资源描述
第3节 随机事件与概率
知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
事件的关系与运算
1
9
频率与概率
3,5,7
11,12,13
14
互斥事件与对立事件的概率
2,4,6,8
10
1.(多选题)(2021·山东青岛二中调研)口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次取出2张卡片,则下列事件与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的是( ABD )
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片恰有1张红色
C.2张卡片至少有1张红色
D.2张卡片都为绿色
解析:对于A,事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥事件但不互为对立事件;对于B,事件“2张卡片恰有1张红色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥事件但不互为对立事件;对于C,事件“2张卡片至少有1张红色”与事件“2张卡片都为红色”不是互斥事件;对于D,事件“2张卡片都为绿色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥事件但不互为对立事件.故选ABD.
2.(2021·甘肃兰州一模)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为( A )
A.56 B.25 C.16 D.13
解析:设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率为P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=12+13=56.故
选A.
3.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( B )
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
解析:由题意知,第二天在没有志愿者帮忙的情况下,积压订单超过500+(1 600-1 200)=900(份)的概率为0.05,因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,至少需要志愿者90050=
18(名).故选B.
4.(2021·湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等
10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( A )
A.79 B.29 C.49 D.59
解析:设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,所以P(A)=C52C102=29.因此P(A)=1-P(A)=1-29=79.故选A.
5.(2021·吉林模拟)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如表所示:
所用时间(天数)
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙,汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为( A )
A.公路1和公路2 B.公路2和公路1
C.公路2和公路2 D.公路1和公路1
解析:通过公路1从城市甲到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2;
通过公路2从城市甲到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,
0.4,0.4,0.1.
设A1,A2分别表示汽车A在约定日期的前11天出发,选择公路1,2将货物从城市甲运往城市乙;
设B1,B2分别表示汽车B在约定日期的前12天出发,选择公路1,2将货物从城市甲运往城市乙,
则P(A1)=0.2+0.4=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
所以汽车A最好选择公路1,汽车B最好选择公路2.故选A.
6.据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0,4,0.5,0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为 .
解析:记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D,而事件D包含事件A与B,且A与B彼此互斥,所以P(D)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.
答案:0.9
7.(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
解析:设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)=1010+20+10=14,P(B)=2010+20+10=12,P(C)=1010+20+10=14,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97×14+0.98×12+
0.99×14=0.98.
答案:0.98
8.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为715,取得两个绿玻璃球的概率为115,则取得两个同色玻璃球的概率为 ;至少取得一个红玻璃球的概率为 .
解析:由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件,取得两个同色玻璃球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色玻璃球的概率为715+115=815.
由于事件“至少取得一个红玻璃球”与事件“取得两个绿玻璃球”是对立事件,则至少取得一个红玻璃球的概率为1-115=1415.
答案:815 1415
9.(多选题)一个人连续射击两次,对于击中目标的情况下列说法正确的是( CD )
A.事件“两次均击中”与事件“至少有一次击中”互为对立事件
B.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D.事件“两次均未击中”与事件“至少有一次击中”互为对立事件
解析:对于A,事件“至少有一次击中”包含“第一次击中、第二次未击中”“第二次击中、第一次未击中”和“两次均击中”,所以“两次均击中”与“至少有一次击中”不互为对立事件,A错误;
对于B,事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次未击中”,所以它与事件“第二次击中”不是互斥事件,B错误;
对于C,事件“恰有一次击中”是“有一次击中、一次未击中”,它与事件“两次均击中”是互斥事件,C正确;
对于D,事件“两次均未击中”的对立事件是“至少有一次击中”,D正确.故选CD.
10.(多选题)小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(单位:
min)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示,
所需时间/min
30
40
50
60
P(线路一)
0.5
0.2
0.2
0.1
P(线路二)
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是( BD )
A.任选一条线路,“所需时间小于50 min”与“所需时间为60 min”是对立事件
B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45 min以内从家赶到公司,小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100 min的概率为0.08
解析:“所需时间小于50 min”与“所需时间为60 min”互斥而不互为对立,故A错误;线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×
0.2+60×0.1=39(min),线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+
50×0.1+60×0.1=40(min),所以线路一比线路二更节省时间,故B正确;线路一所需时间小于45 min的概率为0.7,线路二所需时间小于45 min的概率为0.8,所以小张应该选线路二,故C错误;小张上、下班所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为2×(0.2×0.1+0.1×
0.1+0.1×0.1)=0.08,故D正确.故选BD.
11.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图
所示.
现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是 ,他属于不超过2个小组的概率是 .
解析:“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为
P=11+10+7+86+7+8+8+10+10+11=35.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.
故他属于不超过2个小组的概率是
P=1-86+7+8+8+10+10+11=1315.
答案:35 1315
12.某人在如图所示的直角边长为4 m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年均收获量;
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率(将频率视为概率).
解:(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,填写
列表:
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
51×2+48×4+45×6+42×315=69015=46(kg).
(2)由(1)知,P(Y=51)=215,P(Y=48)=415,
故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=215+415=25.
13.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:mm)有关.据统计,当X=
70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,
160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成频率分布表;
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
120
15
110
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于
490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
解:(1)在所给数据中,降雨量为110 mm的有3个,为160 mm的有7个,为200 mm的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
120
320
15
720
320
110
(2)由已知可得Y=X2+425,故P(“发电量低于490万千瓦时或超过
530万千瓦时”)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+
P(X=110)+P(X=220)=120+320+220=310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.
14.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到试验结果如表所示:
A配方的频数分布表
指标值
分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值
分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=-2,t<94,2,94≤t<102,4,t≥102.估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的
利润.
解:(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为22+8100=
0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10100=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,t≥94的频率为0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率的估计值为0.96.
用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为1100×[4×(-2)+
54×2+42×4]=2.68(元).
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