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International Mathematics Tournament of Towns
環球城市數學競賽
1999秋季賽 國中組　初級卷解析

1. 將一直角三角形的紙片，沿著一條直線摺，使直角的頂點和三角形另一個頂點重合，得出一個四邊形。

A. 這個四邊形兩條對角線相交，彼此分為兩段，求每條對角線的兩段長度的比率。(二分)
B. 將摺好的四邊形紙片，從原三角形的第三個頂點開始沿著對角線剪開，使得原紙片成為三張小紙片，假如原三角形的面積為1，求最小那塊紙片的面積。(二分)

小淳：(a)部份我會作一些，照題意我可以作圖一，那麼，我們可以令為x，為y，因為D, F分別是和的中點，所以，我們得到，又，所以，然後我就不會了。
小地：你看！因為D, F分別是和的中點，所以，我們得，，進而證明，所以所以，這樣就得到，即 ，因為x, y都是正數， ，所以2x - y =0，此即y= 2x，也就是。
小淳：哇！好難喲！
小君：其實作法可以簡單許多，不必用解一元二次方程式，我們知道，則，而且是x+y，是4(x + y)，又，所以，加上，可得 　　　　　　　　　　　　 。
小承：如果利用三角形的二腰中點連線必平行底邊且其長度恰為底邊的一半之性質，再利用，那答案就馬上出來了。

小淳：好棒喔！聽起來不難嘛！那我試試那(b)部份。咦，我怎麼只有剪成二部份而已！
小君：拜託，你沒有照題意先把B點和C點重合摺好，千萬不能再打開，這樣就可以剪成三部份了，(b)是要我們求圖二中的，摺好之之後，B與C點重合，H點與G點也重合，所以(b)也就是要我們計算。
小淳：那簡單，的面積是y，的面積是4x + 4y = 6y，所以。
小承：F點是的外心，G點是的重心，也就是三角形中線的交點，重心把中線的長度分為2 : 1。
小淳：小承，你在說什麼呀？聽聾嘸！
3. 令a，b，c為整數，並且滿足a + b + c = 0。假設。請問：
(a)有沒有可能d = 2？(二分)
(b)有沒有可能d是個質數？(二分)
(大於1的整數，如果只有1及本身的因數，稱它為質數。)
小淳：這題很簡單，我用a = 1,b = -1, c =0代入，計算d = 1 + (-1)+ 0 = 0，所以d不可能是2，也不可能是質數。
小君：什麼跟什麼嘛！你只是用一種情形代入得到d = 0，怎麼能保證d"不可能"是2也不可能是質數。
小淳：這題在暗示d"不可能"是2，否則(b)部份就不用作了，2當然是質數啦。
小承：對！你說得很對，但是理由是為什麼呢？
小淳：如果a是正數，b跟c是負數，那麼則遠大於，所以d不可能是2。 由於a + b + c = 0，如果a,b,c都不為0，則a,b,c有正，有負。
小青：對，如果a,b, c是二負一正或者二正一負，各種討論情形都和小淳剛才說的類似。如果a, b, c有一個或一個以上的數是0，則d = 0。
小承：我學過二項式定理，那就是：

根據小青的說法：
(1)a, b, c中有一個或一個以上的數是0，則d= 0。
(2)a, b, c三個數不可能同時全為正或者全為負。不失一般性，令b, c同號但與a不同號。所以

現在n = 1999，由於1999是質數，若，則一定是1999的倍數，那就直接推導出d是1999的倍數。若d是質數則，我們可得，所以不是質數，得知(a), (b)都是不可能。
小淳、小均：我們都沒學過二項式定理，聽說高三才會學到，那我們怎麼可能會作這題？
小地：別喪氣！這題有簡單的方法，題目問我們是否可能為質數，小淳又說題目暗示(a)不可能，那我們檢查d是否為某數的倍數就好了。
小淳：老天爺，自然數那麼多，我怎麼可能知道d會是哪一個數的倍數呢？
小地：別急，從簡單情形的著手嘛！
小君：好，我來。a + b + c = 0，所以a, b, c中奇數有偶數個（零個或2個），由於與x的奇偶性相同，所以與a + b + c = 0同為偶數。ㄝ！好像不難哩！再看d是否是3的倍數，, , 除以3餘…嗯，2除以3餘2，除以3餘1，除以3餘2，除以3餘1，喔，我知道了，除以3餘2，這樣和x除以3的餘數相同。和a + b + c除以3的餘數相同。又0除以3餘0，所以d除以3餘0。哇！我作出來了，d是2跟3的倍數，當然d"不可能"是2，也"不可能"是質數。怎麼，我有夠聰明吧！不好意思，不好意思！
4. 平面上有n條直線，每條直線恰好與1999條其它直線相交，求n的所有可能值。(四分)
小淳：這一題最簡單了，答案是2000條任意二條線都相交，所以1+1999=2000。
小承：會不會有其它答案呢？
小君：如果有4條線，它可以任意二線都相交，則每條直線恰好其它3條直線相交。如果排成井字形則每條直線恰好與其它2條直線相交，如果有6條線可以排成圖三的三種情況，則每條直線恰好與其它5條(圖三a), 4條 (圖三b)，3條(圖三c)其它直線相交，

