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2021 年第八届鹏程杯数学邀请赛（预赛）试题卷（六年级）
2021 年第八届鹏程杯数学邀请赛（预赛）试题卷
（小学六年级组）
不定项选择题（本试卷共 25 题，每题 4 分，共 100 分。每题给出的五个选项中，至少有一个正确，多选、错选、不选均不得分。每小题的分值根据正确的选项个数平均分配，少选且正确时按此记分。）
第 9 页 共 8 页
1. 计算：
7 ×4
18
1
1+1
2 6
× 18 =（ ）
13 −3
2
3÷ 5
4 16
5
A.21 B.22 C.23 D.2
9
E.以上都不对
2. 下面是由六个相同的正方形重叠起来构成的图形，连接点正好是正方形边的中点，正方形边长是𝑎，则该图形的周长是（ ）.
A. 24𝑎 B.14𝑎 C.12𝑎 D.18𝑎 E.以上都不对
3. 由 3 个不同的自然数组成一等式：
□＋△＋〇＝□×△－〇
这三个数中最多有（ ）个奇数.
A.1 B.2 C.3 D.0 E.无法确定
4. 从三个方向看一个立方体如下图，则 H、X、Y 对面分别是字母（ ）.
A.W、A、E B.E、A、W C.A、W、E D.W、E、A E.以上都不对
5. 把一个自然数𝑛的数位上的偶数数字相加所得的和记为𝐸(𝑛)，例如：𝐸(1999) = 0，
𝐸(2000) = 2，𝐸(2021) = 2 + 2 = 4. 则𝐸(1) + 𝐸(2) + 𝐸(3) + ⋯ + 𝐸(100) =（ ）.
A.50 B.100 C.400 D.2020 E.以上都不对
6. 在工厂的一块空地上堆放了 216 块砖（如图），这个砖堆有两面靠墙. 现在把这个砖堆的表面涂满石灰，则被涂上石灰的砖共有（ ）块.
A.36 B.48 C.50 D.106 E.以上都不对
7. 在算式：2×□□□＝□□□的六个空格中，分别填入 2，3，4，5，6，7 这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被 13 整除，那么这个积是（ ）.
A.234 B.286 C.534 D.654 E.以上都不对
8. 寒假期间，某数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片. 如下图，同学们猜测它是一种乘法表的记录. 请你根据这个猜测，判定
表示的数是（ ）.
A.635 B.395 C.536 D.593 E.以上都不对
𝑐
𝑓
ℎ+
𝑖
9. 算式𝑎 + 1 + 𝑑 + 1 + 𝑔 + 1 的最大值为（ ），其中每个不同的字母代表不同
的非零数码.
𝑏+1
𝑒+1 1
A.25
B. 25
1003
1008
611 1014
609 1026
597 1040
620 1001
C. 25
D. 25
E. 25
10. 已知正方形 ABCD 的边长为 10cm，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边的中点做一个小圆，则将对边中点用直线连接起来得下图. 那么，图中阴影部分的总面积等于
（ ）𝑐𝑚2. （𝜋取 3.14）
A.19.25 B.29.25 C.39.25 D.9.25 E.以上都不对
11. 有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是（ ）.
A.128 B.342 C.375 D.500 E.以上都不对
12. 如果某国物价下降 50%，那么原来买 1 件东西的钱现在就能买 2 件. 1 件变为 2 件增加了 100%，这就相当于该国居民手中的钱增值了 100%，如果物价上涨了 25%，那么相当于手中的钱贬值了（ ）%.
A.19 B.18 C.15 D.13 E.以上都不对
13. 如图，两个边长分别 12cm 和 8cm 的正立方体相叠合而成的容器内有深达 11cm 的水，今把底面积是 24𝑐𝑚2的实心圆棒垂直插入到底面，则此时水面上升（ ）cm.
