2017-2021北京初二(上)期中数学汇编：提公因式法分解因式.docx

2017-2021北京初二（上）期中数学汇编
提公因式法分解因式
一、单选题
1．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）下列各式分解因式正确的是（　　　）
A．（a2+b2）﹣（a+b）=（a+b）（a+b﹣1） B．3x2﹣6xy﹣x=x（3x﹣6y）
C．a2b2-14ab3=14ab2（4a﹣b） D．x2﹣5x+6=（x﹣1）（x﹣6）
2．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）下列说法正确的是（       ）.
A．不论x取何值，（x-1）0=1 B．6226的值比3224大
C．多项式x2+x+1是完全平方式 D．4´3100-399是11的倍数
3．（2018·北京市第四十四中学八年级期中）把-6x3y2-3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（       ）．
A．-3x2y2 B．-2x2y2 C．6x2y2 D．-x2y2
4．（2018·北京市西城外国语学校八年级期中）在多项式-12ab3c-8a3b中应提取的公因式是（          ）．
A．4ab2 B．-4abc C．-4ab2 D．-4ab
二、填空题
5．（2021·北京·清华附中八年级期中）若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-2x2-6x+2020=______．
6．（2021·北京·人大附中八年级期中）若x+y＝5，xy＝6，则x2y﹣xy2的值为 ___．
7．（2020·北京八十中八年级期中）因式分解：4ab-ab3= _______________________．
8．（2021·北京市第十二中学八年级期中）边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为__．
9．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）因式分解：3mx-9my=____________．
10．（2021·北京四中八年级期中）分解因式：3ma2-3mb=_____________________．
11．（2019·北京·临川学校八年级期中）因式分解：x2-xy=__________________.
12．（2018·北京市第十三中学八年级期中）8a3b2-12a2b3c中的公因式是_______________．
13．（2018·北京市第七中学八年级期中）因式分解：ax﹣ay=_____．
14．（2020·北京·101中学八年级期中）分解因式：ab2-4a=_______.
15．（2018·北京市月坛中学八年级期中）当a=3，a－b=－1时，a2－ab的值是___
三、解答题
16．（2021·北京市第五十七中学八年级期中）在平面直角坐标系中，对任意的点P(x，y)，定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|y|．任取点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记A'(x1，y2)，B'(x2，y1)，若此时|A|2+|B|2≤|A'|2+|B'|2成立，则称点A，B相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ；
①A(﹣2，1)，B(3，2)；②C(4，﹣3)，D(2，4)．
（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有 个；
②求所有满足①条件的所有点中与点E(3，3)相关的点的个数；
③对于满足①条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大值．

17．（2021·北京市第十二中学八年级期中）分解因式：2(x-y)-(y-x)2
18．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）把下列各式因式分解：
（1）4x2-64；        
（2）x3-2x2y+xy2．
19．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）因式分解；2m(a-b)-3n(b-a)．
20．（2019·北京市三帆中学八年级期中）ma-3+23-a
21．（2018·北京市第一五九中学八年级期中）分解因式:
(1) x4-x3y；
(2)1-a2-2ab-b2；
（3）a2(x-y)+b2(y-x) ；
(4) x2+xy-6y2.
22．（2018·北京市第五十六中学八年级期中）(a-b)2+3(a-b)

参考答案
1．C
【分析】
直接利用提取公因式法及十字相乘法分解因式进而判断得出答案．
【详解】
解：A．原式不能分解，不符合题意；
B．原式=x（3x﹣6y﹣1），不符合题意；
C．原式=14ab2（4a﹣b），符合题意；
D．原式=（x﹣2）（x﹣3），不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了提公因式法，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．D
【分析】
根据一个数的0次幂有意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律逐一判断即可.
【详解】
A. 因为0的0次幂无意义，所以x－1≠0，故A错误；       
B. 因为6226=3664=916，3224=916，所以6226=3224，故B错误；
C. 多项式x2+x+1中，一次项系数不符合首尾没平方之前的两倍，不是完全平方式       ，故C错误；
D. 4´3100-399=399×（4×3－1）=399×11
∵399×11÷11=399
∴4´3100-399是11的倍数，故D正确.
