广东省深圳市龙岗区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题-Word版含解析.doc

2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高一（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合M={0，1，2}，N={x|x-1≤x≤1，x∈Z}，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算得到结果即可.
【详解】集合M={0，1，2}，N={x|x-1≤x≤1，x∈Z}={-1，0，1}
则.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了集合的交集运算及集合的包含关系，属简单题．
2.下列函数中，既是偶函数又在区间（-∞，0）上是单调递增的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可以判断B，C，D选项的函数在（-∞，0）上都单调递减，从而B，C，D都错误，只能选A．
【详解】A．y=x2在（-∞，0）上单调递减；
∴在（-∞，0）上单调递增，且该函数是偶函数，∴该选项正确；
B．f（x）=x2-1在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误；
C．f（x）=x2在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误；
D．f（x）=2-x在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查偶函数的定义，增函数的定义，以及二次函数和指数函数的单调性．
3.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别判断两个函数的定义域值域、和对应法则是否一致，即可得结果.
【详解】对于，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；
对于的定义域为，而的定义域为定义域不同，不是同一函数.
对于，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.
对于的定义域、值域为， 的定义域、值域为，两个函数的定义域、值域和对应法则相同，是同一函数，
故选D.
【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.
4.把红、黑、白、蓝张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人,每个人分得张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件 D. 以上均不对
【答案】C
【解析】
解：由于要将四张不同的牌分给4个不同的人，每个人一张，则当事件“甲分得红牌”发生时，事件“乙分得红牌”则必然不能发生，因此是互斥事件，并且，两个事件不是必有一个要发生，所以不对立，因此是选择C
5.若样本：x1，x2，x3⋅⋅⋅，xn的平均数为7，方差为6，则对于3x1+1，3x2+1，3x3+1⋅⋅⋅，3xn+1，下列结论正确的是（　　）
A. 平均数是21，方差是6 B. 平均数是7，方差是54
C. 平均数是22，方差是6 D. 平均数是22，方差是54
【答案】D
【解析】
【分析】
已知一组数据的平均数，求这组数据变换后的平均数和方差，有这样的规律平均数只要和变换“3x+1”一致即可.
【详解】根据题意，x1，x2，x3，…xn的平均数为7，方差为6，
则3x1+1，3x2+1，3x3+1，…3xn+1的平均数是3×7+1=22，
这组数据的方差是32×6=54，
故选：D．
【点睛】本题考查平均数和方差的计算，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．这是一个基础题．
6.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（　　）

A. 65 B. 64 C. 63 D. 62
【答案】B
【解析】
试题分析：由茎叶图可知甲的中位数为28,乙组数据的中位数为36，所以中位数之和为64，故选.
考点：1.茎叶图的读法；2.中位数.
7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
由程序框图知,选项B正确.
8. 某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10:1，行政人员有24人，现采取分层抽样容量为50的样本，那么行政人员应抽取的人数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
解：某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10:1，行政人员有24人，所以则有10K+K+24=200，k=16,说明了教学人员，与教辅人员分别是160人,10人，要采取分层抽样容量为50的样本，则必有各层抽到的比例为50/200=1/4
因此行政人员应抽取的人数为241/4=6人，故选C
9.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70）的汽车大约有（　　）

A. 30辆 B. 40辆 C. 60辆 D. 80辆
【答案】D
【解析】
由于时速在[60，70)的频率为所以时速在[60，70)的汽车大约有.
10.已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
所以.
故选A.
11.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
【此处有视频，请去附件查看】

12.已知函数f（x）=x+lnx，g（x）=x+2x，h（x）=的零点分别为x1，x2，x3的大小关系为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意得y=lnx，y=2x，y=1的图象与y=-x的图象的交点的横坐标依次为x1，x2，x3，再作图可知．
【详解】依题意得y=lnx，y=2x，y=1的图象与y=-x的图象的交点的横坐标依次为x1，x2，x3
作图可知：x2＜0＜x1＜x3