A.4.2 B.4.3 C.4.4 D.4.5 E.4.6
14. 如果一个正整数（大于 0 的自然数）能够表示为两个自然数（自然数包括 0）的平方差，就称这个正整数为“鹏程数”. 例如 3 是一个“鹏程数”，因为3 = 22 − 12，16 也是一个“鹏程数”，因为16 = 42 − 02. 现在将所有“鹏程数”由小到大排序：1，3，4，5， 7，8，9，11，12，…，则第 2021 个“鹏程数”是（ ）.
A.2694 B.2695 C.2696 D.2697 E.以上都不对
15. 如图，我们将三角形𝐴𝐵𝐶 的𝐵𝐴边延长 1 倍到𝑋，𝐶𝐵边延长 2 倍到𝑌，𝐴𝐶边延长 3
倍到𝑍. 如果三角形𝐴𝐵𝐶的面积等于 1，则三角形𝑋𝑌𝑍的面积为（ ）.
A.20 B.20 C.21 D.22 E.以上都不对
16. 中国正在进入老龄化社会，社区中老年人数量日渐增多. 今有五位老人的年龄互不
相同，其中年龄最大的比年龄最小的大 6 岁，已知他们的平均年龄为 85 岁，则其中年龄最大的一位老人为（ ）岁.
A.87 B.88 C.89 D.90 E.以上都不对
17. 如图，将两个正方形中心重合摆放，得到一个对称图形，已知图中两个阴影四边形的面积比是 3∶1，如果甲三角形的面积为 42，那么乙三角形的面积是（ ）.
A.20 B.22 C.23 D.24 E.以上都不对
18. 将所有的奇数按下列规则排成一个三角形的数表，则在此三角形数表中第 6 行第 5
列的数是（ ）.
1
3
7
13
21
31
…
5
9
15
23
33
…
11
17
25
35
…
19
27
37
…
29
39
…
41
…
A.99
…
B.101
C.103
D.105
E.以上都不对
19. 某小学举行足球比赛，共有 A，B，C，D，E 五个足球队参加，比赛规则是两两各赛一场，胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平一场两队各得 1 分. 十场球赛比完后，五个队的得分互不相同. A 队未败一场，且打败了 B 队，可 B 队得了冠军，C 队也未败一场，名次却在 D 队之后，则以下说法正确的是（ ）.
A.A 队得 6 分
B.B 队得 7 分
C.C 队得 4 分
D.D 队得 5 分
E.E 队得 2 分
20. 我们用(𝑥，𝑦)表示𝑥，𝑦这两数中较大的数减去较小的数所得的结果，比如：
(2，3) = (3，2) = 3 − 2 = 1，(5，5) = 5 − 5 = 0， ⋯
现将 1～2020 这 2020 个自然数分成A，B 两组(每组 1010 个数)，并把 A 组的数从小到大排列得到𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎1010 . 而将 B 组的数从大到小排列得到𝑏1 > 𝑏2 > ⋯ > 𝑏1010 .则(𝑎1，𝑏1) + (𝑎2，𝑏2) + (𝑎3，𝑏3) + ⋯ + (𝑎1009，𝑏1009) + (𝑎1010，𝑏1010)的值为（ ）.
A.1000000 B.1010025 C.1020100
D.1030225 E.4080400
21. 长方形𝑂1𝑂2𝐵𝐴的宽𝐴𝑂1 = 1厘米，分别以𝑂1与𝑂2为圆心，1 厘米为半径画圆𝑂1和圆𝑂2，交线段𝑂1𝑂2于点 C 和 D，如图所示. 则四边形ABCD 的面积等于（ ）平方厘米.
1 1
A. B.1 C.1
2 2
D.2 E.以上都不对
22. 某天 110 指挥中心接到报警电话，得知有几位驴友被困在深山里的某个角落，马
1
上确定最优解救方案，随后消防官兵乘车立即出发. 如果行驶 2 个小时后，将车速提高 ，
5
1
就可比预定时间提前 30 分钟赶到；如果先按原速度行驶 80 千米，再将车速提高
，就可比
4
预定时间提前 40 分钟赶到，则消防官兵一共需要乘车行驶的总路程是（ ）千米.
