备战2023年高考理科数学-单元检测(四)三角函数、解三角形.docx

单元检测(四)　三角函数、解三角形
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2021·湖北高三期中]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝12，A＝30°，使得三角形有两解的条件是(　　)
A．a＝6 B．6<a<12
C．a≥12 D．a<6
2．[2021·安徽高一期中]已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，则的取值范围是(　　)
A． B．(0，3] C． D．
3．[2021·赤峰二中三模]已知sin α＝2sin ，则cos 2α＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
4．[2022·江苏高三一模]已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则cos ＝(　　)
A． B． C． D．－
5．[2021·河南高二模拟]已知α∈，若9cos 2α＋6cos α＋5＝0，则sin α＝(　　)
A．± B．－ C． D．
6．[2022·正阳县模拟]函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝(　　)

A．1 B． C． D．
7．已知ω>0，顺次连接函数y＝sin ωx与y＝cos ωx的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则ω＝(　　)
A． B． C．π D．
8．若函数f(x)＝sin (ω>0)在上单调递增，则实数ω的取值范围为(　　)
A．(0，3] B． C． D．
9．在△ABC中，∠A＝2∠B，AB＝，BC＝4，CD平分∠ACB交AB于点D，则线段AD的长为(　　)
A．1 B． C． D．
10．[2021·陕西模拟]已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，b＝2，c＝3.则BC边上的高为(　　)
A．1 B． C． D．2
11．[2021·四川成都市三模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A＋sin A－＝0，则的值是(　　)
A．2 B． C． D．1
12．[2021·安徽合肥市模拟]△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2c cos B＋b cos A＝a cos (A＋C)，c＝2，a＝4，D为边AC上一点满足＝2，则||＝(　　)
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．[2021·陕西高三模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为r，若＋＝r，b＝2，a＋c＝3，则△ABC的面积S＝________．
14．[2022·上海高三模拟]设函数y＝cos 2x(x≥0)和函数y＝cos 10x(x≥0)的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，若tan (x3－α)＝cos x4，则sin 2α＝________．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，tan B cos C＝1－sin C，△ABC的面积为2，则△ABC的周长的最小值为________．
16．[2022·江苏连云港市模拟]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AB＝4AD，∠DAB＝，点E是AB的中点，则cos ∠DEC＝________．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
[2022·福建惠安惠南月考]已知cos α－sin α＝，α∈.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求的值．

18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且图象上有一个最低点M.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．

19．(本小题满分12分)
[2022·安徽皖南八校联考]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，cos 2C－cos 2B＝2sin A·(sin A－sin C).
(1)求角B的大小；
(2)若c＝1，△ABC的面积为，求b.

20．(本小题满分12分)
在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

21．(本小题满分12分)
[2021·江西南昌一模]如图，D是△ABC边AC上的一点，△BCD的面积是△ABD面积的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝2θ.
(1)若θ＝，求的值；
(2)若BC＝4，AB＝2，求边AC的长．

22．(本小题满分12分)
[2022·安徽六安一中周考]如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1 km，小岛中心O到岸边AM的最近距离OA为2 km.该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码头，且使得AB与AC垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道OC连接酒店和小岛，设∠AOB＝α(0<α<π).

(1)设∠BAO＝β，试将sin β表示成α的函数；
(2)若OC越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时，OC最长？并求出该最大值．