广东省深圳外国语学校2022届高三第二次检测考试数学试卷.docx

深圳外国语学校2022届高三第二次检测考试
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）
A．=(1，2) B．=(-3，0) C． D．=(-1，-2)
3．已知角，则 (　　)
A. －　 B. － C. 　　 D. －
4．已知是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c|
6．设定义域为，对任意的都有，且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
① 函数的图象一定是中心对称图形；
② 函数可能只有一个极值点；
③ 当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④ 当时，则过点的切线可能有一条或者三条．
A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若平面向量和互相平行，其中，则（ ）
A． B．0 C． D．2
10．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线对称
11．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，，则面积的最大值为
12．已知函数对任意都有，若的图象关于点（1，0）对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数 B．的周期T=2
C．在上有7个零点 D．在单调递增
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则的最小值是___________.
14．已知，则___________.
15．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的最小正周期为____________
16．已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________；若存在，使得，则的取值范围是_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(本题10分)已知是等差数列的前项和，若， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．

18．(本题12分)已知分别为内角的对边，且．
（1）求角A；
（2）若，，求的面积．

19．(本题12分)如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．
（1）证明：A1C∥平面B1ED1；
（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．

20．(本题12分)某种植户对一块地上的（）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.
（1）当时，用表示要补种的坑的个数，求的分布列；
（2）当取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？

21．(本题12分)已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程．

22．(本题12分)已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求实数的值并判断的单调性;
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
深圳外国语学校2022届高三第二次检测考试
数学试卷参考答案
第I卷（选择题）
一、 单选题（每小题5分，共40分）
1．D 2．C 3．B 4．A 5．C 6．B 7．D 8．A
二、多选题（每小题5分，共20分, 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．AD 10． ABD 11．ABD 12．BC
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16． ；
四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得： ∴即
∴.
（2）由（1）知，
∴
∴.
18．解：（1）．
由正弦定理可得：， ，
，即， ， ．
（2），，， 由余弦定理，
可得：， 可得：，
解得：或（负值舍去）， ．
19．解：（1）易知的取值范围为，且，
因此， ，
， ，
，
所以的分布列为

0
1
2
3
4

（2）由题意可知每个坑要补种的概率，
则个坑中有3个坑要补种的概率为
欲使最大，只需
解得.因为，所以，6.
当时，， 当时，，
所以当或时，有3个坑要补种的概率最大，最大概率.
20．解：（1）证明：连接A1C1与B1D1相交于O1，连接EO1，
由于E，O1分别是CC1，A1C1的中点，则EO1∥A1C，
因为EO1⊂平面B1D1E，A1C⊄平面B1D1E，所以A1C∥平面B1ED1．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝1，AA1＝2，则B1（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），
∴，，∴，
设是面B1ED1的法向量⇒，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即，
设B1D与面B1ED1所成角为θ，
，
∴B1D与面B1ED1所成角的正弦值为．
21．解：（1）由题意得， 解得， ∴
所以椭圆C的方程为.
（2）由得，.
设，，则，，
∴，
又点到直线的距离为.
所以的面积为，
当且仅当即时，的面积有最大值为1，
此时直线的方程为.
22．解:由题意得，的定义域为， ，
切线与直线平行， ，
故
由得， 此时在上单调递增;
由得，在上单调递减;
所以，在上单调递增， 在上单调递减.
，
在上恒成立，
令. 则
令， ，
在上单调递增.且，
所以方程在上存在唯一的实数根，且，
则， 所以①，
当时，，即;
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以
把①代入得，，，
所以，
故整数的最大值是．

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