A.210 B.220 C.230 D.240 E.以上都不对
23. 一项铺路工程，如果甲队单独做 100 天可以完成，乙队单独做 150 天可以完成. 现在两队同时施工，工作效率比单独做提高 20％，当工程完成 2 时，正好赶上新冠疫情，影
5
响施工进度，使得每天少铺 70 米，结果前后一起共用了 90 天完成这项工程. 则整个工程要铺路（ ）米.
A.6125 B.6135 C.6145 D.6155 E.以上都不对
24. 图（a）中包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么图（b）中的 I 最小是（ ）.
A.10 B.11 C.12 D.13 E.以上都不对
25. 一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成（ ）个部分.
A. 6 B.9 C.16 D.26 E.以上都不对
2021 年第八届鹏程杯数学邀请赛（预赛）答案（六年级）
2021 年第八届鹏程杯数学邀请赛（预赛）答案
（小学六年级组）
不定项选择题（本试卷共 25 题，每题 4 分，共 100 分。每题给出的五个选项中，至少有一个正确，多选、错选、不选均不得分。每小题的分值根据正确的选项个数平均分配，少选且正确时按此记分。）
第 23 页 共 16
1. 计算：
7 ×4
18
1
1+1
2 6
× 18 =（ ）
13 −3
2
3÷ 5
4 16
5
A.21 B.22 C.23 D.2
9
E.以上都不对
7 1 1
7 9 1
7 1 7 1
18×4 +
× + + +
解答：
2 6 × 18 = 18 2 6 × 18 = 4 6 × 18 = 4 6 × 18 =
−3
÷
−
13
1 3 5
13
1 15 16
13 ×
1−12 11
2 4 16
7 1
2 4 5 2 2
( + )×2
4 6 × 18 = 21 + 2 = 23.
3
故选 C.
2. 下面是由六个相同的正方形重叠起来构成的图形，连接点正好是正方形边的中点，正方形边长是𝑎，则该图形的周长是（ ）.
A. 24𝑎 B.14𝑎 C.12𝑎 D.18𝑎 E.以上都不对
解答：图形的周长，横向由 7 条正方形的边组成，竖向也由 7 条正方形的边组成. 因此周长是14𝑎.
故选 B.
3. 由 3 个不同的自然数组成一等式：
□＋△＋〇＝□×△－〇
这三个数中最多有（ ）个奇数.
• B.2 C.3 D.0 E.无法确定
解答： 如果这三个数中有 2 个奇数和 1 个偶数，那么等式左边必为偶数，等式右边必为奇数，不可能. 如果这三个数均为奇数，那么等式左边必为奇数，而等式右边必为偶数，不可能. 因此，这三个数中最多有 1 个奇数，例如2 + 4 + 1 = 2 × 4 − 1.
故选 A.
4. 从三个方向看一个立方体如下图，则 H、X、Y 对面分别是字母（ ）.
A.W、A、E B.E、A、W C.A、W、E D.W、E、A E.以上都不对
解答： 从第一和第三个图知道，H 的对面不是 A，Y，X，W ，只能是 E. 同样可得，
X 的对面是 A，Y 的对面是 W .
故选 B.
5. 把一个自然数𝑛的数位上的偶数数字相加所得的和记为𝐸(𝑛)，例如：𝐸(1999) = 0，
𝐸(2000) = 2，𝐸(2021) = 2 + 2 = 4. 则𝐸(1) + 𝐸(2) + 𝐸(3) + ⋯ + 𝐸(100) =（ ）.
A.50 B.100 C.400 D.2020 E.以上都不对
解答： 2，4，6，8 这 4 个数字，每个在个位出现 10 次，在十位出现 10 次，所以
𝐸(1) + 𝐸(2) + … + 𝐸(100) = (2 + 4 + 6 + 8) × (10 + 10) = 400.
故选 C.
6. 在工厂的一块空地上堆放了 216 块砖（如图），这个砖堆有两面靠墙. 现在把这个砖堆的表面涂满石灰，则被涂上石灰的砖共有（ ）块.
