2021北京四中璞瑅学校初三(上)期中数学(教师版).docx

2021北京四中璞瑅学校初三（上）期中
数 学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是　　)
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
3．（3分）如图，内接于，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
4．（3分）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是　　
A． B． C． D．
5．（3分）如图，的半径为5，为弦，，垂足为，如果，那么弦的长为　　

A．4 B．6 C．8 D．10
6．（3分）在平面直角坐标系中，如果是以原点为圆心，以5为半径的圆，那么点与的位置关系是　　
A．在内 B．在上 C．在外 D．不能确定

7．（3分）如图，将绕着点顺时针旋转后得到△．若，，则的度数是　　

A． B． C． D．
8．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价元后，每星期售出商品的总销售额为元，则与的关系式为　　
A． B．
C． D．
9．（3分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是　　
A． B． C． D．
10．（3分）如图，，是的两条互相垂直的直径，点从点出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），点运动的时间为（单位：秒），那么表示与关系的图象是　　

A． B． C． D．

二、填空题（共16分，每小题2分）
11．（2分）点关于原点对称的点的坐标是　　．
12．（2分）如图，点，，，在上，且为直径，如果，，那么　　，　　．

13．（2分）的半径为，如果圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是 　　．
14．（2分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为　　．

15．（2分）如图，是的直径，弦于点，如果，则的度数是　　．

16．（2分）定义：直线称作抛物线的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）已知抛物线的关联直线为，则该抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）当时，请写出抛物线与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）　 　．

三、解答题（本题共54分，第17题8分，第18题4分，第19—24题，每小题0分，第25题6分，第26题6分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．已知：二次函数的图象经过点．
（1）求；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△；
（2）画出将绕原点顺时针方向旋转得到△；
（3）在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标．

20．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根．

21．已知如图，是的直径，弦，垂足为，连接．若，，求的半径．

22．已知抛物线经过点、、．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线　　，抛物线与轴的另一个交点的坐标为 　　；
（2）画出二次函数的图象．
（3）当时，的取值范围是 　　．

23．已知：如图，．
（1）求作：的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若是直角三角形，则其外接圆的圆心在 　　；
（3）若的外接圆的圆心到边的距离为1，，求其外接圆的面积．

24．如图，内接于，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，在弦上取一点，使，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，，．
（1）求证：抛物线总与轴有两个不同的交点；
（2）若，求此抛物线的解析式．
（3）已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，请写出的取值范围．

26．如图，在中，，，点在线段上，作射线，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，过点作于点，交于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

2021北京四中璞瑅学校初三（上）期中数学
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．
【解答】解：、、都不是中心对称图形，是中心对称图形，
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【解答】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线，
故选：．
【点评】考查了二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
3．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．【分析】直接根据二次函数图象平移的规律即可得出结论．
【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是：．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
5．【分析】先连接，根据勾股定理求出的长，由垂径定理可知，，进而可得出结论．
【解答】解：连接，
，，，
，
，
．
故选：．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．【分析】根据两点间的距离公式求出的长，然后与的半径比较，即可确定点的位置．
【解答】解：点，
，
是以原点为圆心，以5为半径的圆，
点在上，
故选：．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
7．【分析】首先根据旋转的性质可得：，，即可得到，再有，利用三角形内角和可得的度数，进而得到的度数，再由条件将绕着点顺时针旋转后得到△可得，即可得到的度数．
【解答】解：根据旋转的性质可得：，，
，
，
，
，
，
将绕着点顺时针旋转后得到△，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是熟练掌握旋转前、后的图形全等，进而可得到一些对应角相等．
8．【分析】根据降价元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：降价元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．
9．【分析】根据的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案．
【解答】解：根据的圆周角所对的弧是半圆，显然正确，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆周角的概念；理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的推论，把数学知识运用到实际生活中去．
10．【分析】当点在上自向运动时，自逐渐减小到；当点在上运动时，，为定值；当点在上自向运动时，自逐渐增大到，据此求解即可．
【解答】解：如图所示，

