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吉林省吉林市2021-2022学年高一上学期期末数学试题.docx

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吉林市普通高中2021—2022学年度高一上学期期末调研测试 数学试题 本试卷共22小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题:本大题共8题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求. 1. 设全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A,B,接着求出,根据集合的交集运算求得答案. 【详解】 , , 故 故, 故选:D 2. 命题“R,”的否定是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法即可解答. 【详解】命题的否定是“”. 故选:C. 3. 若为第三象限角,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角所在象限,可判断其三角函数值的正负,即可得答案. 【详解】为第三象限角, 则,,,, 由此可得:A,B,D错误,C正确, 故选:C. 4. 下列函数中与是同一个函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数相等的定义是:定义域相同且对应关系相同,逐个分析可得答案. 【详解】对于A,的定义域为,与的定义域为不同,故A不正确; 对于B,与是同一函数,故B正确; 对于C,与的对应关系不同,故C不正确; 对于D,与的定义域不同,故D不正确. 故选:B 5. 若,,,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可. 【详解】因, 所以, 故选:D 6. 若,则( ) A B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的性质进行计算. 【详解】解:由题意得: 故选:A 7. 已知函数是定义域为R的偶函数,且在区间上单调递增,若,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】是定义在R上的偶函数,且在区间,上单调递增, 若,则不等式等价为, 即,即, 故不等式的解集为:. 故选:B. 8. 屏风文化在我国源远流长,可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风,如图,扇环外环弧长为,内环弧长为,径长(外环半径与内环半径之差)为,若不计外框,则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设扇环的圆心角为,内环半径为,外环半径为,根据题设可得和,从而可求扇环的面积. 【详解】设扇环的圆心角为,内环半径为,外环半径为,则, 由题意可知,,,所以, 所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为 . 故选:C. 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分. 9. 十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,,则下列命题正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,,则 D. 若,则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得,注意选项B中为0的情况. 【详解】选项A:,在不等式两边同除以得,A正确; 选项B:当时,,B错误; 选项C:同向不等式相加,不等号方向不变,C正确; 选项D:,,两边同除以得,,D正确. 故选:ACD. 10. 下列函数在定义域内既是奇函数,又是减函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断和基本函数的单调性判断. 【详解】A. 的定义域为R,因为,所以是奇函数,因为是增函数,所以是减函数; B. 的定义域为R,因为,所以是奇函数,因为是增函数,则是减函数,所以是减函数; C. 定义域为,不关于原点对称,所以不是奇函数; D. 的定义域为,因为,所以是奇函数,在定义域上不单调. 故选:AB 11. 已知函数的图象如图所示,则的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意可得、两个数一个大于,一个大于且小于,再分类讨论,结合指数函数的性质判断即可; 【详解】解:令,解得、,根据二次函数图形可知,、两个数一个大于,一个大于且小于,①当,时,则在定义域上单调递增,且,即,所以满足条件的函数图形为C; ②当,时,则在定义域上单调递减,且,所以满足条件的函数图形为A; 故选:AC 12. 已知函数,下列结论中不正确的有( ) A. 函数的最小正周期为且图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】BC 【解析】 【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质求出结果. 【详解】函数, ∴函数的最小正周期为,故A正确; 令,即,函数的对称中心是,故B错误; 时,,显然在其上不单调,故C错误; 的图象向右平移个单位得到,故D正确. 故选:BC 三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.其中第16题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分. 13. 已知,,若,则的最小值为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】由基本不等式求得最小值. 【详解】因为,,, 所以,当且仅当即时等号成立, 故答案为:8. 14. 已知幂函数的图象过点,则______. 【答案】3 【解析】 【分析】先利用待定系数法代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求的值. 【详解】设,由于图象过点, 得, , ,故答案为3. 【点睛】本题考查幂函数的解析式,以及根据解析式求函数值,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 15. 