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四边形证明题及综合题
1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，∠BAE =∠DAF．
（1）求证：BE = DF；
（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，联结EM、FM．
A
D
B
E
F
O
C
M
第1题图
求证：四边形AEMF是菱形．
2、如图8，已知梯形中，， 、分别是、的中点，点在
（第2题图）
边上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结,若平分，
求证：四边形是矩形．
(第3题图)
E
A
C
D
F
B
P
3、如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=AB=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。
（1）求证：AF=BE；
（2）请猜测∠BPF的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足.
N
M
D
C
B
A
（1）求证：AN=CM；
（2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积.
A
B
（图5）
D
C
O
E
F
5.如图.在平行四边形中，为对角线的交点，点为线段延长线上的一点，且.过点作∥，交于点，联结.
（1）求证：∥；
（2）如果梯形是等腰梯形，判断四边形的形状，
并给出证明.
（第6题）
A
B
C
D
G
H
E
F
M
6、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点．
求证：（1）BM//GH；
（2）BM⊥CF．
7．已知：如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，联结CD.求证：四边形ABCD是菱形．
8．如图，在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点，点是的中点.
求证：（1） (2)
9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．
A
B
E
F
C
D
求证：四边形AEFD是矩形．
（第9题）
A
B
C
D
G
E
F
10．如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝，求证：四边形DEBF是菱形．
11．（第11题图）
A
B
F
C
D
E
已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F．
求证：四边形AFCD是菱形．
12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
A
B
D
C
E
F
（第12题图）
已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，点E、F在边BC上，DE // AB，AF // CD，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：①AD = AB；②∠B +∠C
= 90°；③∠B = 2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．
13．已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N .
（1）写出图中的全等三角形. 设CP=，AM=，写出与的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.
14、已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），
过点P作 PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F.
（1）当点E落在线段CD上时（如图10），
① 求证：PB=PE；
② 在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，
若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果
不能，试说明理由．
D
C
B
A
E
P
。
F
（图1）
D
C
B
A
（备用图）
15、如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.
(1) 求点的坐标.
(2) 请判断△的形状并说明理由.
(3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.
16．已知：如图，梯形中，∥，，，．是直线上一点，联结，过点作交直线于点．联结．
（1）若点是线段上一点（与点、不重合），（如图1所示）
①求证：．
②设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（第3题图1）
（2）直线上是否存在一点，使△是△面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
（第3题备用图）
17．已知： O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，联结EF（如图4）。
（1） 求证：EO=FO；
（2） 若正方形的边长为2， OE=2OA，求BE的长；
E
（3） 当OE=2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1=时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形。
F
B
A
O
D
C
（图4）
（备用图）
A
B
C
D
O
18．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分）
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EA⊥CF，垂足为H，
AE与CD相交于点G．
（1）求证：AG=CF；
（2）当点G为CD的中点时（如图1），求证：FC=FE；
（3）如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC时（如图2），求DG的长．
A
B
C
D
E
F
H
G
A
B
C
D
E
F
H
G
图2
图1
答案
1．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B =∠D=90°…………………………（2分）
∵∠BAE = ∠DAF
∴△ABE≌△ADF……………………………………………………………（1分）
∴BE = DF……………………………………………………………………（2分）
（2）∵正方形ABCD，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分）
∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO……………………………………（1分）
∵△ABE≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分）
∴EO=FO ，AO⊥EF…………………………………………………………（2分）
∵OM = OA ∴ 四边形AEMF是平行四边形……………………………（1分）
∵AO⊥EF ∴四边形AEMF是菱形……………………………………（1分）
2．（1）证明：联结EG，
∵ 梯形中，，且、分别是、的中点，
∴ EG//BC，且，…………………………（2分）
又∵
∴ EG=BF．……………………………………………………（1分）
∴ 四边形是平行四边形．…………………（2分）
（2）证明：设AF与EG交于点O，
∵ EG//AD，∴∠DAG=∠AGE
∵平分，∴∠DAG=∠GAO
∴∠GAO=∠AGE
∴ AO=GO．………………………………（2分）
∵四边形是平行四边形，
∴ AF=EG，四边形是矩形…………………………（2分）
3．证明：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC
∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）
∵AD= DC ∴ AE=DF…………………………………………（1分）
∵BA=AD ∴△BAE≌△ADF， …………………………………（1分）
∴BE=AF． …………………………………………………………（1分）
（2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）
∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分）
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．……………………………………（1分）
而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．
∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）
4、证：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∴∠DAC=∠BCA.
又∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC.
∴⊿DAN≌⊿BCM, ---------------------------------------------------（3分）
∴AN=CM. ---------------------------------------------------------------（1分）
（2）联结BD交AC于点O，
∵AN = NM=2,
∴AC = BD =6,
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=DO=3，
在⊿ODN中，OD=3，ON=1，∠OND=,
∴DN=,--------------------------------------（2分）
∴矩形ABCD的面积=.-----------------------（1分）
A
B
（第5题图1）
D
C
O
E
F
G
5.解：（1）方法1：延长交于（如图1）.……………1分
在平行四边形中，∥，.
∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形.
∴ .……………1分
又∵，，
∴ .……………1分
∵∥，∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（A.A.S）. ∴.…………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥. ………………1分
A
B
（第5题图2）
D
C
O
E
F
G
方法2：将线段的中点记为，联结（如图2）. ………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥. …………1分
∴.
∵∥，∴.
∵，，
∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（A.S.A）. …………………1分
∴.
又∵∥，
∴四边形是平行四边形. …………………1分
∴∥. …………………1分
其他方法，请参照上述标准酌情评分.
（2）如果梯形是等腰梯形，那么四边形是矩形. ……………1分
∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.
∴.……………1分
又∵梯形是等腰梯形，∴.
∴.
（备注：使用方法2的同学也可能由≌找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形是平行四边形找到解题方法）.
∵四边形是平行四边形，∴，.
∴.……………1分
∴平行四边形是矩形. ……………1分
6．证明：（1）∵在正方形ABCD中，AD//BC，∴∠A=∠HBE，∠ADE=∠H，…（1分）
∵AE=BE，∴△ADE≌△BHE．………………………………………（1分）
∴BH=AD=BC．…………………………………………………………（1分）
∵CM=GM，∴BM//GH．………………………………………………（1分）
（2）∵在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90º，
又∵DF=AD，AE=AB，∴AE=DF．∴△AED≌△DFC．………（1分）
∴∠ADE=∠DCF．………………………………………………………（1分）
∵∠ADE+∠GDC=90º，∴∠DCF+∠GDC=90º．∴∠DGC=90º．…（1分）
∵BM//GH，∴∠BMG=∠DGC=90º，即BM⊥CF．…………………（1分）
7、证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD.
又 ∵AE∥BF， ∴∠BCA=∠CAD. --------------------------1分
∴∠BAC=∠BCA.
∴ AB=BC. --------------------1分
同理可证AB=AD.
∴ AD=BC. ----------------------1分
又 AD∥BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形. -----1分
又AB=BC，∴□ABCD是菱形. -----1分
8. 证明：（1）∵正方形
∴ …………1′
∵是的中点 ∴ …………1′
∵
∴…………1′
∴ ∴…………1′
∵是的中点 ∴…………1′
(2)证 …………1′ ∴
∵ ∴ ………1′
∵ ∴
∴ …………1′
9．证法一： ∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD
∴四边形AEFD是平行四边形．………………………………………（1分）
∴AD//DF，∴∠AEF=∠DFC．………………………………………（1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………………………………………（1分）
又∵BE=CF，∴△ABE≌△DCF．……………………………………（1分）
∴∠AEB=∠DFC，……………………………………………………（1分）
∴∠AEB=∠AEF．………………………………………………………（1分）
∵∠AEB+∠AEF=180º，∴∠AEF=90º．……………………………（1分）
∴四边形AEFD是矩形．………………………………………………（1分）
证法二： 联结AF、DE．…………………………………………………………（1分）
∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．………………………………………（1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………………………………………（1分）
∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，…………………………（1分）
∴△ABF≌△DCE．……………………………………………………（1分）
∴AF=DE，………………………………………………………………（2分）
∴四边形AEFD是矩形．………………………………………………（1分）
10、证明：（1）∵□ABCD ，∴AB∥CD，AB＝CD-----------------------------------1分
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF＝DC，BE＝AB
∴DF∥BE，DF＝BE---------------------------------------------------------------------1分
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF-----------------------------------------------------------------------------------1分
(2)证明：∵AG∥BD，∴∠G＝∠DBC＝90°，∴DBC为直角三角形---1分
又∵F为边CD的中点．∴BF＝DC＝DF------------------------------------------1分
又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形----------------------1分
11．证明：∵在梯形ABCD中，AD//BC，∴∠DAE=∠FAE，∠ADE=∠CFE．……（1分）
又∵AE=EC，∴△ADE≌△CFE．…………………………………………（1分）
∴AD=FC，…………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是平行四边形．……………………………………………（1分）
∵BC=2AD，∴FC=AD=BC．……………………………………………（1分）
∵AC⊥AB，∴AF=BC．…………………………………………………（1分）
∴AF=FC，……………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是菱形．……………………………………………………（1分）
12．（1）解：线段AD与BC的长度之间的数量为：．…………………（1分）
证明：∵ AD // BC，DE // AB，∴ 四边形ABED是平行四边形．
∴ AD = BE．………………………………………………………（2分）
同理可证，四边形AFCD是平行四边形．即得 AD = FC．……（1分）
又∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ AD = EF．……………（1分）
∴ AD = BE = EF = FC．
∴ ．……………………………………………………（1分）