A.36 B.48 C.50 D.106 E.以上都不对
解答： 第一层(最上层)的砖都被涂上了石灰，这些砖共有4 × 3 × 3 = 36(块). 从第二层开始，每层都有 14 块被涂上石灰，所以这个砖堆中被涂上了石灰的砖共有36 + 14 × 5 = 106(块).
故选 D.
7. 在算式：2×□□□＝□□□的六个空格中，分别填入 2，3，4，5，6，7 这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被 13 整除，那么这个积是（ ）.
A.234 B.286 C.534 D.654 E.以上都不对
解答： 先从个位数考虑，有2 × 2 = 4，2 × 3 = 6，2 × 6 = 12，2 × 7 = 14.再考虑乘数的百位只能是 2 或 3，因此只有三种可能的填法：
2 × 273 = 546
2 × 327 = 654
2 × 267 = 534
其中只有 546 能被 13 整除，因此这个积是 546.
故选E.
8. 寒假期间，某数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片. 如下图，同学们猜测它是一种乘法表的记录. 请你根据这个猜测，判定
表示的数是（ ）.
A.635 B.395 C.536 D.593 E.以上都不对
解答： 图片中记录的是自然数乘以 9 的运算结果. 左列是被乘数，右列是该数乘以 9
的积 ， 经过分析可知 : 其中 代表 1 ， 代表 10 ， 代表 60. 因此
表示60 × 6 + 10 × 3 + 5 × 1 = 395.
故选 B.
𝑐
ℎ+
9. 算式𝑎 + 1 + 𝑑 + 1 + 𝑔 + 1 的最大值为（ ），其中每个不同的字母代表不同
的非零数码.
A.25
1003
1008
𝑏+1
𝑒+1
𝑓
B. 25
611 1014
1
𝑖
C. 25
609 1026
D. 25
597 1040
E. 25
620 1001
解答： 要使算式的值尽可能大，则𝑎，𝑑，𝑔应尽可能大，可取𝑎 = 9，𝑑 = 8，𝑔 = 7. 而
，由于
𝑏，𝑒，ℎ则应尽可能小，所以可取𝑏 = 1，𝑒 = 2，ℎ = 3 1 > 1 ，故取𝑐 =
𝑚+
𝑛
1
𝑛+1
(𝑚+1)+1
6
5
6，而𝑓，𝑖只剩下 4 和 5 可供选择，故可取𝑓 = 5， 𝑖 = 4，故最大值为 9 + 1 + 8 + 1 +
7 + 1 = 25 620 .
1+1
2+1
4
3+1
故选E.
1001
10. 已知正方形 ABCD 的边长为 10cm，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边的中点做一个小圆，则将对边中点用直线连接起来得下图. 那么，图中阴影部分的总面积等于
（ ）𝑐𝑚2. （𝜋取 3.14）
A.19.25 B.29.25 C.39.25 D.9.25 E.以上都不对
解答： 原题阴影部分相当于下图阴影部分，即半个圆环，小圆半径为10 ÷ 2 = 5𝑐𝑚，
大圆半径的平方减去小圆半径的平方等于52，所求面积为1 × 𝜋 × 52 = 39.25 𝑐𝑚2.
2
故选 C.
11. 有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是（ ）.
A.128 B.342 C.375 D.500 E.以上都不对
解答： 如图，这个长方体的正面与上面的面积之和等于这个长方体的长 × (宽+ 高) = 209 = 11 × 19，从而有两种可能:
(1)长 = 11，宽+ 高 = 19 = 17 + 2.
(2)长 = 19，宽+ 高 = 11不是两个质数的和.
因此，长方体的体积为2 × 11 × 17 = 374.
故选 E.
12. 如果某国物价下降 50%，那么原来买 1 件东西的钱现在就能买 2 件. 1 件变为 2 件增加了 100%，这就相当于该国居民手中的钱增值了 100%，如果物价上涨了 25%，那么相当于手中的钱贬值了（ ）%.
