二次函数的应用复习课.docx

湘教版九年级下册中考复习内容
二次函数的应用复习课（二）
-----求利润最大化问题的教学设计
道县四马桥镇中学 蒋 鹏　
一、 学情分析：　　
知识技能基础：由简单的二次函y=x2→y=ax2→y=ax2+c→y=a(x-h)2→y＝a(x-h)2+k→y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。　　
学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。　　
二、教学任务分析　　
  “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。
具体地，本节课的教学目标是：　
　 (一)知识与技能　　
1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。　　
    (二)过程与方法　　
    经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力、体验数学建模的思想.
　 (三)情感态度与价值观　　
    1、让学生体会到体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。　
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。　　
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。　　
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
三、教学方法与手段的选择 ：
由于本节课是应用问题，重在通过复习总结解决问题的方法，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。　
三、教学过程分析　　
本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。　　
（一）、复习回顾　　
1、复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。　
2、复习二次函数的三种表达式：　①一般式：（a≠0）
②顶点式：（a≠0）
③交点式　（a≠0）
3、复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额　　
设计意图：巩固已学知识，为新课的探究做好铺垫。
（二）、创设问题情境，引入新课　　
聚焦中考典型例题解析：（有关利润的问题）　　
例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如果调整价格，每涨价1元，每星期少卖10件，每降价1元。每星期多卖18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能获得最大利润？　　
讨论涨价与降价都有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？　
　　1涨价情况下最大利润是多少？
想一想：若每件涨价x元则此商品
(1)每件利润为             元。
(2)每星期销售额可以表示为             ；　　
(3)所获利润可以表示为           ；　　
(4)当销售单价是       元时，可以获得最大利润，最大利润是       。　　这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来。　　
设每星期所获利润为y元，则：
y=（60-40+x ）(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。
当x=5时y的最大值是6250　　　　
即当在涨价情况下，涨价5元，定价65元时，每星期所获利润最大，最大利润是6250元。
2、在降价情况下，最大利润又是多少？
我们用类似的方法进行分析：
设每件降价x元，所获利润为y元，则有：
y=（60-40-x ）(300+18x)=-18(x-5/3)2+6050
所以，当x=5/3时，y的最大值为6050.
即在降价情况下，降价5/3元，定价175/3元时，利润最大，最大利润是6050元。
设计意图：　　
通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容。
（三）合灵活运用 自主探究：
例2、已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？
列表分析1:总售价-总进价=总利润
设每件涨价x元，则每件售价为（60+x)元
总售价=单件售价×数量
总进价=单件进价×数量
利润
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
6000
列表分析2:总利润=单件利润×数量
总利润=单件利润×数量
利润
(60-40+x)(300-10x)
6000
请同学们继续完成！
（三） 、归纳点拨：
求最利润最值应用问题的一般步骤是：
1、 建模，列出函数的表达式；
2、 确定函数自变量的取值范围；
3、 最值，在自变量取值范围内，用点顶值（端点值）求出最大值（最小值）。
（四） 巩固练习　　　　
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？　　
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则　　
    y=(x-20)[400-20(x-30)]　　
    ＝-20x2+1400x-20000　　
    ＝-20(x-35)2+4500。　　
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．　　
（五）、课堂小结　
  本节课经历了探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。　本节所学思想方法：建立函数关系，用函数的观点、思想分析实际问题。　
（五） 、课后作业　
　1 、某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件。现采用提高售价、减少进货量的办法增加利润。已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为每件多少元时，才能使每天所赚利润最大？并求出最大利润
2 、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是多少个？（用含x的代数式表示）。
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
设计理念
本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、探索、交流”等过 程，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能 力。学生在活动中可以体验到分析数学问题的快乐，丰富数学活动的经历和 积累数学分析的经验；学生在“自主探究”、“合作交流”、“勇于尝试”中可以 体验到知识的深化和成功的喜悦；学生在“合作与交流”中提升自我的价值。在教材处理上，我对教学内容进行了合理的加工和改进，使教学符合学生的 认知规律。本节教学过程，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、 自主探索、合作交流 ” 的《数学新课标》要求。本设计同时还注重发挥多媒 体的辅助作用，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计， 让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学。