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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第五章 含糊控制系统,1/62,5.1 含糊集合及其运算,经典集合及运算,集合：,指含有某种属性，确定，彼此之间能够区分事物全体。组成集合事物称集合元素，集合以大写字母A、B、CX、Y、Z表示，元素以小写字母,a,、,b,、,c,x,、,y,、,z,表示，元素与集合之间关系：,x,X,或,x X,经典集合常见概念术语：,论域（U）：,被考虑对象全部元素全体称为论域。,空集（）：,不含任何元素集合。,包含：,，则称,B,包含,A,，记,含糊数学与含糊推理,2/62,子集：,集合A每一个元素都是B元素，则称A是B子集，,若,且,，则A是B真子集，,幂集：,若U是论域，则以U全部子集为元素集合称为U幂集，记为：P（U）。,交集：,同时属于A和B元素组成集合为P，则称P是A和B交集，记为：,且,并集：,由属于A或B元素组成集合为S，则称S是A和B并集，记为：,或,3/62,差集：,由属于A但不属于B元素组成集合为Q，则称S是A和B差集，记为：,且,补集：,由论域U中不属于A元素组成集合称A在U中补集，记为：,且,4/62,集合之间关系文氏图表示：,U,A,B,U,A,B,U,A,B,U,A,B,U,A,5/62,集合直积,两个集合A和B，直积定义为：,（,x，y,）称为序偶，（,x，y,）（,y,，x,），直积可推广到多个集合上去，设,A,1,，A,2,，A,n,，则,例：设备,A,=1，2，,B,=,a，b，c,，,则,6/62,关系：,对于集合,X,和,Y,直积,X,Y,一个子集,R,，称为,X,到,Y,二元关系，简称关系，对于,X,Y,元素（,x，y,），若（,x，y,）,R,，则称,X,与,Y,相关，记,xRy,，若（,x，y,）,R，,记为,xRy,。,集合运算性质,设A、B、C U，其并、交、补运算性质以下：,1.幂等律,2.交换律,3.结合律,7/62,4.分配律,5.吸收律,6.同一律,7.复原律,8.互补律,9.对偶律（摩根定律）,8/62,集合表示及特征函数,描述一个集合惯用方法：,1.经过描述集合中元素性质来描述一个集合，如,A,=,x,|,x,为正整数，,x,5,2.例举法（只适合用于元素个数有限集合），如,A,=1，2，3，4,特征函数描述法,设,A,是,U,一个子集，,A,U,，,xU,，集合,A,特征函数定义为,9/62,例，U是自然数集，A=1，2，3，4，则A特征函数,X,为其它数,A特征函数在,x,处 叫,x,属于A隶属度，为1，x绝对属于A，为0，,x,绝对不属于A。,特征函数性质：,10/62,三条运算性质：,11/62,含糊集合及其运算,经典集合论中，一物要么属于某集合，要么不属于某集合，二者居其一，没有模掕两可情况，经典集合表示概念内涵和外延都必须是明确。,内涵：,一个概念所包含那些区分于其它概念全体本质属性。,外延：,符合某个概念事物对象全体。,如“人”这个概念，外延是世界上全部人，而内涵是区分于其它动物那些本质属性，如“能制造工具”，“含有抽象、概括、推理和思维能力”等。,人要表示一个概念，有两种方法，一个指出概念内涵即内涵法。,12/62,另一个指出概念外延即外延法，从集合论角度看，内涵是集合定义，外延是组成集合全部元素。内涵和外延是描述概念两个方面。,人们思维中，有很多没有明确外延概念，即含糊概念，语言中有很多含糊概念词，如以年纪作论域，有“年青”，“中年”，“老年”，以身高作论域，有“高个子”，“中等身材”，“矮个子”。以温度作论域，有“高温”，“中温”，“低温”等。,含糊概念不能用经典集合描述，经典集合中元素绝对属于或绝对不属于集合，极难描述含糊概念基础上集合。,例：“高个子”,13/62,含糊子集定义及表示,设给定论域U，U到0，1闭区间任一映射：,确定U一个含糊子集 ，称为含糊子集隶属函数，,称为,u,对于 隶属度，含糊子集也称含糊集合。,当 值域为0，1时，退化为经典子集，所以经典集合是含糊集合特殊形态，含糊集合是经典集合推广。