A.21 B.18 C.15 D.13 E.以上都不对
解答： 不难列出算式：[1 − 1 ] × 100% = 20%
1+25%
故选A.
13. 如图，两个边长分别 12cm 和 8cm 的正立方体相叠合而成的容器内有深达 11cm 的水，今把底面积是 24𝑐𝑚2的实心圆棒垂直插入到底面，则此时水面上升（ ）cm.
A.4.2 B.4.3 C.4.4 D.4.5 E.4.6
解答： 如解图，原来水的体积为12 × 12 × 11 = 1584𝑐𝑚3，插入圆棒后，A 部分体积为 (12 × 12 − 24) × 12 = 1440𝑐𝑚3，B 部分体积为1584 − 1440 = 144𝑐𝑚3，B 部分水深为
144 ÷ (8 × 8 − 24) = 3.6𝑐𝑚，故水面上升了(12 + 3.6) − 11 = 4.6𝑐𝑚.
故选E.
14. 如果一个正整数（大于 0 的自然数）能够表示为两个自然数（自然数包括 0）的平方差，就称这个正整数为“鹏程数”. 例如 3 是一个“鹏程数”，因为3 = 22 − 12，16 也是一个“鹏程数”，因为16 = 42 − 02. 现在将所有“鹏程数”由小到大排序：1，3，4，5， 7，8，9，11，12，…，则第 2021 个“鹏程数”是（ ）.
A.2694 B.2695 C.2696 D.2697 E.以上都不对
解答： 完全平方数除以 4 只能余 0 或 1，两个完全平方数相减，其差除以 4 余数只能
是 0 或 1 或 3，即除以 4 余 2 的数不能写成两个完全平方数的差. 由于
(𝑛 + 1)2 − (𝑛 − 1)2 = 4𝑛 (2𝑛 + 1)2 − (2𝑛)2 = 4𝑛 + 1
(2𝑛 + 2)2 − (2𝑛 + 1)2 = 4𝑛 + 3
所以，除4𝑛 + 2外，均可表示成两个数平方差. 即每 4 个连续的自然数中，有一个不是 “鹏程数”，所以第 2021 个“鹏程数”为：2695.
故选 B.
15. 如图，我们将三角形𝐴𝐵𝐶 的𝐵𝐴边延长 1 倍到𝑋，𝐶𝐵边延长 2 倍到𝑌，𝐴𝐶边延长 3
倍到𝑍. 如果三角形𝐴𝐵𝐶的面积等于 1，则三角形𝑋𝑌𝑍的面积为（ ）.
A.19 B.20 C.21 D.22 E.以上都不对
解答： 联结 AY，BZ，CX. 我们用𝑆△ABC来表示三角形𝐴𝐵𝐶 的面积. 由于△ 𝐴𝑌𝐵与△ 𝐴𝐵𝐶
的高相等，而底边𝐵𝑌 = 2𝐵𝐶，所以𝑆△AYB = 2𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 2.
同理
𝑆△𝐶𝐵𝑍 = 3𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 3
𝑆△𝐴𝐶𝑋 = 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1
类似地
𝑆△𝐴𝑌𝑋 = 𝑆△𝐴𝑌𝐵 = 2
𝑆△𝐵𝑌𝑍 = 2𝑆△𝐶𝐵𝑍 = 6
𝑆△𝐶𝑍𝑋 = 3𝑆△𝐴𝐶𝑋 = 3
于是
𝑆△𝑋𝑌𝑍 = 𝑆△𝐴𝐵𝐶 + 𝑆△𝐴𝑌𝐵 + 𝑆△𝐶𝐵𝑍 + 𝑆△𝐴𝐶𝑋 + 𝑆△𝐴𝑌𝑋 + 𝑆△𝐵𝑌𝑍 + 𝑆△𝐶𝑍𝑋
= 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 6 + 3
= 18
故选 E.
16. 中国正在进入老龄化社会，社区中老年人数量日渐增多. 今有五位老人的年龄互不
相同，其中年龄最大的比年龄最小的大 6 岁，已知他们的平均年龄为 85 岁，则其中年龄最大的一位老人为（ ）岁.
