相似图形中考试题及答案.doc

《相似图形》测试
一、试试你的身手（每小题3分，共30分）
1．在比例尺为1∶50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为 千米．
2．若线段，，，成比例，其中，，，则 ．
3．已知，则的值为　　　　．
4．两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是　　　　．
5．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到　　　　倍，其面积扩大到　　　　倍．
6．厨房角柜的台面是三角形(如图1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为　　　　．

7．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，，，都是黄金三角形，已知，则的长　　　　．
8．在同一时刻，高为1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为　　　　．
9．如图3，中，，，，，则　　　　．

10．如图4，在和中，，与的周长之差为10cm，则的周长是　　　　．
二、相信你的选择(每小题3分，共30分)
1．在下列说法中，正确的是（　　）
A．两个钝角三角形一定相似
B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个等边三角形一定相似
2．如图5，在中，，分别是、边上的点，，，，则（　　）
A．60° B．45° C．30° D．20°

3．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（　　）
A．都扩大为原来的5倍
B．都扩大为原来的10倍
C．都扩大为原来的25倍
D．都与原来相等
4．如图6， 在中，，于，若，，则（　　）

A．2 B．4 C．2 D．3
5．如图7，，，分别是线段和线段的中点，那么线段的长是（　　）
A．6 B．5 C．4.5 D．3

6．如图8，点是的边延长线上的一点，与相交于点，是的对角线，则图中相似三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图9，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（　　）

8．如图10，梯形的对角线交于点，有以下四个结论：
①； ②；
③；④．
其中始终正确的有（　　）
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．用作相似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，相似中心位置可选在（　　）
A．原图形的外部 B．原图形的内部
C．原图形的边上 D．任意位置
10．如图11是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（　　）
A．cm B． cm C． cm D．1cm
三、挑战你的选择(本大题共60分)
1．(8分)我们已经学习了相似三角形，也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．

2．（8分）如图12，梯形中，，，为上一点，且． 若，，BE∶EC=1∶2，求AB的长．

3．（8分）如图13，已知中，点是的中点，，则和有怎样的关系？请你说明理由．

5．(14分)阳光通过窗户照到室内，在地面上留下2.7米宽的光亮区，如图15，已知亮区一边到窗下墙脚的距离8.7米，窗口高1.8米，那么窗口底边离地面的高是多少米？

6．(14分)如图16，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地．当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上．此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米(DE的长)？
（2）求张华追赶王刚的速度是多少(精确到0.1m/s)？

2. （2012四川巴中，31， 12分）如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.

【答案】
解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°，
∵，AB=16，∴.
∴AC=20.
又∵点D与点A关于y轴对称，∴OD=AO=BC=12
∴D（12,0）
（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴AC=DC
∴∠CDE=∠EAF,
∵BC∥AD，∴∠EAF=∠ACB.
∵∠CEF=∠ACB，∴∠CEF=∠CDE.
∵∠CEF+∠AEF =∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE.
（3）①当EF=FC时，作FM⊥CE，CE=2EM，
∵，则
∴
由（2）可得，即，AE=.
∴OE=
∴
②当CE=EF时，
∴AE=CD=20,则OE=20－12=8
∴
③当CE=CF时，E与D重合与题目矛盾。
∴综上，当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标为或.
20．（2012四川成都，20,10分） 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= ，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含的代数式表示)．

【答案】（1）∵E为BC的中点
∴BE=CE
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC
∵AP=AQ
∴AB-AP=AC-AQ
即BP=CQ
在△BPE和△CQE中，
∵
∴△BPE≌△CQE
(2) ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BP=a，CQ=a，BE=CE，
∴BE=CE=a，
∴BC=3a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，
连接PQ，
在Rt△APQ中，PQ==a．

21．（2012四川内江，21，9分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
D
A
B
G
C
F
E

【答案】(l)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD= 90°，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠BAD－∠BAE =∠BCD－∠BCE，
即∠EAD=∠ECD，
∵∠AED=∠CED，ED=ED，
∴△AED≌△CED，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形．
(2)FG=3EF．
理由∵BG∥AD，∴∠G=∠EAD ，由于∠EAD=∠ECD ，∴∠G=∠ECD，
∵∠CEG=∠FEC，∴△CEG∽△FEC，
∴，
由(1)知CE=AE，而AE=2EF，故CE=2EF，
∴EG=2CE=4EF，
即EF+FG=4EF，
∴FG=3EF．
19. (2012四川南充，19，8分) 矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC.
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值.

【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=900.
∵EF⊥EC，∴∠FEC =900.∴∠FEA+∠CED=900.
∵∠FEA+∠EAF=900.∴∠EAF=∠CED.
∴△AEF∽△DCE.
（2）∵AB=2AD，E为AD的中点,
∴.
∵⊿AEF∽⊿DCE. ∴.
在中，.

2. （2012福建莆田，24,12分）
（1）（3分）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.
求证：;
(2) (4分)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；
(3)(5分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD于点E，交直线AC于点F.若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含的式子表示)，不必证明．

图① 图②

【答案】（1）证明：∵BD⊥AC
∴∠ADB＝90°
又∠ABC＝90°
∴∠ADB＝∠ABC
又∠A=∠A
∴△ABD∽△ACD
∴
∴
(2) 证明：

过点C 作CM⊥AD ,垂足为M
∵BE⊥AD, CM⊥AD
∴∠BED＝∠CMD＝90°
∵点D为BC的中点
∴BD＝CD
又∠BDE＝∠CDM
∴△BDE≌△CDM
∴DM＝DE
∵BE⊥AD
∴∠BED＝90°
∴∠BED+∠EBD=90°
∵∠ABC＝90°
∴∠ABE+∠EBD=90°
∴∠BED=∠ABE
又∠BDE＝∠CDM
∴∠CDM=∠ABE
又∠CMD＝∠AEB=90°
∴△ABE∽△CDM
∴
∵
∴AB=BC,BD=DC
∵点D为BC的中点
∴
∴
∴
∴BE=2DM
∴BE=2DE
∵∠AEB＝∠BED=90°，∠ABE=∠BDE
∴△ABE∽△BDE
∴
∴
∴
∵BF⊥AD， CM⊥AD
∴EF∥CM
∴
(3)

《相似图形》水平测试二参考答案
一、1．230
2．cm
3．9
4．60或
5．4，16
6．
7．
8．30m
9．9
10．25cm
二、1．D　2．C　3．D　4．A　5．D　6．B　7．A　8．C　9．D　10．D
三、1． ①、④是相似图形，②、③不一定是相似图形　理由：两个圆和两个正六边形分别为相似图形，因为它们的对应元素都成比例；两个菱形和两个长方形都不是，因为它们的对应元素不一定都成比例（或举出具体的反例）．
2．解：因为，且，所以及．
所以．故．
又，
所以． 所以．
又，且及， 故．所以．
3．解：．
因为，所以，，
所以，所以．
同样，所以，所以，
又是的中点，所以．
4．解:（1）如图，沿着旗杆的影竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子顶端重合．
（2）用皮尺测量旗杆的影长米，标杆的影长米，标杆米．
根据，得，，所以米．
即旗杆的高为米．
5．解：由已知可得，所以，所以．
又，
所以，解得．
即窗口底边离地面的高是4米．
6．（1）根据投影的特征可知，所以，
所以，．
又，，．
所以，所以（m）．
（2）因为，，
所以，即，
所以（m），
所以王刚从到的时间为42÷3=14（s），
所以张华从到的时间为14－4=10（s），
所以张华的速度为（40－）÷10≈3.7（m/s）．

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