,14/62,含糊集合惯用表示方式有：,1.U为有限集,u,1,，u,2,，u,n,时，,(1)扎德表示法,，i,=1,2,n,表示,与,对应关系，“+”表示,含糊集合在U上整体。,15/62,例1：论域U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，讨论“几个”这一含糊概念。据经验,一个、二个或九个、十个，不用“几个”来表示，隶属度为0；五个、六个用“几个”表示最适当，隶属度为1；四个、七个对“几个”概念隶属程度为0.7；三个、八个对“几个”概念隶属程度为0.3。,几个,元素称为,论域U中，,台，用台表示含糊,集合，可使表示式简单明了。,几个,16/62,（2）序偶表示法,几个,组成序偶集,（3）向量表示法,几个,2.U为连续域时，扎德记法为,17/62,例2：以年纪为论域U=0，200，给出“年青”这一含糊集合隶属函数。,，,，,连续域关于“年青”扎德表示：,18/62,含糊子集运算,设,A,和,B,为论域,U,中两个含糊集，其隶属函数分别为,，则对于全部,u,U，,存在以下运算：,（1）A与B并（逻辑或）记为AB，其隶属函数定义为：,（2）A与B交（逻辑与）记为AB，其隶属函数定义为：,（3）A补（逻辑非）记为 ，其隶属函数定义为：,1.含糊子集并、交、补运算,19/62,2.包含和相等关系,设,A,和,B,为论域,U,中两个含糊集，其隶属函数分别为,，则对于每一个,u,U，,存在：,，则,包含,，则,包含,若,且,，则,对,，则,3.含糊子集运算基本性质,设含糊集合,A,、,B,、,C,U,（1）幂等律,20/62,（2）交换律,（3）结合律,（4）分配律,（5）吸收律,（6）同一律,21/62,（7）迪摩根律,（8）复原律,即,（9）对偶律,（10）互补律不成立,例：,而,22/62,含糊截集,约定：,当,u,对于A隶属到达或超出 者就算是A组员，则A变成了经典子集 。,例：“高个子”是含糊集合，而“身高170cm以上人”是经典集合。,设A是含糊集合，,（1）,称为A,截集，,是经典集合，,称为水平,也称,水平,截集。,（2）,称为A强,截集。,23/62,常见隶属函数,正态形,三角形,梯形,矩形,24/62,5.2 含糊矩阵与含糊关系,含糊矩阵定义及运算,1.含糊矩阵,对,都有,，则称,为,含糊矩阵。,2.含糊矩阵并、交、补运算,对,为含糊矩阵,如,则称,如,则称,25/62,例设含糊矩阵,R,和,S,26/62,3.含糊矩阵运算性质,设含糊矩阵,R,、,S,、,T,（1）幂等律,（2）交换律,（3）结合律,（4）分配律,27/62,（5）吸收律,（6）复原律,（7）对偶律,（8）对任意含糊矩阵R，有,0,、,E,分别是零矩阵、全矩阵,（10）互补律不成立,28/62,含糊矩阵截矩阵,设,R,是含糊矩阵，对任意 ，记,其中,则称矩阵,为含糊矩阵,R,截矩阵，其元素仅为0，1,是布尔矩阵。,例，当,时，求对应截矩阵。,29/62,含糊矩阵合成,1.定义：设,是两个含糊矩阵,它们合成,指是一个,ml,矩阵,S,，,S,第,i,行,第,k,列元素,，等于,Q i,行，与,R,第,k,列对应元素,两两取小，再在所得结果中取大，即,30/62,例，设,31/62,含糊矩阵合成运算性质,（1）结合律,推论：,（2）分配律,对与“交”运算，不满足分配律,（3）,其中，,0,为零矩阵，,I,为单位阵,32/62,（4）若,则,（5）若,则,合成运算不满足交换律，即,例,33/62,含糊矩阵转置,同普通矩阵转置一样，行变列，列变行。,性质以下：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,若,则称R为含糊对称矩阵,34/62,含糊关系,含糊关系定义,含糊关系是普通关系推广，普通关系描述元素之间是否关联，而含糊关系则是描述元素之间关联程度多少。,设X、Y是两个非空集合，则直积,中一个含糊子集 ，称为从X到Y一个含糊关系，记,由其隶属函数完全刻划。序偶（,x，y,）隶属度为,表明了（,x,，,y,）具相关系,程度。,35/62,当论域X、Y是有限集时，,可用含糊矩阵表示。