故选：B．
【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系．属中档题．函数的零点和方程的根和图像的交点是同一个问题.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数f（x）=ax-1-3的图象恒过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】
由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x-1=0，即可求出.
【详解】令x-1=0，解得x=1，
此时y=a0-3=-2，故得（1，-2）
此点与底数a的取值无关，
故函数y=ax-1-3（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（1，-2）
故答案为:（1，-2）
【点睛】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．
14.若函数f（x）=是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】
既然f（x）在R上是减函数，根据x＜0时解析式为f（x）=x2-ax+1，其过定点（0，1），且x＜0时是减函数，所以对称轴x=≥0，又x≤0时，解析式为f（x）=-x+3a，x≥0时是减函数，所以3a≤1，解答即可．
【详解】由题意，∵f（x）在R上是减函数，
∴x＜0时f（x）=x2-ax+1，其过定点（0，1），且x＜0时是减函数，
∴对称轴x=≥0，①
又∵x≥0时，f（x）=-x+3a，是减函数，且在R上是减函数，
∴3a≤1，②
又①②得0≤a≤．
【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数范围的问题．分段函数的单调性，注意每一段上的函数都要满足单调性，另外两段函数的结合点处，要限制好大小关系.
15.方程x2+（m-3）x+m=0是一个根大于1，一个根小于1，则m的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数f（x）=x2+（m-3）x+m，可得不等式f（1）＜0，解不等式，即可求出m的范围．
【详解】令f（x）=x2+（m-3）x+m，
方程x2+（m-3）x+m=0是一个根大于1，一个根小于1，
由题意可得，f（1）=1+m-3+m＜0，
∴m＜1，
故答案为：m＜1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查函数与方程思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
16.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数式和指数式的互化由M=lgA-lgA0得A=•，把M=8和M=5分别代入公式作比后得答案．
【详解】由M=lgA-lgA0可得，M=， A=•．
当M=8时，地震的最大振幅为=•108；
当M=5时，地震的最大振幅为=•105；
∴两次地震的最大振幅之比是：，
∴8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了对数的运算性质，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是对题意的理解，是基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（1）
（2）log3．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)分别根据指数幂的运算和对数的运算性质计算即可．(2) 利用对数的运算性质计算即可
【详解】（1）原式=（）-2+（）-2lg2-2lg5+1=16+-2（lg2+lg5）+1=16+-2+1=.
（2）原式=log33+lg100+=+2+=3．
【点睛】本题考查指数幂的运算和对数的运算性质，考查了运算能力，属于基础题.
18.已知f（x）是定义在R的奇函数，且当x＜0时，f（x）=1+3x．
（1）求f（x）的解析式并画出其图形；
（2）求函数f（x）的值域．
【答案】（1），图像见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）f（x）是定义在R的奇函数，可得f（0）=0，f（-x）=-f（x），当x＜0时，f（x）=1+3x．可得x＞0的解析式；描点作图；（2）根据图象可得函数f（x）的值域．
【详解】（1）由题意，f（x）是定义在R的奇函数，可得f（0）=0，f（-x）=-f（x），
当x＜0时，f（x）=1+3x．

那么x＞0时，-x＜0，即f（-x）=1-3x=-f（x），
∴f（x）=3x-1
∴f（x）的解析式为
描点作图；
表格：
x（x＞0）
1
2
3
y=3x-1
2
5
8
x（x＜0）
-3
-2
-1
y=1+3x
-8
-5
-1

（2）根据图象可得函数f（x）的值域为R．
【点睛】本题考查解析式的求法和分段函数作图的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于基础题．
19.随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多，其公司统计了2012到2016年五年间本公司职工每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如表所示：
年份x
2012
2013
2014
2015
2016
家庭数y
6
10
16
22
26

