课时作业-第4节-余弦定理和正弦定理及其应用.docx

第4节　余弦定理和正弦定理及其应用

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
利用正弦、余弦定理解三角形
1,3,4

与面积有关的解三角形问题
2,7,8

解三角形的实际应用
5,9
10
16
综合
6
11,12,13,14
15

1.(2021·安徽安庆模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于(　D　)
A.32 B.43
C.2 D.3
解析:由bsin 2A=asin B,
得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,得cos A=12.
又c=2b,由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2·12=3b2,
得ab=3.故选D.
2.(2021·河北唐山模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h等于(　D　)
A.152 B.112 C.3154 D.3158
解析:由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=9+16-42×3×4=2124=78,则 sin A=1-cos2A=1-4964=1564=158,则h=ACsin A=bsin A=3×158=3158.故选D.
3.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B等于(　BC　)
A.30° B.45° C.135° D.150°
解析:根据正弦定理asinA=bsinB得,sin B=bsinAa=2×121=22,由于b=2>1=a,所以B=45°或135°.故选BC.
4.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc等于(　A　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:因为asin A-bsin B=4csin C,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-(4c2+b2)2bc=-3c22bc=-14,所以bc=6.故选A.
5.(多选题)某人向正东走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走3 km,结果离出发点恰好3 km,那么x的值是(　AB　)
A.3 B.23
C.3 D.6
解析:如图,AB=x,BC=3,AC=3,∠ABC=30°.

由余弦定理得3=x2+9-2×3·x·cos 30°.
解得x=23或x=3.故选AB.
6.(多选题)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是(　ABD　)
A.若cos A=cos B,则△ABC为等腰三角形
B.若△ABC为锐角三角形,有A+B>π2,则sin A>cos B
C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个
D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形
解析:对于A,若cos A=cos B,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故 正确;
对于B,若A+B>π2,则π2>A>π2-B>0,所以sin A>cos B,故正确;
对于C,由余弦定理可得b=82+102-2×8×10×12=84,只有一解,故错误;
对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cos C=a2+b2-c22ab<0,所以C为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故正确.故选ABD.
7.在△ABC中,C=60°,且asinA=2,则△ABC的面积S的最大值为　　　　. 
解析:由C=60°及csinC=asinA=2,可得c=3.
由余弦定理得3=b2+a2-ab≥ab(当且仅当a=b时,取等号),
所以S=12absin C≤12×3×32=334,
所以△ABC的面积S的最大值为334.
答案:334
8.(2021·陕西西安质检)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos B=13,b=4,S△ABC=42,则△ABC的周长为　　　　. 
解析:由cos B=13,得sin B=223,由三角形的面积公式可得12ac sin B=12ac·223=42,
则ac=12,①
由b2=a2+c2-2accos B,
可得16=a2+c2-2×12×13,则a2+c2=24,②
联立①②可得a=c=23,
所以△ABC的周长为43+4.
答案:43+4
9.如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王沿河岸向前走了1 200 m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,求电视塔CD的高度.

解:在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正弦定理得AMsin∠MCA=ACsin∠AMC,即1 20022=AC32,解得AC=6006(m).在△ACD中,因为tan ∠DAC=CDAC=33,
所以CD=6006×33=6002(m),
即电视塔CD的高度为6002m.

10.(多选题)(2021·重庆高三第三次质量调研)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离126 海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为123 海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向.下列选项正确的有(　ABD　)
A.AD=24
B.CD=12
C.∠CDA=60°或120°
D.∠CDA=60°
解析:如图,在△ABD中,

∠B=45°,由ADsin45°=ABsin60°=12632=242,AD=24,A正确;在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos 30°=(123)2+242-2×123× 24 ×32=144,所以CD=12,B正确;在△ACD中,由正弦定理得CDsin30°= ACsin∠CDA,sin ∠CDA=32,故∠CDA=60°或120°,因为AD>AC,故∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,D正确,C错误.故选ABD.
11.(多选题)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,则下列结论中正确的是(　ABD　)
A.a2=b(b+c) B.A=2B
C.0<cos A<12 D.0<sin B<12
解析:因为c-b=2bcos A,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c-b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,即sin(A+B)-sin B= 2sin Bcos A,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin B,所以sin(A-B)= sin B,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此1>cos A>12,0<sin B<12,故C选项错误,D选项正确.故选ABD.
12.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC, sin ∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为　　　　.