那我可以這樣想：這些直線分成k堆每一堆都有m條平行的直線，但是和其它堆的直線並不平行，則每條直線恰好和其它直線相交，現在令，所以k=2,m=1999或者k = 2000,m = 1，因為直線共有條，所以答案有2種，2x1999=3998和2000 x 1 = 2000。哇！我又作出來了。
小承：慢著，你為什麼可以假設，每堆的直線個數都一樣多呢？
小君：本來就是這樣嘛！這樣也比較有對稱性，而且作解答方便些嘛！
小承：不行，必須講理由才行。理由是任一條直線都和同一堆的直線平行，而和其它堆的直線相交，但是和每一條直線相交的直線個數都是一樣。在第i堆及第j堆中各挑出一條直線，令其為L與M，則"和L相交的直線數目減去和M相交的直線數目等於第j堆直線的個數減去第i堆直線的個數"=0，所以每堆的直線數目都必須一樣。
小淳：幹嘛這麼麻煩呢？
小承：數學是追求真理，概念必須弄清楚才行。
小君：我也可以說第i堆的直線相交的直線數和全部直線數─第i堆的直線數，所以相交的直線數都一樣。所以每一堆的直線數都一樣。
5. 義大利製的A廠牌時鐘，每天時針只轉１圈，分針轉24圈；而一般的普通時鐘，每天時針轉兩圈，分針轉24圈。假設兩種時鐘的鐘面一樣大，時針、分針也分別一樣長，但分針略長於時針。兩種時鐘『零時』的刻痕都固定位於鐘面的正上方。問24小時內，有多少種情形時針、分針和『零時』的相對位置，相同地出現在兩種時鐘上(這時候兩種時鐘顯示的時間可能不同)？(四分)

小淳：這一題很繁，但是不難。我畫圖就可以清楚地作出答案了。圖四a是A廠的鐘。圖四b是普通的鐘。我只要把A廠的鐘每一個整小時數的位置都畫出來，共有24種，再看看那一種位置在普通的時鐘上也會出現，結果是12種。
小青：其實我只畫4個圖，1點正、2點正、3點正、4點正，A廠的時鐘面上時針、分針和零時的位置，就馬上知道2點、4點、6點、……24點正的A廠的鐘面上時針、分針和零時的相對位置都會相同地出現在普通時鐘。
小君：為什麼你們只看每一個整小時的位置？難道其它時刻都不行嗎？
小淳、小青：當然不可以啦！本來就是這樣嘛！
小君：不可以，要講理由才行。嗯，我知道了，A廠分針角速度是時針的24倍，普通鐘的分針角速度是時針角速度的12倍，由於A廠時鐘的分針角速度和普通鐘的分針角速度一樣，但是普通鐘的時針角速度是A廠時鐘的時針角速度的2倍，它們只有在指向"零時"的刻痕才會在同一位置，所以才要看整點嘛！
小承：題目不是問我們兩種鐘"同時"出現的相對位置的時刻有多少種？所以小君的理由不全對，最後的理由有偏差。應該是兩個鐘的"零時"刻痕都不動，分針角速度一樣，所以位置一定都在同一位置，如果A廠的鐘不是整點的話，令其為a點b分，60>b>0，每次整點開始二種時鐘的分針都是從"零時"的刻痕出發，時針是從數字刻痕出發。A廠時針由數字a開始走的角度是分針從"零時"刻痕走過角度的，普通時鐘的時針則先走，由於分針每分鐘繞了，當分針繞了A廠的時針繞了，A廠鐘的偶數數字刻痕位置才是普通鐘的數字刻痕。當這樣的位置發生在普通鐘時，我們要考慮二種情形：
(一) a是偶數時，普通時鐘的時針繞了，所以A廠的鐘面上的"零時"分針，時針的相對位置不發生在普通鐘的鐘面上。
(二) a是奇數，則a - 1才會是普通針的數字刻痕，A廠鐘的時針走了從走了也走從走了，而普通鐘的時針走了，那麼，矛盾。
5. 能不能將6 x 6的棋盤，分割為18個1 x 2或2 x 1的長方形，而且在每個長方形內只劃一條對角線，使得這18條對角線中的任何兩條對角線，都沒有共同的端點？(四分)
(註：每個長方形都有二條對角線，一條從左上到右下，另一條從右上到左下。)
小淳、小君、小青：這題好難哩！我們根本無從著手嘛！
小承：其實這題不難，當棋盤是2 x 2與4 x 4時很容易作出來，就像圖五，那你們看，這兩個圖五a，五b有什麼關係呢？如何從圖五a得到圖五b呢？

小淳：好像圖五a是圖五b的中間那一塊，外面再圍著一圈。
小承：對，那6 x 6的棋盤怎麼辦？
小淳：那6 x 6不也就是把4 x 4的外面再圍一圈嗎？我試試看，哇，你們看（圖六）6 x 6的棋盤我可以作出來了，再試8 x 8，嗯，也可以，那任何2n x 2n都是一樣的作法！好簡單哩！ 小承：對！小淳！你好聰明！但是要用數學歸納證明或都詳細描述所有對角線的位置，說明它們不會相交。