数学初等几何类论文.doc

苏州科技学院本科生毕业论文

初等几何问题的证题法研究

摘 要
初等几何的证题法的研究是初等几何问题研究的一个重要的课题。初等几何的证题法千变万化，考虑的角度不同，所得的证明方法也就各有不同。古代埃及丰富的几何知识的积累，一经与古希腊形式逻辑相结合，便使几何学成了最早成熟的科学典范。在这里起作用的是严格的逻辑证明。只有经过严格的逻辑证明，才能使我们观察到的事物之间的联系，上升为理论并得到广泛的运用。本文就初等几何中的一些基本的几何证题法、解几何证明题的一些基本步骤以及一些常用的解几何证明题的方法进行探讨，以期望对初等几何的证题法有一个深入的认识

关键词：初等几何；证题法；解题步骤；常用方法

The evidence elementary geometry problems method research
Abstract

The evidence elementary geometry method of the research is an important hot topic in the field of elementary geometry problems.The evidence elementary geometry method is protean, considering different angles, proof of income method can vary. In ancient Egypt the accumulation of knowledge of geometry, once combined with formal logic in ancient Greece, and made the earliest mature science out of geometry model. Here is the strict logical proof Only through strict logical proof, can we observe the connection between things, to rise to the theory and widely used In this paper, some of the basic method of the geometry of the elementary geometry solving geometry proving some of the basic steps, and some of the most common methods of solving geometric certificate carries on the discussion, to expect that the evidence of elementary geometry method have a deep understanding.

Keywords elementary geometry; Evidence law; The problem solving steps; Commonly used method

1

目 录
第1章 绪论 1
1.1 引言 1
1.2 相关知识简介 1
第2章初等几何证题时思路及其解题步骤 2
2.1 初等几何证明题中有关命题的研究 2
2.2 解证明题的步骤 3
第3章初等几何证题时的常用方法 4
3.1综合法 4
3.2 分析法 6
3.3反证法 7
3.4面积法 12
第4章 几种问题的证明方法
4.1线段和角相等
4.2平行与垂直
4.3两直线平行
4.4点共线与线共点的问题
4.5点共圆与圆共点
结 论 19
致 谢 20
参 考 文 献 21
附录X 译文 22
附录Y 外文原文 24

第一章 绪论

1.1 引言
随着时间迈入21世纪的 步伐，我国进入了一个全新的电子信息化时代。在日新月异的今天，几何学的研究应用对国家经济、文化、信息产业的贡献越来越大。在现如今的大中学校教育中，数学作为一门比较抽象化的学科，学生普遍表示学习难度较大。作为数学的一个分支，几何学以形象思维为主，具有较强的直观效果，对学生认识事物有较大的提益，所以在学习几何的同时，培养这种思维方式也极其重要。

初等几何的证题法是初等几何主要研究的一方面。历史证明，如果仅仅是经验积累是远远无法成为理论的，只有经过严格的逻辑证明，才能使我们从表在联系内在，从偶然发现必然，通过自我的能动性，抓住客观事物本质，上升为理论，从而得到普遍性规律性的结果，使其具有广泛的应用性。

在这篇论文中我将着重研究初等几何的集中关键证题法以及他们在数学研究以及教育里的作用，如何去引导学生爱上几何，发现隐藏在数学里的几何美。

1.2 相关知识简介

几何是明代徐光启翻译《几何原本》时，将Geometry一词译为几何学，从其音译而来。在公元七世纪以前，几何都是用于一些生活劳动中具体问题的解答，其后当这些知识积累到一定程度的时候经过系统的整理，便开始出现了几何学。初等几何的证题法千变万化，考虑的角度不同，所得的证明方法也就各有千秋。就像宋代诗人苏东坡所说横看成岭侧成峰，远近高低各不同。一般而言几何的证题法可以分为常规性方法和特征性方法。化归法、分析法、综合法、设想法、反证法、数学归纳法、解析法等属于常规性方法。特征性方法包括割补法、面积法、复数法、向量法、几何变换法、射影法、物理模拟法、构造法等。面对同一道几何证明题，看问题的角度不同，学习知识的深度不同，往往会演绎出多种证题方法。