A.87 B.88 C.89 D.90 E.以上都不对
解答： 设这五个老人的年龄为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，且𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑒. 则
𝑒 − 𝑎 = 6，𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 85 × 5 = 425
① 因为
𝑑 ≤ 𝑒 − 1，𝑐 ≤ 𝑒 − 2，𝑏 ≤ 𝑒 − 3，𝑎 = 𝑒 − 6
所以
(𝑒 − 6) + (𝑒 − 3) + (𝑒 − 2) + (𝑒 − 1) + 𝑒 ≥ 425
𝑒 ≥ 87.4
② 因为
𝑏 ≥ 𝑎 + 1，𝑐 ≥ 𝑎 + 2，𝑑 ≥ 𝑎 + 3，𝑒 = 𝑎 + 6
𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 3) + (𝑎 + 6) ≤ 425
𝑎 ≤ 82.6
即
𝑒 = 𝑎 + 6 ≤ 88.6
所以
87.4 ≤ 𝑒 ≤ 88.6
所以
𝑒 = 88
故选B.
17. 如图，将两个正方形中心重合摆放，得到一个对称图形，已知图中两个阴影四边形的面积比是 3∶1，如果甲三角形的面积为 42，那么乙三角形的面积是（ ）.
A.22 B.22 C.23 D.24 E.以上都不对
解答： 按如图方式进行分割，不难发现𝑆甲 = 2𝑆乙 ，则𝑆乙 = 21.
故选A.
18. 将所有的奇数按下列规则排成一个三角形的数表，则在此三角形数表中第 6 行第 5
列的数是（
）.
1
3
7
13
21
31
…
5
9
15
23
33
…
11
17
25
35
…
19
27
37
…
29
39
…
41
…
A.99
…
B.101
C.103
D.105
E.以上都不对
解答： 可以观察出这个三角形数表中第 5 列的数构成一个二阶等差数列（相邻两项之
+12
+14
+16
+18
+20
差构成等差数列），即第 5 列21 → 33 → 47 → 63 → 81 → 101 ⋯，所以第 6 行第 5 列的
数是 101.
故选B.
19. 某小学举行足球比赛，共有 A，B，C，D，E 五个足球队参加，比赛规则是两两各赛一场，胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平一场两队各得 1 分. 十场球赛比完后，五个队的得分互不相同. A 队未败一场，且打败了 B 队，可 B 队得了冠军，C 队也未败一场，名次却在 D 队之后，则以下说法正确的是（ ）.
A.A 队得 6 分
B.B 队得 7 分
C.C 队得 4 分
D.D 队得 5 分
E.E 队得 2 分
解答： B 队负 A 队，平 C 队，最多得 7 分；A 队不可能胜两场，否则得分将高于 B 队，所以 A 队胜 B 队，其余三场都平，得 6 分；C 队未负一场，最少得 4 分，又 C 队名次在 D队之后，所以 D 队得 5 分，C 队得 4 分. 由 D 队得 5 分，且负 B 队，平 A、C 队，推知 D 队胜 E 队；又E 队负 B 队，平 A、C 队，所以 E 队得 2 分. 各队相互比赛得分情况见下表.
故选ABCDE.
20. 我们用(𝑥，𝑦)表示𝑥，𝑦这两数中较大的数减去较小的数所得的结果，比如：
(2，3) = (3，2) = 3 − 2 = 1，(5，5) = 5 − 5 = 0， ⋯
现将 1～2020 这 2020 个自然数分成A，B 两组(每组 1010 个数)，并把 A 组的数从小到大排列得到𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎1010 . 而将 B 组的数从大到小排列得到𝑏1 > 𝑏2 > ⋯ > 𝑏1010 .则(𝑎1，𝑏1) + (𝑎2，𝑏2) + (𝑎3，𝑏3) + ⋯ + (𝑎1009，𝑏1009) + (𝑎1010，𝑏1010)的值为（ ）.