当点在上自向运动时，自逐渐减小到；
当点在上运动时，，为定值；
当点在上自向运动时，自逐渐增大到；
符合以上变化规律的只有选项，
故选：．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是掌握圆周角定理及圆的基本性质．
二、填空题（共16分，每小题2分）
11．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称的点的坐标是．
【点评】这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．
12．【分析】连接，，根据等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：连接，，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：，．

【点评】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【解答】解：的半径为，圆心到直线的距离为，
，
直线与的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知的半径为，如果圆心到直线的距离是，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交．
14．【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与轴的另一个交点为，从得出答案．
【解答】解：抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点为，
方程的解为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点，掌握抛物线与轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
15．【分析】根据垂径定理求出，求出、、的度数，即可求出答案．
【解答】解：是的直径，弦于点，
，
，
，
即、、的度数是，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是进而此题的关键．
16．【分析】（1）由关联直线的定义可求得和的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．
【解答】解：
（1）抛物线的关联直线为，
，，
抛物线解析式为，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：；
（2）当时，抛物线解析式为，则关联直线解析式为，
当时，函数值都为，
抛物线及其关联直线都过点，
故答案为：过点．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．
三、解答题（本题共54分，第17题8分，第18题4分，第19—24题，每小题0分，第25题6分，第26题6分）
17．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）根据直接开平方法解方程即可求解．
【解答】解：（1），
，
，，
解得，；
（2），
，
，
解得，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解一元二次方程直接开平方法．
18．【分析】（1）直接把点坐标代入可求出，从而确定二次函数的解析式；
（2）利用配方法求解．
【解答】解：（1）二次函的图象经过点，
，解得，
二次函数的解析式为；
（2）

．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
（3）作点关于轴的对应点，连接交轴于点，点即为所求．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，△即为所求；
（3）如图，点即为所求，点的坐标，．

【点评】本题考查作图平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
20．【分析】（1）先根据方程有两个不相等的实数根可知△，由△可得到关于的不等式，求出的取值范围即可；
（2）由（1）中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出的值．
【解答】解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根，
△，
；
（2），
符合条件的最大整数是2，
原方程为，
解得：，．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根与△的关系及求根公式，是一个综合性的题目，难度适中．
21．【分析】连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．
【解答】解：连接，如图所示：
是的直径，弦，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
即的半径为．

【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
22．【分析】（1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线，由点坐标为可得点坐标为．
（2）由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象．
（3）由抛物线开口方向及对称轴可确定时取最小值，时取最大值．
【解答】解：（1）点、关于直线对称，
对称轴为直线，
关于直线对称点为，
点坐标为，
故答案为：2；．
（2）将、、代入得，
解得，
．
图象如下：

（3）抛物线对称轴为直线，且，
时，取最小值为，
时，取最大值为，
．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式的方法，掌握二次函数图象的性质．
23．【分析】（1）作和的垂直平分线，交点是圆心；
（2）根据“ 的圆周角所对的弦是直径”得出圆心的位置；
（3）根据“垂径“定理和勾股定理求出半径，进而求出面积．
【解答】解：（1）如图1，

则就是求作的图形；
（2）的圆周角所对的弦是直径，
斜边是直径，
圆心在斜边的中点，
故答案是：斜边的中点；
（3）如图2，

，
，

，
．
【点评】本题考查了圆的有关性质，直角三角形性质，线段垂直平分线的判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆的基础知识．
24．【分析】（1）根据切线的性质和圆周角的定理，进而求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可证得结论；
（2）连接，易证得，解直角三角形求得，进而求得，然后即可求得．
【解答】（1）证明：是的切线，
，
为的直径，
，
，，
，
，，
．
；
（2）解：连接．
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，，，
，
，，
，即，
，
，
．

【点评】本题考查了切线的性质圆周角定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．【分析】（1）证明△即可；
（2）利用抛物线与轴的交点问题，则、为方程的两根，利用根与系数的关系得到，，再变形得到，所以，然后解出即可得到抛物线解析式；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当，时，抛物线与线段有交点，于是得到，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：△
，
，
△，
抛物线总与轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，、为方程的两根，
，，
，
，
，
，
抛物线的解析式为；
解法二：据对称轴为直线，可得与交点，任意代入即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，
当，时，抛物线与线段有交点，
，
．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
26．【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）结论：．延长至，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）结论：．
理由：延长至，使，连接．
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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