专题1-2-三角形内角和定理的运用【八大题型】(浙教版)(原卷版).docx

专题1.2 三角形内角和定理的运用【八大题型】
【浙教版】

【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 1
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 2
【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 3
【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 4
【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 5
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 6
【题型7 判断直角三角形】 8
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 9

【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且
小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】
【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．

【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝　 　°．

【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　 　度．
【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 　 　．
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】
【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．50°
【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．20
【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．

【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠AOB的度数．

【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】
【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（　　）

A．50° B．40° C．45° D．36°
【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）

【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．
（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；
（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．

【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】
【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 　 　°．

【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2 =　 　°．

【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 　 　．
【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为 　 　．
【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 　 　．
【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 　 　．
【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“　 　倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．

【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝　 　°，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．

【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．
（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．

【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．
（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．

【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．
（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；
（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；
（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．

【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．
猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度
10
30
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
上表中a＝　 　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 　 　．
（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　 　°．

【知识点2 直角三角形的判定】
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型7 判断直角三角形】
【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；
（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．

【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求证：△ABD为“奇妙三角形”
（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；
（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．

【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】
【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．

【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．
（1）求证：∠ACE＝∠ABC；
（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求证：∠CEF＝∠CFE．