直角三角形的讨论.doc

二次函数中直角三角形的讨论
常见解题思路：（1）分类讨论：按直角顶点进行讨论（2）勾股定理（3）相似三角形
例题：如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E(4,m)两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0).
⑴求该抛物线的解析式；
⑵设动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标..
解：

解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得

解得

∴抛物线的解折式为………2分
（2）∵点E(4,m)在直线上
∴ ∴E的坐标为（4，3）……………………………………3分
（Ⅰ）当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0）
易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得
i即，∴a＝ ∴P1（，0）…………………………………4分
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0） …………………………5分
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，
得∠OPA＝∠FEP ∴ Rt△AOP∽Rt△PFE
∴ 得，解得，.
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）………………………………………7分
所以满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）.(不写不扣分)

练习题
1.如图，已知二次函数y=ax2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+3，又tan∠OBC＝1．
（1）求a，k的值．
（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B、C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

2.(2010年崇文二模)24．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A、B的坐标分别为和，连结．
（1）现将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，（点A落到点C处），请画出，并求经过、、三点的抛物线对应的函数关系式；
（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点的对应点为点，平移后的抛物线与原抛物线相交于点．为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结，当取得最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴上运动时，是否存在点使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

3.（2010年朝阳一模）24．
已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
4.（2010年丰台一模）25．
已知抛物线．
　（1）求抛物线顶点M的坐标；
　（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

练习题答案
1.（1），；
（2）二次函数的图象上存在点或，使是以为一条直角边的直角三角形．

2.（2010年崇文二模）24．
解：（1）

① 若
则解得

② 若
则解得

③ 若
则解得

综上所述，存在点使为直角三角形，，，
3.（2010年朝阳一模）24．（本小题7分）
解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A（4，0），
∴ 0 = 4k -3，解得k=．
∴ 直线的解析式为 y=x-3． ………………………………………………………………1分
由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0,-3) ．
∵ 抛物线经过点A(4,0)和点C,
∴ ，解得 m=．
∴ 抛物线解析式为 ……………2分
（2）对于抛物线，
令y=0，则，解得x1=1，x2=4．
∴ B(1，0).
∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.
① 若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1），
∴ △AP1Q1∽△AOC.
∴ , ∴．解得t= ； ………………………………………………3分
② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC，
∴ △AP2Q2∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t=； ………………………………………………4分
③ 若∠Q A P=90°,此种情况不存在. ………………………………………………………5分
综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形．
（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）.
∴ S△ADF=DF·AE，S△CDF=DF·OE．
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF
=DF·AE +DF·OE
=DF×(AE+OE)
=×(DE+DF)×4
=×()×4
=． ……………………………………………………………………6分
∴ S△ACD=（0<x<4）．
又0<2<4且二次项系数，∴ 当x=2时，S△ACD的面积最大．
而当x=2时，y=．
∴ 满足条件的D点坐标为D (2, )． …………………………

A
N
M
C
Q
B
P2
P1
x
y
4.（2010年丰台一模）25．解：（1）∵抛物线∴顶点M的坐标为． -------- 1分
（2）抛物线与与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）．
设线段BM所在直线的解析式为．
∴解得 ∴线段BM所在直线的解析式为． --------- 2分
设点N的坐标为．∵点N在线段BM上，∴. ∴．
∴S四边形NQAC＝S△AOC＋S梯形OQNC． ----------- 3分
∴S与t之间的函数关系式为，自变量t的取值范围为．------ 4分
（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则且．
，，．
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC＝90°，则．∴
解得， ．∵ ．∴．∴． ----------- 6分
②若∠PCA＝90°，则．∴
解得，．∵，∴．∴．
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
∴存在符合条件的点P，且坐标为，． ---------------- 8分