2023届高考数学一轮复习-助学培优14-活用直线系方程.doc

助学培优14 活用直线系方程[学生用书P215]
具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．
类型一　相交直线系方程
(一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
【解】　方法一：解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝，所以直线l的斜率k＝－，方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
方法二：设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
类型二　平行直线系方程
已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1与x轴、y轴围成面积为8的三角形，求直线l1的方程．
【解】　设直线l1的方程为x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝，依照题意有×|－c|×＝8，解得c＝±4.所以l1的方程是x－3y±4＝0.
已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程．
【解】　方法一：设存在直线l：＋＝1，则a＋b＝1和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.
故l的方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
方法二：根据平行直线系方程可设直线l为3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－，，由－＋＝1，知c＝－12.故直线l的方程为3x－4y－12＝0.
类型三　垂直直线系方程
求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
【解】　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.

直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．