故选D.
【点睛】
此题考查的是一个数的0次幂有意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律，掌握任何非0数的0次幂都等于1，完全平方公式的特征和乘法分配律是解决此题的关键.
3．D
【详解】
由题意得应该提取的公因式是-x2y2.
故选D.
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).
（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.
（3）十字相乘法.
因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.
4．D
【详解】
解：原式=﹣4ab（3c2+2a2），则在多项式﹣12ab3c﹣8a3b中应提取的公因式是﹣4ab，故选D．
点睛：此题考查了因式分解﹣提公因式法，以及公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
5．2022
【分析】
将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．
【详解】
解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
故答案为：2022
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．
6．6或-6##-6或6
【分析】
先利用完全平方公式并根据已知条件求出x-y的值，再利用提公因式法和平方差公式分解因式，然后整体代入数据计算．
【详解】
解：∵x+y=5，xy=6，
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=1，
∴x-y=±1，
∴x2y-xy2=xy（x-y）=6（x-y），
当x-y=1时，原式=6×1=6；
当x-y=-1时，原式=6×（-1）=-6．
故答案为：6或-6．
【点睛】
本题主要考查了提公因式法分解因式，根据完全平方式的两个公式之间的关系求出（x-y）的值是解本题的关键，也是难点．
7．ab2+b2-b
【分析】
根据提取公因式和平方差公式进行分解即可；
【详解】
原式=ab4-b2=ab2+b2-b；
故答案是：ab2+b2-b．
【点睛】
本题主要考查了利用提取公因式和平方差公式因式分解，准确求解是解题的关键．
8．70
【分析】
直接利用长方形的周长和面积公式结合提取公因式法分解因式计算即可．
【详解】
解：依题意：2a+2b=14，ab=10
则a+b=7
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70
故答案为：70
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a+b和ab的值是解题关键．
9．3m(x-3y)
【分析】
用提公因式法即可完成．
【详解】
3mx-9my=3m(x-3y)．
故答案为：3m(x-3y)．
【点睛】
本题考查了提公因式法，关键是先找出公因式．
10．3m(a2-b)
【分析】
原式提取公因式即可．
【详解】
解：原式=3m(a2-b)，
故答案为：3m(a2-b)．
【点睛】
此题考查了提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
11．x(x-y)
【分析】
根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【详解】
解：x2－xy= x(x－y).
故答案：x(x-y)
【点睛】
提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键.
12．4a2b2
【详解】
8a3b2－12a2b3c=4a2b2（2a－3bc）.
故答案为4a2b2.
13．a（x-y）.
【详解】
试题分析：直接提公因式分解因式即可.ax-ay= a（x-y）.
考点：分解因式.