A.1000000 B.1010025 C.1020100
D.1030225 E.4080400
解答： 首先我们来证明，1～2020 中的后 1010 个数一定不会放到一组(𝑥，𝑦)中来计算. 设 1011～2020 这 1010 个数，有𝑚个出现在 A 组，有𝑛个出现在 B 组，则𝑚 + 𝑛 = 1010.
由于A 组中的数是从小到大排列的，B 组中的数是从大到小排列的，所以 1011～2020 中的数如果出现在 A 组，其中最小的数应为𝑎1010−𝑚+1 = 𝑎1011−𝑚；这些数出现在 B 组，其中最小的数为𝑏𝑛 = 𝑏1010−𝑚. 由此可以看出，不管𝑚和𝑛怎么取值，1011～2020 中的数都不会放到一组(𝑥，𝑦)中来计算. 同理 1～1010 中的数也不会放到一组(𝑥，𝑦)中来计算. 那么每一组 (𝑥，𝑦)中，必有一个来自于 1～1010，另一个来自于 1011～2020，得到的结果必然是后一半的数减前一半的数，我们要计算的算式可以改为：(1011 + 1012 + ⋯ + 2019 + 2020) − (1 + 2 + 3 + ⋯ + 1009 + 1010) = 1010 × 1010 = 1020100.
故选C.
21. 长方形𝑂1𝑂2𝐵𝐴的宽𝐴𝑂1 = 1厘米，分别以𝑂1与𝑂2为圆心，1 厘米为半径画圆𝑂1和圆𝑂2，交线段𝑂1𝑂2于点 C 和 D，如图所示. 则四边形ABCD 的面积等于（ ）平方厘米.
1 1
A. B.1 C.1
2 2
D.2 E.以上都不对
解答： 四边形 ABCD 是个梯形，𝐴𝐵 = 𝑂1𝑂2是上底，CD 是下底. 大家都知道，梯形面
积 (上底+下底)×高
= 2 . 其中，高= 𝐴𝑂1 = 1厘米，而上底、下底未直接给出，其实图形中隐藏了
上底+下底的数量关系，
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝑂1𝑂2 + 𝐶𝐷 = (𝑂1𝐶 + 𝑂2𝐷 − 𝐶𝐷) + 𝐶𝐷 = 1 + 1 − 𝐶𝐷 + 𝐶𝐷 = 2
所以
𝑆 = (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) × 𝐴𝑂1 = 2 × 1 = 1(平方厘米)
故选B.
𝐴𝐵𝐶𝐷 2 2
22. 某天 110 指挥中心接到报警电话，得知有几位驴友被困在深山里的某个角落，马
1
上确定最优解救方案，随后消防官兵乘车立即出发. 如果行驶 2 个小时后，将车速提高 ，
5
就可比预定时间提前 30 分钟赶到；如果先按原速度行驶 80 千米，再将车速提高
1
，就可比
4
预定时间提前 40 分钟赶到，则消防官兵一共需要乘车行驶的总路程是（ ）千米.
A.210 B.220 C.230 D.240 E.以上都不对
解答： 设原来的车速为𝑣千米/小时，预定时间为𝑡小时
由第一个条件可知
两边同时除以𝑣
2𝑣 + (1 +
1
) 𝑣 × (𝑡 − 2 −
5
30
) = 𝑣𝑡 60
2 + (1 +
解得
1
) (𝑡 − 2 −
5
30
) = 𝑡 60
𝑡 = 5
由第二个条件可得
把 𝑡 = 5 代入，解得
80 + (1 +
1
) 𝑣 × (𝑡 −
4
80 40
− ) = 𝑣𝑡
𝑣 60
𝑣 = 48
所以
总路程 = 48 × 5 = 240（千米）
故选 D.
23. 一项铺路工程，如果甲队单独做 100 天可以完成，乙队单独做 150 天可以完成. 现
在两队同时施工，工作效率比单独做提高 20％，当工程完成 2 时，正好赶上新冠疫情，影
5
响施工进度，使得每天少铺 70 米，结果前后一起共用了 90 天完成这项工程. 则整个工程要铺路（ ）米.