,例设某地域人身高论域X=140，150，160，170，180（cm)，体重论域Y=40，50，60，70，80（kg），下表为身高与体重相互关系，是从X到Y一个含糊关系,40,50,60,70,80,140,150,160,170,180,1,0.8,0.2,0.1,0,0.8,1,0.8,0.2,0.1,0.2,0.8,1,0.8,0.2,0.1,0.2,0.8,1,0.8,0,0.1,0.2,0.8,1,X,Y,36/62,用矩阵表示为：,。,。,含糊关系运算,含糊关系运算,设 是X到Y含糊关系，定义以下运算：,（1）并：,37/62,（2）交：,（3）包含：,（4）相等：,（5）补：,（6）转置：,称为,逆关系，又称倒置关系（即Y到X关系）,38/62,（7）恒等关系：若给定X上关系,则称 为X上恒等关系,（8）零关系：若给定XY上含糊关系,则称 为XY上零关系,则称 为XY上全称关系,（9）全称关系：若给定XY上含糊关系 满足，,39/62,含糊关系运算性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,对任意含糊关系,R,，有,（6）,（7）若,则有,40/62,含糊关系性质：,1.自反性,含糊关系R，若任意,x,X，则认为R含有自反性，任意,x,与本身隶属于R程度为1，,（对应含糊矩阵R对角元素全为1）。,2.对称性,含糊关系R，对,都有,则称R含有对称性，其对应含糊矩阵R满足,41/62,3.传递性,含糊关系R，对,都有,则称R含有传递性，其对应含糊矩阵R满足：,即,含有自反性、对称性含糊关系称为相容关系。,例,“相象关系”具自反性、对称性是相容关系；,“仇敌关系”不具自反性，具对称性、传递性；,“喜欢”不具对称性、传递性；,“大得多”，不含有自反性、对称性，但具传递性；,42/62,例，设X=,x,1,，x,2,，x,3,，x,4,，x,5,，含糊关系矩阵以下，判断R是否是含糊等价关系？,。,。,如论域X上含糊关系同时满足：,（1）自反性：,（2）对称性：,（3）传递性：,则称R是X上一个等价关系。,43/62,。,。,R含有传递性，R同时含有,自反性，对称性，传递性，,所以R是等价关系。,又,因为R主对角元素均为1，且有,R含有自反性和对称性。,44/62,含糊关系合成,先讨论,普通关系,合成，比如，U是一群人集合，弟兄关系用Q表示，父子关系为R，叔侄关系为S，则Q、R、S是U中三个普通关系，现在有甲、乙、丙三人，假如甲是乙弟弟，乙是丙父亲，那么甲必是丙叔叔，即假如（甲、乙）Q，（乙、丙）R，则（甲、丙）S，我们称叔侄关系是弟兄关系与父子关系合成。,记作：,（叔侄=弟兄 父子）,或能够说已知甲是丙叔叔，则一定能够找到一个乙，使乙是甲弟兄，且乙是丙父亲,即（甲，丙）S,乙U，使（甲、乙）Q，（乙、丙）R,45/62,普通地，设U、V、W是论域,Q是UV关系，R是V W关系，S是U W关系,假如（,u，w,）S 存在,v,V，使得（,u，v,）Q，且（,v，w,）R，则称S是Q对R合成。,即,用特征函数表示为：,含糊关系合成是普通关系合成推广,，定义：,设U、V、W是论域，Q是UV关系，R是V W关系，Q R是U W关系,46/62,当论域有限时，含糊关系合成用含糊矩阵合成表示：,则有,含糊相量,定义：任意,i,（,i,=1，2，n）都有,a,i,0，1则称,为含糊相量,47/62,为列相量,转置,含糊相量可看成特殊形式含糊关系，一个论域U上含糊子集，可被视为从它概念名称到U一个含糊关系，这个含糊关系写成矩阵形式就是含糊相量。,例,设论域X=1，2，3，4，5，X上含糊子集“大”隶属函数为：,大=0/1+0/2+0.4/3+0.7/4+1/5,写成相量为：,大=（0，0，0.4，0.7，1）,则这个含糊相量可看作从“大”到U一个含糊关系。,48/62,含糊相量笛卡尔积,设有两个含糊相量,a，b，,对应论域分别为X、Y，定义：,为含糊相量笛卡尔积，表示它们所在论域X与Y之间一个含糊转换关系。,例，已知,a=,（0.8，0.6，0.2），b=（0.2，0.4，0.7，1），计算笛卡尔集。,49/62,5.3 含糊语言及含糊推理,含糊语言变量,语言变量以自然或人工语言中字或句作为变量，表征那些非常复杂或定义很不完善无法用通常准确术语进行描述现象。,一个语言变量可定义为一个五元体(,x,T,(,x,),U,G,M,)。