（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）
证明：∵ DE // AB，∴ ∠B =∠DEC．…………………………………（1分）
∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．
即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分）
又∵ EF = FC，∴ DF = EF．……………………………………（1分）
∵ 四边形AEFD是平行四边形，
∴ 四边形AEFD是菱形．…………………………………………（1分）
13．（1） ⊿MBN≌⊿MPN ………………………………1
∵⊿MBN≌⊿MPN
∴MB=MP,
∴
∵矩形ABCD
∴AD=CD (矩形的对边相等)
∴∠A=∠D=90°(矩形四个内角都是直角) ………………………………1
∵AD=3, CD=2, CP=x, AM=y
∴DP=2-x, MD=3-y ………………………………1
Rt⊿ABM中，
同理 ………………………………1
………………………………1
∴ ………………………………1
（3） ………………………………1
当时，
可证 ………………………………1
∴ AM=CP，AB=DM
∴ ………………………………1
∴ ………………………………1
∴当CM=1时，
14．（1）① 证：过P作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N
∵正方形ABCD，∴ PM=AM，MN=AB ，
从而 MB=PN ………………………………（2分）
∴ △PMB≌△PNE，从而 PB=PE …………（2分）
② 解：PF的长度不会发生变化，
设O为AC中点，联结PO，
∵正方形ABCD， ∴ BO⊥AC，…………（1分）
从而∠PBO=∠EPF，……………………（1分）
∴ △POB≌△PEF， 从而 PF=BO …………（2分）
（2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；…………（1分）（1分）
（3）当点E落在线段CD上时，∠PEC是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能EP=EC，…………（1分）
这时，PF=FC，∴ ，点P与点A重合，与已知不符。……（1分）
当点E落在线段DC的延长线上时，∠PCE是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能CP=CE，…………（1分）
设AP=x，则，，
又 ，∴，解得x=1. …………（1分）
综上，AP=1时，⊿PEC为等腰三角形
15.解：（1） 解得： ………………………1′
∴ 点P的坐标为（2，） ………………………1′
（2）当时， ∴点A的坐标为（4，0） ………………………1′
∵ ……………1′
∴
∴是等边三角形 ………………………1′
（3）当0＜≤4时， ………………………1′
………………………1′
当4＜＜8时， ………………………1′
………………………1′
16．（1）①
证明：在上截取，联结.
∴.
又∵∠A＝90°，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°.
∴∠AGE＝45°.
∴∠BGE＝135°.
∵∥.
∴∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝45°.
∴∠D＝135°.
∴∠BGE＝∠D. ……………………………………………………………1分
∵，.
∴. …………………………………………………………………1分
∵.
∴∠BEF＝90°.
又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°，
∠A＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF. ……………………………………………………………1分
∴△BGE≌△EDF. ……………………………………………………………1分
∴.
（1）②
关于的函数解析式为：.………………………………1分
此函数的定义域为：.………………………………………………1分
（2）存在.…………………………………………………………………………1分
Ⅰ当点在线段上时，（负值舍去）. ………………1分
Ⅱ当点在线段延长线上时，（负值舍去）. ………………1分
Ⅲ当点在线段延长线上时，. ………………………………1分
∴的长为、或.
17、（1）证明：∵ABCD是正方形，对角线交于点O，
∴AO=BO，AC⊥BD，-----------------------------------------------------------1分
∴ ∠OAB=∠OBA,∴∠OAF=∠OBE，--------------------------------------1分
∵AC⊥BD，OF⊥OE，∴∠AOF==∠BOE，------------1分
∴△AOF≌△BOE，
∴EO=FO.----------------------------------------------------------------------------1分
（2）解：∵ABCD是正方形，边长为2，∴AO=,∴OE=2OA=
∵OF⊥OE，EO=FO，∴EF=4，--------------------------------------------------1分
∵△AOF≌△BOE，∴AF=BE，--------------------------------------------------1分
设AF=BE=x， 在Rt△EFB中，,即
解得，∵x＞0，∴，即BE=---------------2分
（3）△AOE1是直角三角形。-------------------------------------------------------------1分
证明：取OE中点M，则OM=EM=,-----------------------------------------------1分
∵OE=2OA，∴OA=，∴OA=OM
∵∠EOB=,∵AC⊥BD，∴∠AOE=,∴△OAM是等边三角形，----------1分
∴AM=OM=EM，∴∠MAE=∠MEA,∴∠MAO=∠MOA，
∵∠MAE+∠MEA+∠MAO+∠MOA=，∴2∠MEA+2∠MOA=，
∴∠MEA+∠MOA=，--------------------------------------------------------------------1分
即△AOE1为直角三角形。
18．（1）证明：∵在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠CDF=90º，
∵AE⊥CF，∴∠AGD=90º –∠GAD=∠CFD，………………………（1 分）
∴△ADG≌△CDF，…………………………………………………（1 分）
∴AG=CF．……………………………………………………………（1 分）
（2）证明：过点F作FM⊥CE，垂足为M，……………………………………（1 分）
∵∠ECG=∠ADG=90º，∠CGE=∠DGA，CG=DG，∴△ECG≌△ACD，…（1 分）
∴CE=AD=CD．∵FM//CD，∴CM=DF=DG=CD=CE，………（1 分）
∴FC=FE．………………………………………………………………（1 分）
（3）解：联结GF，∵EF=EC,EH⊥CF,GF=CG．……………………………………（1 分）
设DF= DG=，则GF=CG=2–，
∵，∴， …………………………（1 分）
∴（负值舍去），∴DF=．…………………………（1 分）
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