高三数学解题方法谈：三角函数最值问题.doc

三角函数的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，也是高考重点考查的内容，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用能力要求较高．同求解其他函数最值一样，解决这一类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为我们所熟知的函数（如二次函数）的最值问题．下面通过几道高考题，对三角函数的最值问题作一归纳总结．
一、转化为的形式
形如的函数可以利用辅助角公式转化成的形式，再利用正、余弦函数的有界性求得最值，不是这种类型的可通过三角恒等变换变形为这种类型．
例1　（2006年重庆理17题）设函数（其中，），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是．
（1）求的值；
（2）如果在区间上的最小值为，求的值；
解：（1）

．
依题意，得，；
（2）由（1）知．
又当时，，
故，从而在区间上的最小值，
故．
注意：（1）当自变量有范围限制时，与的范围也要相应地因受限制而缩小．
（2）要熟悉下列公式：
，
，
，
，
等等．
另外，在近几年的高考中，经常把求三角函数最值问题与向量结合起来，即在已知条件中不直接给出三角函数，而是给出几个向量，通过这几个向量的运算构造一个三角函数，再将这个三角函数转化为的类型．
例2　（2006年全国Ⅱ理17题）已知向量，，．
（1）若，求；
（2）求的最大值．
解：（1）∵，∴，
　　即，．
　　又，则．
（2）由，，
得，
当时，取得最大值，即当时，取得最大值为．
二、转化为二次函数的形式
这类问题可通过换元法，将三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题：
例3（2006年全国Ⅰ理17题）已知的三个内角，求当满足何值时取得最大值，并求出这个最大值．
解：
．
∵，∴，
∴令，则，原式可化为．
当，即，时，原式取得最大值．
求三角函数的最值，除了上面介绍的方法外，还有均值不等式法、单调性法、数形结合法等等，但这些方法在高考中相对涉及不太多，同学们在熟练掌握前两大类后可稍加留意或选择部分习题训练．