第二章 初等几何证题时思路及其解题步骤
2.1 初等几何证明题中有关命题的研究

在研究初等几何证题法时我们首先要研究命题的概念。我们所接触过的定义、公理、定理等都是命题。命题可以分为两部分，前提或者假设属于他的第一部分而结论则是第二部分。前面的代表我们的已知条件，而后面的则是我们由前者得出的结论。我们以后所接触的几何证明都是根据由命题所得的定义、公理、定理通过一系列逻辑推理证明得出的。一个命题可以经过换位得出四个命题我们分别把他们归类为：
（1）原命题：若则 （2）逆命题：若则 （3）否命题：若非则非 （4）逆否命题：若非则非
例1：（1）原命题：菱形的对角线互相垂直 （真）
（2）逆命题：若四边形的对角线互相垂直，那么他是菱形。 （假）
（3）否命题：若四边形不是菱形，那么它的对角线不互相垂直。 （假）
（4）逆否命题：若四边形的对角线不互相垂直，那么他不是菱形。 （真）
上面的例题中（1）（2）互为逆命题（1）（3）互为否命题（1）（4）互为逆否命题（2）（3）也互为逆否命题。
同时我们得出以下结论：（1）若原命题为真，那么它的逆命题，否命题未必为真。
（2）互为逆否的两个命题，若真则同真，若假则同假。

2.2 解证明题的步骤

解证明题的步骤主要可以分为三步：

分析 遇到较为困难而不能一下子找出证明方法的问题是，我们常假定结论成立，研究结论与条件所存在的关联，从而得出证明的线索，这就是分析的方法，是解决问题的重要的一步。
证法 根据分析的线索，按照所给出的已知条件，利用已知条件证明。
证明 写出证明过程。

在解答证明题时，我们一定要确切理解题意，题目给了我们什么条件，要我们得出什么结论并且在初学时就要求我们简洁，明白的写出证明过程。只有这样我们才会知道从哪里出发，到哪里去，然后才能谈得上去证明。
第三章 初等几何证题时的常用方法

3.1 综合法

在遇到一道几何证明题时，我们的推理路径从已知条件开始，一步步推导出结论，这种方法就是综合法。综合法相对于其他几何证题法而言，它的优点在于叙述比较简单明了，比较容易使人理解。而他的缺点则在于，我们在进行推理的过程中，会遇到很多支路，往往在这些之路面前我们可以应用的定理也会有很多，往往使人眼花缭乱，难以抉择。
例1：已知平行四边形外接于平行四边形证明其对角线共点
`
我们用综合法来证明这道题，我们设和的交点是点，由平行四边形的有关性质可以得到点是的中点。有已知条件我们可以得知，，有三角形的全等条件我们可以得知，由全等可以得到AE=CG，AH=CF，我们可以得到AE与GC平行相等，即AECG是平行四边形，所以互相平分，所以通过中点，可证。
点评：由上面这道例题我们可以了解到综合法就是充分利用已知条件，结合我们所学过的知识，通过推理可以逐步得证。
例2：已知，。求证△ABC是等腰三角形。

证明：延长到使，连接AE。已知，所以，所以，由三角形的全等判定条件可以得知，所以，。在中，，可以得到是等边三角形，所以，即是等腰三角形。
3.2 分析法
分析法是由结论起手，在承认结论是正确的基础上，由果索因，寻求结论正确时的所需条件，就这样一步步逆推，最后与假设会和，从而得到证题思路。分析法首先认定结论的正确性，倒推而上，容易在推理过程中启发解题思路，从而得到推理依据。我们经常运用分析法来得到思路然后运用综合法来写出证题过程。
例1：证明等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和是常量。
：
证1：我们设是等腰三角形底边上任意一点，已知，，我们所要证明的就是之和是一个常量。我们先取一个特殊点，若点在点的位置那么我们所求的距离之和就变成了，如果结论成立，那么我们就要证明，我们在上取一点使，同时做，因为是一个矩形，所以我们可以得到，接下来我们只要求证，我们只要求证，这很容易求证。所以当我们在证明的时候，做完辅助线，先求证，然后得到，再证明，就可以得证。
点评：这是分析法与综合法的一次完美的配合应用，应用分析法来寻找解题思路，然后综合法来写出解题过程，这是初等几何证题法中的一个非常常见的方法。

证2：延长到点，使，根据上题可知只要证明，此时根据条件可知是一个矩形，那么问题就可得证。那么我们就只要证，也就是证明，只要证明，此时已知，，那么整道题就可以得证了。
3.3 反证法
反证法：欲证明命题的结论，我们可以从结论的否定出发，经过合理的推理论证，导出与命题的条件或几何中的定理，公理相矛盾的结论，从而说明结论的否定是错误的，而原命题的结论是正确的。
例1证明：等腰三角形的底角必为锐角。

思考方法：按照反证法的证题步骤，我们首先要否定结论，也就是否定两底角为锐角，设他的对立面两底角是直角或者钝角成立，从这个假设出发，推出矛盾。
证明：假设，为直角或者钝角，那么
∵
∴
这与三角形内角和为180°矛盾，所以假设不成立，所以等腰三角形底角一定是锐角。
例2 已知圆的两条弦，相交于，且，不是直径。求证，必不能平分。　

