2023届高考数学特训营-第2节-用样本的数字特征估计总体.doc

第2节　用样本的数字特征估计总体

A级(基础应用练)
1．(2022·山东菏泽模拟)数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为(　　)
A．3 B．3.5
C．3.6 D．4
答案：D
解析：由于6×60%＝3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选D.
2．(2022·太原月考)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为(　　)
A.和s2 B．2＋3和4s2
C．2＋3和s2 D．2＋3和4s2＋12s＋9
答案：B
解析：法一：平均数为(2x1＋3＋2x2＋3＋…＋2xn＋3)＝[2(x1＋x2＋…＋xn)＋3n]＝2＋3；方差为{[(2x1＋3)－(2＋3)]2＋[(2x2＋3)－(2＋3)]2＋…＋[(2xn＋3)－(2＋3)]2}＝[4(x1－)2＋4(x2－)2＋…＋4(xn－)2]＝4s2.
法二：原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知，得到的新数据的平均数和方差分别是2＋3和4s2.
3．(2021·榆林模拟)为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．根据2019年1月至2020年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下折线图．

根据该折线图，下列结论正确的是(　　)
A．2019年各月的仓储指数最大值是在3月份
B．2020年1月至7月的仓储指数的中位数为55
C．2020年1月与4月的仓储指数的平均数为52
D．2019年1月至4月的仓储指数相对于2020年1月至4月，波动性更大
答案：D
解析：2019年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A错误；由题图可知，2020年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B错误；2020年1月与4月的仓储指数的平均数为＝53，所以C错误；由题图可知，2019年1月至4月的仓储指数比2020年1月至4月的仓储指数波动更大，故选D.
4．(2022·安徽模拟)已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn，满足yi＝2x＋1(i＝1，2，…，n)，则下列叙述一定正确的是(　　)
A．样本乙的极差等于样本甲的极差
B．样本乙的众数大于样本甲的众数
C．若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数
D．若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数
答案：C
解析：∵yi＝2x＋1，∴yi关于xi单调递增，
而甲样本极差为xn－x1，乙样本极差为yn－y1＝2(x－x)＝2(xn－x1)(x＋xnx1＋x)，两个数据大小关系不定，
∴样本乙的极差不一定等于样本甲的极差，A错误；
样本乙的众数不一定大于样本甲的众数，B错误；
若xi为样本甲的平均数，yi不一定是样本乙的平均数，D错误；
若xi为样本甲的中位数，则yi一定是样本乙的中位数，C正确．
5．已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x，样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为(　　)
A．n＝m B．n≥m
C．n＜m D．n＞m
答案：C
解析：由题意得z＝(nx＋my)＝x＋(1－)y，∴a＝，
∵0＜a＜，∴0＜＜，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，∴n＜m.故选C.
6．(多选题)(2022·海南一模)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
下列结论中，正确的是(　　)
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
答案：ABC
解析：甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，∴A正确；s＝191＞110＝s，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．
7．(多选题)(2022·潍坊模拟)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次．统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后，下列数字特征有可能发生的是(　　)
A．平均数为3，极差是3
B．中位数是3，极差是3
C．平均数为3，方差是0.8
D．中位数是3，方差是0.56
答案：BCD
解析：2＋3＋4＋4＝13，
①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，
所以极差为4－2＝2，方差为×[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即选项A错误，C正确；
②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，
当投中的个数为0时，极差为4，平均数为2.6，方差为×[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；
当投中的个数为1时，极差为3，平均数为2.8，方差为×[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；
当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；
当投中的个数为3时，极差为2，平均数为3.2，方差为×[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，即选项B和D均正确．故选B，C，D.
8．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．
答案：5　
解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴＝5，
∴x＝6，
∴这组数据的平均数是＝5，
这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝.
9．(2022·成都月考)学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注．学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．

若该组数的平均数、众数、中位数依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为________．
答案：a＜b＝c
解析：依题意，调查人数n＝＝50(人)，并有
次数
0次
1次
2次
3次
4次
人数
7人
13人
17人
10人
3人
∴共统计了50人，众数为2，中位数为2，平均数为＝＜2，
∴a＜b＝c.
10．(2022青岛模拟)已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省二、三、四线所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．
答案：117.98
解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋×[10＋(1.8－1.2)2]＋×[8＋(0.7－1.2)2]，
解得s2＝117.98，即二线城市的房价的方差为117.98.
B级(综合创新练)
11．(2022·泰安模拟)某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果，如图：

(1)估计这批小龙虾重量的第10百分位数与第90百分位数；
(2)该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：
等级
三等品
二等品
一等品
重量/克
[5，25)
[25，45)
[45，55]
试估计这批小龙虾划为几等品比较合理？
解：(1)因为40×10%＝4，所以第10百分位数为第4项与第5项的平均数，在[5，15)范围内约为＝10.
因为40×90%＝36，所以第90百分位数为第36项与第37项的平均数，在[35，55]范围内，约为＝45，
所以估计这批小龙虾重量的第10百分位数为10，第90百分位数为45.
(2)由(1)知，这批小龙虾重量集中在[10，45]范围内，所以划为二等品比较合理．
12．(2022·潍坊市月考)某快递网点收取快递费用的标准：重量不超过1 kg的包裹收费10元，重量超过1 kg的包裹，除收费10元之外，超过1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表)．

(1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数．
(2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？
解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50＋0.1×150＋0.5×250＋0.2×350＋0.1×450＝260(件)，
因为(0，200)的频率为0.2，[200，300)的频率为0.5，
中位数为200＋×100＝260(件)，
所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件．
(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260件，
利润为260×5－3×100＝1000(元)，
所以该网点平均每天的利润有1000元．
13．(2022·吉林长春模拟)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：
男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52；
女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74.
(1)分别计算和比较男、女生得分的平均数和方差；
(2)分别计算男、女生得分的四分位数．
解：男生的数据按从小到大的排序：
35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94.
女生的数据按从小到大的排序：
51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100.
(1)男生的平均得分为甲＝×(35＋38＋44＋…＋94)≈61(分)，
男生的方差是s＝×[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.25；
女生的平均得分是乙＝×(51＋52＋55＋…＋89＋100)≈71(分)，
女生的方差是s＝×[(51－71)2＋(52－71)2＋…＋(100－71)2]≈162.11.∴甲＜
乙，s＞s.
(2)男、女生的四分位数分别为

25%分位数
50%分位数
75%分位数
男生
49
57.5
71.5
女生
63
69.5
77