2023届高考数学特训营-第2节-平面向量基本定理及坐标表示.doc

第2节　平面向量基本定理及坐标表示

A级(基础应用练)
1．(2022•黑龙江哈尔滨市月考)若向量＝(5，6)，＝(2，3)，则＝(　　)
A．(－3，－3) B．(7，9)
C．(3，3) D．(－6，－10)
答案：C
解析：已知向量＝(2，3)，故＝(－2，－3)，又由向量＝(5，6)，可得＝＋＝(5，6)＋(－2，－3)＝(3，3)．故选C.
2．已知e1，e2是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，不可以作为一组基底的是(　　)
A．e1和e1＋e2
B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1＋e2和e1－e2
D．e1－2e2和4e2－2e1
答案：D
解析：因为e1和e2是平面向量的一组基底，所以e1和e2不共线，e1和e1＋e2不共线，e1－2e2和e2－2e1不共线，e1＋e2和e1－e2不共线．因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，所以e1－2e2和4e2－2e1共线，故选D.
3．(2022•山西太原市月考)已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)
A. B．
C. D．
答案：B
解析：因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cos C＝＝.
因为0<C<π，所以C＝.故选B.
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
5．(2022•山西一模)在平行四边形ABCD中，E，F分别满足＝，＝，则＝(　　)
A.＋ B．＋
C.＋ D．＋
答案：A
解析：因为在平行四边形ABCD中，E，F分别满足＝，＝，
所以＝＋，＝＋，＝－.
设＝x＋y，则＋＝x(－)＋y(＋)，
计算得x＝，y＝，所以＝＋.故选A.

6．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y(x，y∈R)，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
答案：A
解析：由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y－2＝0.故选A.
7．(2022•江西月考)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝，则(　　)

A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
答案：A
解析：设AP＝a，因为＝，所以PT＝a，CP＝a，CA＝a，
所以＝，＝＝－.
因为＝＋，所以＝＋，
所以＝•＋＝＋＝＋.故选A.
8．(2022•安徽黄山市二模)已知a＝(3，x)，b＝(－1，2)，若a∥b，则2a＋3b＝________．
答案：(3，－6)
解析：因为a＝(3，x)，b＝(－1，2)，a∥b，
所以3×2＝(－1)×x，解得x＝－6，
所以2a＋3b＝(6，－12)＋(－3，6)＝(3，－6)．
9．已知D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．
答案：－ 　
解析：由题意，作图象如图所示，
因为＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
又＝λ1＋λ2，所以λ1＝－，λ2＝.

10．(2022•新疆乌鲁木齐一模)如图，这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若∠BAE＝30°，设＝x＋y，则xy的值为________．

答案：2＋
解析：设|EB|＝m，∵∠BAE＝30°，
∴在△ABE中，|AE|＝m，
∴|EH|＝(－1)m＝|EF|.
如图，过点B作DH的延长线的垂线，垂足为I，连接BI.

＝(2＋)，＝＋＝＋(2＋)，
∴x＝2＋，y＝1，∴xy＝2＋.
B级(综合创新练)
11．(多选题)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，2)，c＝(1，1)，则(　　)
A．a∥b B．(a＋b)⊥c
C．a＋b＝c D．c＝5a＋3b
答案：BD
解析：由题意得2×2－(－3)×(－1)≠0，A错误；a＋b＝(－1，1)，(a＋b)•c＝－1＋1＝0，故(a＋b)⊥c，B正确，C错误；5a＋3b＝5(2，－1)＋3(－3，2)＝(1，1)＝c，D正确．故选BD.
12．(多选题)(2022•广东二模)已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是DE的中点，M是AB的中点，延长AF交CD于点N(如图所示)．设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)

A.＝a＋b B．∥
C.•＝－ D．＝2
答案：AC
解析：由F是DE的中点，可得＝b＋＝b＋(－b＋a＋b)＝a＋b，故A正确；
因为E是BC的中点，M是AB的中点，所以ME∥AC，又AC∩AF＝A，所以∥错误，故B错误；
因为＝－＝a－b，＝a＋b，
所以•＝(a＋b)•(a－b)＝－＋a•b＝－＋＝－，故C正确；
显然D错误．故选AC.
13．已知点D是△ABC的边BC上的点，＝2，过点D作直线l分别交直线AB，AC于E，F两点，若＝λ，＝μ，其中λ>0，μ>0，则λ＋2μ的最小值是________．
答案：3
解析：由题意知λ>，μ>.
在△AEF中，由E，D，F三点共线，可设＝＝(m>0，n>0)，
在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以所以λ＝，μ＝，
所以λ＋2μ＝＋＝＋＋≥＋2＝3，
当且仅当＝，即m＝2n时，等号成立，
此时λ＝1，μ＝1.
14．(2022•浙江省三模)地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图所示的是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若＝a，＝b，则＝________．

答案：－(2＋)a－b
解析：如图，以AB的中点M为坐标原点建立平面直角坐标系，设|AB|＝2，则O(0，)，A(－1，0)，B(1，0)，f (1，2＋2 )，所以＝(－1，－)，＝(1，－)，＝(2，2＋2 )．
设＝λ＋μ，则(2，2＋2 )＝(μ－λ，－λ－μ)，则解得
所以＝－(2＋)－，即＝－(2＋)a－b.

15．(2022•天津二模)如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，线段AD，BE，CF交于点O，则|＋|＝________；若M是线段BE上一点，且•(＋)＝－2，则||＝________．

答案：4　
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正六边形的边长为2，则O(0，0)，A(－1，)，B(－2，0)，C(－1，－)，D(1，－)，E(2，0)，f (1，)，
所以＝(－1，)，＝(3，)，＋＝(－1＋3，＋)＝(2，2 )，
所以|＋|＝＝4.
因为M是线段BE上一点，设M(n，0)，则＝(n－1，)，＝(n－1，－)，
所以＋＝(n－1，)＋(n－1，－)＝((n－1)，)，＝(2，－2 )，
•(＋)＝2×(n－1)＋(－2 )×＝(n－1)－1＝－2，解得n＝，
所以M(，0)，＝(，0)，||＝.