（1）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程y=bx+a，判断它们之间是否是正相关还是负相关；
（2）根据所求的直线方程估计该公司2019年春节期间外出的旅游的家庭数．
【答案】（1）正相关；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由图表结合公式计算、，求出回归系数，进一步求得a，写出回归直线方程，由此判断是正相关还是负相关；（2）由回归方程计算x=2019时y的值即可．
【详解】（1）由已知数据计算得，，
=（-2）（-10）+（-1）（-6）+1×6+2×10=52，
=（-2）2+（-1）2+12+22=10，
∴=，
a=16-5.2×2014=-10456.8，
∴回归直线方程为y=5.2x-10456.8，
∵=5.2＞0，
∴春节期间外出旅游的家庭数与年份之间正相关；
（2）2019年该公司在春节期间外出旅游的家庭数的估计值为：
y=5.2×2019-10456.8=42．
答：估计该公司2019年春节期间外出的旅游的家庭数为42．
【点睛】本题考查了求线性回归方程的应用问题，是基础题．
20.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．

（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意
抽取2件产品，求这2件产品都在区间内的概率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中所有频率之和等于可得这些产品质量指标值落在区间内的频率；（Ⅱ）先算出落在区间，，内的产品件数，再列举出从件产品中任意抽取件产品的基本事件和这件产品都在区间内的基本事件，进而利用古典概型公式可得这件产品都在区间内的概率．
试题解析：（Ⅰ）设区间内的频率为，
则区间，内的频率分别为和．
依题意得，
解得．
所以区间内的频率为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间，，内的频率依次为，，．
用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，
则在区间内应抽取件，记为，，．
在区间内应抽取件，记为，．
在区间内应抽取件，记为．
设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件M，
则所有的基本事件有：，，，，，，
，，，，，，，，，共15种．
事件M包含的基本事件有：，，，，，
，，，，，共10种．
所以这2件产品都在区间内的概率为．
考点：1、频率分布直方图；2、古典概型；3、分层抽样．
21.二次函数f（x）的对称轴是x=-1，f（x）在R上的最小值是0，且f （1）=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=（λ-1）f（x-1）-λx-3在x∈[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）；（2）或1＜λ≤2
【解析】
【分析】
（1）由已知可设f（x）=a（x+1）2，结婚f（a）=4可求a，进而可求f（x），（2）由（1）可求g（x），然后结合二次函数的性质，考虑开口方向及对称轴与区间[-1，1]的位置关系进行分类讨论可求．
【详解】（1）二次函数f（x）的对称轴是x=-1，f（x）在R上的最小值是0，
故可设f（x）=a（x+1）2，
∵f（-1）=4a=4
∴a=1，f（x）=（x+1）2
（2）∵g（x）=（λ-1）f（x-1）-λx-3=（λ-1）x2-λx-3，
①λ=1时，g（x）=-x-3在[-1，1]上是减函数，舍去，
②λ＞1时，g（x）=（λ-1）x2-λx-3x∈[-1，1]上是增函数，
则，
解可得，1＜λ≤2；
③λ＜1时，g（x）=（λ-1）x2-λx-3x∈[-1，1]上是增函数，
则，
解可得，，
综上可得，或1＜λ≤2
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数的解析式及二次函数单调性的应用，要注意分类讨论思想的应用．
22.已知
（1）当，且有最小值2时，求的值。
（2）当时，有恒成立，求实数的取值范围。
【答案】（1）； (2）.
【解析】
试题分析：（1）求得，利用基本不等式求得 ，再分若a＞1，0＜a＜1列出相应的方程并求解．
（2）由已知，在x∈[1，2]时恒成立．0＜a＜1，转化为在 x∈[1，2]时恒成立．
（1）当时，，
令，
又在上是单调递增函数， 当时，有，令求得，舍去
当时，有，令求得，
（2）当时，有恒成立，即
当时，恒成立，
由可得，
再由
设
实数的取值范围为
点睛：第一问是复合函数问题，函数做差，转化为内层是对勾函数形式的最值问题；
第二问当时，外层函数是减函数，根据单调性转化为，再由不等式恒成立求参问题，变量分离，转函数最值问题.