已知,均锐角,若,则值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式求得的值,再由特殊角的三角函数值得结果. 【详解】由已知, 又,均为锐角,所以,所以. 故答案为:. 16. 已知函数 ,若函数有4个零点,,,,则____________;若关于的方程 有个不相等的实数根,则的取值范围是____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据指数函数与二次函数的性质,作出函数的图象,结合函数图象的对称性,即可求解的值,再令令,根据有8个不等的实数根,转化为在有2个不同的实数根,结合二次函数的性质,列出不等式组,即可求解. 【详解】由题意,函数, 根函数的图象变换,函数的图象关于对称, 根据二次函数的性质,可得函数的图象关于对称, 在坐标系中作出函数的图象,如图所示, 函数有4个零点,,,, 可得,所以; 令,则方程可化为, 因为有8个不等的实数根, 则方程必有4个实数根,所以, 所以在有2个不同的实数根, 令,可得其对称轴的方程为, 则满足ℎ54=2516−258+a<0ℎ1=1−52+a>0ℎ2=4−5+a>0,解得, 所以实数的取值范围是. 故答案为:;. 四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知集合,. (1)当时,求,; (2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【解析】 【分析】(1)求出集合B,进而求出交集和并集;(2)根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集,进而得到不等式组,求出实数的取值范围. 【小问1详解】 . 当时, 所以,; 【小问2详解】 是的充分不必要条件 ∴A是B的真子集,故 即 所以实数m的取值范围是. 18. 已知函数 (1)化简函数,并求; (2)在以原点为圆心的单位圆中,已知角终边与单位圆的交点为,求的值. 【答案】(1),; (2)-1. 【解析】 【分析】(1)根据诱导公式化简即可,化简后将x=代入计算; (2)根据三角函数的定义求出tanα,再利用正切的差角公式即可计算. 【小问1详解】 , ; 【小问2详解】 角终边与单位圆的交点为, , , . 19. 已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式; (2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数 的图象,求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)根据函数图象,求得,,得到,将点,代入,结合,求得,即可求得函数的解析式; (2)根据三角函数的图象变换求得,结合正弦型函数的性质,即可求解. 小问1详解】 解:由函数图象,可得,,所以, 因为,可得,所以, 又因为图象过点,可得, 所以,解得, 又由,所以,所以的解折式为. 【小问2详解】 解:将图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到 令,解得, 所以函数的单调递减区间是. 20. 已知函数且,且. (1)求值及函数的定义域; (2)若关于的方程在区间上有解,求实数的取值范围. 【答案】(1)2, (2) 【解析】 【分析】(1)根据代入即可求出参数的值,再根据对数函数的真数大于零得到不等式,解得即可; (2)依题意函数与在区间上有公共点,根据对数函数的单调性求出在上的值域,即可求出参数的取值范围; 【小问1详解】 解:因为且,且,所以 ,所以, 令,解得, 所以的定义域为 【小问2详解】 解:方程在区间上有解, 所以函数与在区间上有公共点, 因为在区间上单调递增, 所以当时,取最小值0,当时,取最大值2, 所以函数的值域为,所以实数m的取值范围为时,函数与在区间上有公共点, 综上:实数m的取值范围为 21. 当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻,要求每个公民对疫情防控都不能放松.科学使用防护用品是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径.某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本万元,每生产万件,需另投入成本(万元).当年产量不足万件时,;当年产量不小于万件时,.通过市场分析,若每万件售价为400万元时,该厂年内生产的防护用品能全部售完.(利润=销售收入-总成本) (1)求出年利润(万元)关于年产量(万件)的解析式; (2)年产量为多少万件时,该厂在这一防护用品生产中所获利润最大?并求出利润的最大值. 【答案】(1)Lx=−12x2+20x−150,x<60,x∈N2850−10x+81000x,x≥60,x∈N (2)当年产量为90万件时,该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元 【解析】 【分析】(1)根据题意直接利用利润=销售收入-总成本,写出分段函数的解析式即可; (2)利用二次函数及其基本不等式分别求出各段的最大值,再取两个最大的即可. 【小问1详解】 当且时, , 当且时, 综上:Lx=−12x2+20x−150,x<60,x∈N2850−10x+81000x,x≥60,x∈N 【小问2详解】 当且时, ∴当时,取最大值(万元) 当且时, 当且仅当,即时等号成立. ∴当时,取最大值(万元) ∵, 综上所述,当年产量为90万件时,该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元. 22. 已知实数,函数是定义域为的奇函数. (1)求函数的解析式; (2)已知且,若对于,,使得恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)根据奇函数的性质进行求解即可; (2)构造函数,利用函数的单调性,结合任意性的定义进行求解即可. 【小问1详解】 实数,函数是定义域为的奇函数. , ,要想对于时恒成立, 只需3b−t=02bt−6=0, 解得:b=−1t=−3或b=1t=3(因为,所以舍去), 则, 【小问2详解】 令, , 是上的增函数, , 令, ,使得恒成立, 等价于成立,即成立, 当时,在上单调递减, ,故,解得, 当时,在上单调递增, ,故,解得, 综上所述,实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛:构造函数,结合任意性的定义是解题的关键. 学科网(北京)股份有限公司
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