第41讲-解析几何的同构问题(原卷版).docx

第41讲 解析几何的同构问题
一．解答题（共18小题）
1．（2021•台州一模）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，．求证：．

2．（2021•舟山期末）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且，设，的中点分别为，．
（1）求证：轴；
（2）若，求面积的最小值．

3．（2021•浙江模拟）如图所示，已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在轴左侧且的斜率大于0．
（Ⅰ）当直线的斜率为1时，求弦长的长度；
（Ⅱ）点，在轴正半轴上，连接，分别交抛物线于，，若且，求．

4．如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且．
（1）若，求点的轨迹方程．
（2）若，且平行轴，求面积．

5．（2021•深圳二模）已知实数，且过点的直线与曲线交于、两点．
（1）设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值；
（2）设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值．
6．（2021•宁波月考）如图，是抛物线上的动点，是抛物线的焦点．
（1）求的最小值；
（2）点，在轴上，直线，与圆相切．当，时，求的最小值．

7．（2021•汕头二模）已知抛物线，过轴上一点（不同于原点）的直线与抛物线交于两点，，，，与轴交于点．
（1）若，，求乘积的值；
（2）若，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，证明：点在定直线上，求出此定直线方程．
8．（2021•西城区期末）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点为圆上任意一点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，证明：直线与椭圆相切．
9．（2021•怀化一模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求的值．
10．（2014•上城区校级模拟）已知抛物线，圆的圆心为点．
（1）求点到抛物线的准线的距离；
（2）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于，两点，若过，两点的直线垂直于，求点的坐标．
11．（2021•浙江）已知抛物线，圆的圆心为点．
（Ⅰ）求点到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于，两点，若过，两点的直线垂直于，求直线的方程．

12．（2021•台州期末）设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（Ⅰ）若点为，求直线的方程；
（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．

13．（2021•江苏模拟）已知双曲线的两个焦点为，，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点在直线，，且为常数）上，过点作双曲线的两条切线，，切点为，，求证：直线过某一个定点．
14．（2008•江西）设点，在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点．
（1）求证：三点、、共线．
（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程．
15．（2021春•启东市校级月考）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为，，不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，，求证：为定值
16．（2021•北京）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值．
17．（2021•浙江）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．
（Ⅰ）设中点为，证明：垂直于轴；
（Ⅱ）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．

18．（2021•金华模拟）已知抛物线和，过抛物线上的一点，，作的两条切线，与轴分别相交于，两点．
（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；
（Ⅱ）求面积的最小值．