14．ab+2b-2．
【分析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可
【详解】
解：ab2-4a=ab2-4=ab+2b-2，
故答案为：ab+2b-2．
15．-3
【详解】
试题分析：直接提取公因式，然后将已知代入求出即可．即a2－ab=a（a-b）=3×（-1）=-3．
考点：因式分解-提公因式法．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
16．（1）②；（2）①169；②108；③n的最大值是108．
【分析】
（1）①根据相关点定义由A(﹣2，1)，B(3，2)，得出A′（-2，2），B′（3，1），求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；
②根据相关点定义由C(4，﹣3)，D(2，4)，得出C'4,4，D'2，-3，求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；
（2）①根据﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6， 可得x共13个整数，y共13个整数，利用有理数的乘法可得所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个即可；
②根据相关点定义设点E(3，3)的相关点Q（m，n）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．根据点E，Q是相关点，得出3+32+m+n2≤3+n2+m+32，因式分解得：3-m3-n≤0，解绝对值不等式得出不等式组的解集-3≤m≤3n≤-3，7×4=28个.-3≤m≤3n≥3，7×4=28个；,m≤-3-3≤n≤3，4×7=28个.m≥3-3≤n≤3，4×7=28个；四个区域点数求和即可；
③设点A（x,y）其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．根据A、B是相关点，可得x+y2+m+k2≤x+k2+m+y2，因式分解得：x-my-k≤0，得出不等式组的解集x≥m≥0-k≤y≤k或x≤m≤0-k≤y≤k或-m≤x≤my≥k≥0或-m≤x≤my≤k≤0，由②发现由y=x与y=-x，分成四个部分，满足条件x≥m≥0-k≤y≤k或x≤m≤0-k≤y≤k或-m≤x≤my≥k≥0或-m≤x≤my≤k≤0是在每部分中长方形区域，在区域内都满足任意两点都是相关点，每个区域中都有两个点在y=x与y=-x上，根据x=y讨论即可得解．
【详解】
解：（1）①A(﹣2，1)，B(3，2)；A′（-2，2），B′（3，1），
∴A=2+1=3，B=3+2=5，A'=2+2=4，B'=3+1=4，
∴A2+B2=32+52=34；A'2+B'2=42+42=32，
∵A2+B2＞A'2+B'2，
∴①不是相关点，
②C(4，﹣3)，D(2，4)，C'4,4，D'2，-3，
C=4+3=7，D=2+4=6，C'=4+4=8，D'=2+3=5，
∴C2+D2=72+62=49+36=85；C'2+D2=82+52=64+25=89，
∵C2+D2＜C'2+D2，
∴②是相关点；
故答案为：②；
（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．
∴x=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共13个整数，
∴y=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共13个整数，
所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个，
故答案为169；
②点E(3，3)，设点Q（m，n）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．
∵点E，Q是相关点，
∴3+32+m+n2≤3+n2+m+32，
整理得：9+mn≤3n+3m，
因式分解得：3-m3-n≤0，
∴3-m≤03-n≥0或3-m≥03-n≤0，
由3-m≤03-n≥0得出两组解，
当-3≤m≤3n≤-3时，
m=-3，-2，-1，0，1，2，3；n=-3，-4，-5，-6，7×4=28个；
当-3≤m≤3n≥3时，
m=-3，-2，-1，0，1，2，3；n=3，4，5，6，7×4=28个；
由3-m≥03-n≤0，得出两组解，
当m≤-3-3≤n≤3时，
m=-3，-4，-5，-6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；
当m≥3-3≤n≤3时，
m=3，4，5，6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；
（3，3）（3，-3）（-3，-3）（-3，3）各用两次，
所有与点E(3，3)相关的点的个数有4×28-4=108个，
故答案为108；

③设点A（x,y）其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．
∵A、B是相关点，
∴x+y2+m+k2≤x+k2+m+y2，
整理得：xy+mk≤xk+my，