A.6125 B.6135 C.6145 D.6155 E.以上都不对
解答： 原来甲乙合作工效
1
(
1 1
+ ) × (1 + 20%) =
100
完成前面 2 的工作量需工时
5
150
2 1
÷
50
= 20(天)
5 50
完成后面 3 的工作量需工时
5
90 − 20 = 70(天)
工作效率是
工效之差为
3
÷ 70 =
5
3
350
总工作量为
1 3
− =
50 350
4
=
350
2
175
故选A.
70 ÷
2
175
= 6125
24. 图（a）中包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么图（b）中的 I 最小是（ ）.
A.10 B.11 C.12 D.13 E.以上都不对
解答：为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A，B，C，D，E，F，G，H，I 代替
（图（b））.
经观察𝐼 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷. 题目要 I 尽可能小，最极端的想法，希望 A，B，C，D 只占 1，2，3，4. 但这会产生矛盾，因为 1 总要和 2，3，4 中的某两个实施加法，但1 + 3 = 4为 G，H，E，F 中某值，又与 A，B，C，D 中已有的 4 冲突，所以 A，B，C，D 不能是 1， 2，3，4.
那么退而求之，不妨先设𝐴 = 1，如先考虑 B，B 尽可能小最好，𝐵 = 2，从而决定了𝐸 =
3，𝐶 ≠ 3，𝐷 ≠ 3.
这样一来，C，D 只能取 4 和 5. 但如𝐶 = 4导致𝐺 = 5和𝐷 = 5冲突，而𝐶 = 5，𝐷 = 4又导致𝐺 = 𝐴 + 𝐶 = 6 和𝐻 = 𝐵 + 𝐷 = 2 + 4 = 6冲突.
在碰了钉子后，再看在𝐴 = 1设定后，不应随随便便先填 B 的值. 从结构上看，因为 B， C 地位对称，不妨先考虑 D. D 应尽可能小，最好设𝐷 = 2，B，C 至少取 3，5，若如此，由
𝐵 + 𝐷或𝐶 + 𝐷产生的 5 会与 B，C 中已有的 5 矛盾.
所以，B，C 中可能取 3，6. 从而形成了：𝐴 = 1，𝐷 = 2，B，C 取 3，6(B，C 地位对称). 这样一来其他字母所代表的值就立即推出， 不妨设𝐵 = 3，𝐶 = 6，𝐴 + 𝐵 = 𝐸 = 4；𝐶 + 𝐷 = 6 + 2 = 8 = 𝐹；𝐴 + 𝐶 = 1 + 6 = 7 = 𝐺；𝐵 = 𝐷 = 3 + 2 = 5 = 𝐻， 恰好满足
𝐸 + 𝐹 = 4 + 8 = 12 = 7；𝐺 + 𝐻 = 7 + 5 = 12 = 𝐼.
综上所述：𝐴 = 1，𝐷 = 2，𝐵 = 3，𝐶 = 6决定了其他值，且决定了𝐼 = 12，是一个较小的𝐼的值， 自然要问I 值还可能比 12 小吗？
分析I 的值有三种不同的获得方式
𝐼 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 𝐸 + 𝐹 = 𝐺 + 𝐻
3𝐼 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 + 𝐺 + 𝐻
而 8 个字母最少是代表 1，2，…，7，8 的情况
3𝐼 ≥ (1 + 2 + ⋯ + 7 + 8) = 36
𝐼 ≥ 12
现已推出了使I = 12 的一种填法，所以是最佳方案了.故选 C.
25. 一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成（ ）个部分.
A. 6 B.9 C.16 D.26 E.以上都不对
解答： 一个长方形把平面分成两部分. 第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成 2 部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成 5 部分. 同理，第二个长方形的内部至多被第一个长方形分成 5 部分. 这两个长方形有公共部分（如图(a)中，标有数字 9 的部分）. 还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成 10部分. 第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故每一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3 × 4 = 12个部分. 而第三个长方形的 4 个顶点都在前两个长方形
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