解析:因为sin ∠BAC=223,且AD⊥AC,
所以sin(π2+∠BAD)=223,
所以cos ∠BAD=223,在△BAD中,由余弦定理,
得BD=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=
(32)2+32-2×32×3×223=3.
答案:3
13.在①(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B);②2ccos C=acos B+ bcos A;③△ABC的面积为12c(asin A+bsin B-csin C)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且　　　　. 
(1)求C;
(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=3,求a,b的值.
解:(1)选择①,
根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
所以cos C=a2+b2-c22ab=12.
因为C∈(0,π),所以C=π3.
选择②,
根据正弦定理有
sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,
所以sin(A+B)=2sin Ccos C,
即sin C=2sin Ccos C.
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,
从而有cos C=12,故C=π3.
选择③,
因为12casin B=12c(asin A+bsin B-csin C),
所以asin B=asin A+bsin B-csin C,
即ab=a2+b2-c2,
由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.
又因为C∈(0,π),所以C=π3.
(2)在△ACD中,
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos ∠ADC,
即b2=1+3-23cos ∠ADC.
在△BCD中,
BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos ∠BDC,
即a2=1+3-23cos ∠BDC.
因为∠ADC+∠BDC=π,
所以cos ∠ADC=-cos ∠BDC,
所以a2+b2=8.
由C=π3及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4,
从而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.
14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A+C2=bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
解:(1)由题设及正弦定理得
sin Asin A+C2=sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin A+C2=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin A+C2=cos B2,
故cos B2=2sin B2cos B2.
因为cos B2≠0,所以sin B2=12,所以B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积为S△ABC=34a.
由(1)知A+C=120°,
由正弦定理得
a=csinAsinC=sin(120°-C)sinC=32tanC+12.
由于△ABC为锐角三角形,
故0°<A<90°,0°<C<90°.
结合A+C=120°,得30°<C<90°,
所以12<a<2,从而38<S△ABC<32.
因此,△ABC面积的取值范围是(38,32).

15.已知△ABC中,AC=2,BC=6,△ABC的面积为32,若线段BA的延长线上存在点D,使∠BDC=π4,则CD=　　　　. 
解析:因为AC=2,BC=6,△ABC的面积为32=12AC·BC·sin ∠ACB= 12×2×6·sin ∠ACB,所以sin ∠ACB=12,

所以∠ACB=π6或5π6,
若∠ACB=5π6,则∠BDC=π4<∠BAC,
可得∠BAC+∠ACB>π4+5π6>π,与三角形内角和定理矛盾,所以∠ACB=π6,
所以在△ABC中,由余弦定理得
AB=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=2+6-2×2×6×32=2,
所以AB=AC,所以B=π6,
所以在△BDC中,由正弦定理可得
CD=BC·sinBsin∠BDC=6×1222=3.
答案:3
16.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?

解:设∠AMN=θ,在△AMN中,
MNsin60°=AMsin(120°-θ).
因为MN=2,所以AM=433sin(120°-θ).
在△APM中,cos ∠AMP=cos(60°+θ).
AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos ∠AMP=
163sin2(120°-θ)+4-2×2×433sin(120°-θ)·cos(60°+θ)= 163sin2(θ+60°)-1633sin(θ+60°)·cos(θ+60°)+4=83[1-cos(2θ+120°)]-
833sin(2θ+120°)+4=-83[3sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)] +203=203-163sin(2θ+150°),0°<θ<120°.
当且仅当2θ+150°=270°,
即θ=60°时,AP2取得最大值12,
即AP取得最大值23.所以设计∠AMN=60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.