=ax2+x+2-4a(a≠0),且对任意的x∈R,f(x)≥2x恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈[-1,1],不等式f(x+t)<f(x2)恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)因为对任意的x∈R,f(x)≥2x恒成立,所以ax2-x+2-4a≥0对x∈R恒成立,
所以a>0,Δ=1-4a(2-4a)≤0,即a>0,(4a-1)2≤0,
解得a=14,所以f(x)=14x2+x+1.
(2)由f(x+t)<f(x2),得14(x+t)2+(x+t)+1<14×(x2)2+x2+1,
即3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0,
所以对任意的x∈[-1,1],
不等式3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0恒成立.
令m(x)=3x2+(8t+8)x+4t2+16t,
则m(-1)=4t2+8t-5<0,m(1)=4t2+24t+11<0,
解得-52<t<-12,
所以实数t的取值范围为(-52,-12).

15.(2021·江西临川一中实验学校高三模拟)某学校计划购买一些气球来布置会场,已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色,红色多于蓝色,蓝色多于绿色,绿色多于黄色,黄色的两倍多于红色,则购买的气球最少有(　B　)
A.20个 B.22个 C.24个 D.26个
解析:分别设红、黄、蓝、绿各有a,b,c,d个,且a,b,c,d为正整数,则由题意得a≥c+1,c≥d+1,d≥b+1,2b≥a+1,可得b≥4,所以a≥7,c≥6,d≥5,即至少有4+5+6+7=22个.故选B.
16.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2个整数,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析:因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,
当a=1时,不等式的解集为空集;
当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a},所以a>1,a≤4⇒1<a≤4;
当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1},所以a<1,a≥-2⇒-2≤a<1,
要使不等式的解集中至多包含2个整数,则a≤4且a≥-2,所以实数a的取值范围是[-2,4].
答案:[-2,4]