其中，,x,为变量名；,T,(,x,)为,x,词集，即语言值名称集合；,U,为论域；,G,是产生语言值名称语法规则；,M,是与各语言值含义相关语法规则（语义规则）。语言变量每个语言值对应一个定义在论域,U,中含糊数。语言变量基本词集把含糊概念与准确值联络起来，实现对定性概念定量化以及定量数据定性含糊化。,比如，以控制系统误差作语言变量X，论域取U=-6，+6，“误差”语言变量原子单词有“大”、“中”、“小”、,50/62,“零”，施加适当语气算子可组成多个语言值名称如“很大”、“中等”等，在考虑正、负情况，T（X）可表示为：,T（X）=T（误差）=正很大+正大+正中+正小+零+负小+负中+负大+负很大,误差,负很大,负大,负中,负小,零,正小,正中,正大,正很大,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,1,0.8,0.4,1,0.7,0.2,语言变量,语法规则,语言值,语义规则,论域,51/62,含糊推理,（1）假言推理,形式逻辑中，推理有直接推理、归纳推理以及类比推理等，科学研究中最惯用推理方法是演绎推理中假言推理，其规则是假如已知命题A蕴涵B，即AB（或如A则B），如今确为A，则可得结论为B，其逻辑结构为：,若A，则,B,如令A,结论B,（2）含糊推理,设X和Y是基础变量,x，y,论域，含糊集合A和B隶属函数分别为 ，R是XY论域上XY含糊关系，其隶属函数为：,52/62,经过含糊关系矩阵R可写成：,E是全称矩阵。,近似推理情况下假言推理含有以下逻辑结构：,若 ，则,如令,结论,是推理合成规则，,代表合成运算，,推理合成规则是假言推理近似推广。,53/62,例，设论域X=,a,1,，a,2,，a,3,，a,4,，a,5,及Y=,b,1,，b,2,，b,3,，b,4,b5,上含糊子集,小=1/,a,1,+0.5/,a,2,大=1/,b,4,+0.5/,b,5,及,XY上含糊关系为“若,x,小，则,y,大”。现假定“,x,较小”，则“,y,”怎样？,解：首先计算含糊关系R，即,较小=1/,a,1,+0.4/,a,2,+,0.2/,a,3,。,。,54/62,依据推理规则,1,0.4,0.2,0,0,。,。,0.4,0.4,0.4,0,0.5,0,0,0,1,0.5,将,0.4,0.4,0.4,0,0.5,与大,相比较，,可得出,较大结论。,55/62,（3）含糊条件推理,含糊条件语句,“IF A then B else C”,推理，在论域,X,Y,上含糊关系R为：,基于推理合成规则，已知含糊子集A,1,，对应推理结论子集B,1,为：,含糊条件语句,“IF A and B then C”,推理，在论域,X,Y,上含糊关系R为：,合成：,56/62,例，设论域X=,a,1,，a,2,，a,3,及Y=,b,1,，b,2,，b,3,，Z=,c,1,，,c,2,，已知含糊集合,0.5/,a,1,+1/,a,2,+,0.1/,a,3,0.1/,b,1,+1.0/,b,2,+,0.6/,b,3,0.4/,c,1,+1.0/,c,2,试确定含糊条件语句,“IF A and B then C”,所确定含糊关系R，以及计算由给定输入集合,1/,a,1,+0.5/,a,2,+,0.1/,a,3,0.1/,b,1,+0.5/,b,2,+,1/,b,3,决定输出含糊集合,C,1,57/62,0.1,1,0.6,0.5,1,0.1,写成列相量,58/62,1,0.5,0.1,0.1,0.5,1,59/62,写成行相量,得,C,1,：,即：,0.4/,c,1,+0.5/,c,2,60/62,含糊条件语句,“IF A and B then C else D”,推理，在论域,X,Y,上含糊关系R为：,含糊条件语句,“IF A and B and C then D”,推理，在论域,X,Y,上含糊关系R为：,合成：,合成：,61/62,含糊条件语句,“IF A or B then C or D”,推理，在论域,X,Y,上含糊关系R为：,含糊条件语句,“IF A and B then C and D”,推理，在论域,X,Y,上含糊关系R为：,合成：,合成：,62/62,
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