因式分解得：x-my-k≤0，
x-m≥0y-k≤0或x-m≤0y-k≥0，
∴x≥my≤k或x≤my≥k，
∴x≥m≥0-k≤y≤k或x≤m≤0-k≤y≤k或-m≤x≤my≥k≥0或-m≤x≤my≤k≤0，
∴当x=y时，四点x,y,-x,y,-x,-y,x,-y,组成正方形，由对角线y=x与y=-x，分成四个部分，每个部分中满足条件x≥m≥0-k≤y≤k或x≤m≤0-k≤y≤k或-m≤x≤my≥k≥0或-m≤x≤my≤k≤0是在每部分中长方形区域，在区域内都满足任意两点都是相关点，
每个区域中都有两个点在y=x与y=-x上，当点P（x，y），
当x=y=0时，为坐标轴上点，4个区域中，每个区域有7个点，4各区域有（7-1）×4+1=25个，
当x=y=1时，正方形四个顶点为（1，1），（-1，1），（-1，-1），（1，-1），对角线分成4个区域中，正方形每边有3点，每个区域有三行，每行有6个点，每个区域有6×3=18个点，4个区域有（18-1）×4=68个，
当x=y=2时，正方形四个顶点为（2，2），（-2，2），（-2，-2），（2，-2），对角线分成4个区域中，正方形每边有5点，每个区域有五行，每行有5个点，4个区域中，每个区域有5×5=25个点，4个区域有（25-1）×4=96个，
当x=y=3时，正方形四个顶点为（3，3），（-3，3），（-3，-3），（3，-3），对角线分成4个区域中，正方形每边有7点，每个区域有七行，每行有4个点，4个区域中，每个区域有4×7=28个点，4个区域有（28-1）×4=108个，
当x=y=4时，正方形四个顶点为（4，4），（-4，4），（-4，-4），（4，-4），对角线分成4个区域中，正方形每边有9点，每个区域有九行，每行有3个点，4个区域中，每个区域有3×9=27个点，4个区域有（27-1）×4=104个，
当x=y=5时，正方形四个顶点为（5，5），（-5，5），（-5，-5），（5，-5），对角线分成4个区域中，正方形每边有11点，每个区域有十一行，每行有2个点，4个区域中，每个区域有2×11=22个点，4个区域有（22-1）×4=84个，
当x=y=6时，正方形四个顶点为（6，6），（-6，6），（-6，-6），（6，-6），对角线分成4个区域中，正方形每边有13点，每个区域有十三行，每行有1个点，4个区域中，每个区域有1×13=13个点，4个区域有（13-1）×4=48个，
∴n的最大值是108．
【点睛】
本题考查新定义概念，点的坐标，绝对值，完全平方公式，因式分解，一次函数，不等式组的解集，区域中整点，掌握新定义概念，点的坐标，绝对值，绝对值不等式，完全平方公式，因式分解，一次函数，不等式组的解集，区域中整点是解题关键
17．(x-y)(2-x+y)
【分析】
先把原式化为：2(x-y)-(x-y)2，再提取公因式分解因式即可.
【详解】
解：2(x-y)-(y-x)2 =2(x-y)-(x-y)2 =(x-y)[2-(x-y)] =(x-y)(2-x+y)
【点睛】
本题考查的是提公因式分解因式，掌握“公因式的确定，特别是互为相反数的两个因式的互相转换”是解题的关键.
18．（1）4(x-4)(x+4)；（2）x(x-y)2
【分析】
（1）先提出系数，再根据平方差公式分解因式，可得答案；
（2）先提公因式，然后套用完全平方公式分解因式，可得答案．
【详解】
解：（1）4x2-64=4x2-16=4x-4x+4
（2）x3-2x2y+xy2=xx2-2xy+y2=xx-y2
【点睛】
本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
19．(a-b)2m+3n
【解析】
【分析】
提出公因式(a-b)即可
【详解】
解:原式=(a-b)2m+3n
【点睛】
本题考查了用提公因式法,把(a-b)看成整体是解题的关键.
20．（a-3）（m-2）
【分析】
直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：m（a-3）+2（3-a）
=m（a-3）-2（a-3）
=（a-3）（m-2）．
【点睛】
本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
21．（1）x3(x-y)； (2)(1+a+b)(1-a-b)；(3)(x-y)(a+b)(a-b)；(4)(x-2y)(x+3y)
【详解】
试题分析：（1）原式提取公因式分解即可
（2）原式先分组，再利用平方差公式分解即可；
（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（4）原式先变形，再提公因式法分解因式即可．
试题解析：（1）原式= x3·x-x3·y =x3(x-y)；
（2）原式=1-(a2+2ab+b2)=1-(a+b)2=(1+a+b)(1-a-b)；
（3）原式=a2(x−y)−b2(x−y)=(x−y)(a+b)(a−b)；
（4）原式= x2+3xy-2xy-6y2=(x2+3xy)-(2xy+6y2)=x(x+3y)-2y(x+3y)= (x-2y)(x+3y).
22．(a-b)(a-b+3)
【详解】
试题分析：直接按照平方差公式因式分解即可.
试题解析：原式=(a-b)(a-b+3).
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