思考方法：首先确定，CD不能互相平分的反面是能互相平分，假设反面成立进行逆推，找出矛盾，否定假设。
证明：连接，
假设互相平分，那么是平行四边形
∴
∵
∴
∵
所以
∴是圆的直径与题意不符得证
3.4 面积法
人们在很久以前就开始用面积在证明几何命题与认识几何性质。我们在求解初等几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面积比来表示有关几何量或者其比，从而把需要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，我们称之为面积法。
下面是我们在运用面积法证题时常用到的几个公式，等积变形定理和面积比定理：
（1） 假设在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a,b,c，Ha是a边上的高，R是他的外接圆半径，r是他的内切圆半径，p=½（a+b+c）,那么
1. = 2.
3. 4.
5. 6.
（2）在凸四边形中，边长分别为两对角线长为两对角线夹角为，,那么
1. 2.
3. 4.
（3） 面积分割原理：一个图形的面积等于他的各部分面积和
（4） 两个全等图形的面积相等
（5） 等底等高的两个三角形面积相等
（6） 两个相似图形面积比等于其相似比的平方
（7） 两个等底的三角形（或平行四边形）的面积比等于底边上对应高的比
（8） 两个等底的三角形（或平行四边形）的面积比等于他们底边的比
（9） 夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果截得的两条线段之比总等于一个常数，那么这两个图形的面积之比是
（10） 内接于等圆的两个三角形的面积比等于三边乘积的比
例：在等腰直角中，，，点为腰的中点，点在底边上，且。求的面积。

解：过点作与EF的延长线交于D。因为，且，所以，所以。于是，，且，又因为，那么是的平分线，所以到CD和CE的距离相等，则
所以

第四章 几种问题的证明方法
4.1 线段和角相等
我们在平常所遇到的证明线段和角相等的方法有很多，我们最常见的有以下几种：
（1） 利用全等三角形的性质，只要寻找或者构建两个三角形全等，使它们含有我们所需要求证的线段或者角，证明着两个三角形全等。
（2） 利用等腰三角形的性质，将所需要求证的两条线段化成一个三角形的两条边，两条边上的中线，高线或者角平分线从而去证明两边所对应的角相等；将两段化为被三角形的高线或者角平分线所分，且在同一边上的两条线段，从而证另外的两条边相等；将相等的两个角化成一个三角形里面的两个角证明对边相等，线段相等和角度相等的证明互化大多是借助等腰三角形的。
（3） 利用平行四边形等特殊的多边形，化所需要求证两条线段或者角为四边形或者多边形的对边或者对角从而求证这四边形是平行四边形或者特殊四边形；化两条线段是四边形的对角线被另外一对角线所截得两段从而证明四边形是平行四边形。
（4） 我们可以利用三角形的内角，外角平分线性质和他的逆定理，利用相似三角形或者平行性质可以得到比例式从而求证两条线段相等。或者证明两条线段的比等于他们的反比，或者证明两条线段和同一条线段等比，或者已知的两条线段各有等比。
（5） 利用三角形的面积关系来求证：两个面积相等的三角形1.若是两个三角形的底边相同，那么他们的高也相等，反之也成立2.如果两条对应边的乘积相同的话，那么他们的夹角对应相等或者互补。
（6） 圆里面的等量的利用：1等同心角对应的弧，弦，弦心距相等，反之也成立2.垂直于弦的直径分弦为两条相等的线段3.相交的两个圆的连心线平分他们的公共弦4.圆外的一点到到圆的两条切线长相等5.两个圆的内外公切线的长度相同6.同弧对应的圆周角相等，等圆周角对等弦7.圆的内接四边形的外角等于他的内对角8.弦切角和所夹得圆周角相等
（7） 我们可以利用等量公理，先证明所要求证的这两条线段和已知的两条线段有相同的数量关系；或者证明两条线段各与第三条线段有相同的数量关系；角也相同
（8） 利用边角关系去计算，比如正弦定理或者余弦定理等
（9） 通过计算或者代换等转换途径去求解
（10） 通过几何变换如平移，反射，旋转等。
4.2平行与垂直
证明两条直线或线段垂直的常见思路有：
（1） 利用两条直线垂直的定义或者判定定理，比如比如垂直于两条平行线中的一条必定平行于另一条；相交得到的邻补角相等的两条直线平行。
（2） 两边对应垂直的相似三角形的第三条边垂直。
（3） 我们可以利用直角三角形的判定定理，比如勾股定理的逆定理来求证两条边垂直；证明三角形一边上的中线是该边的一半两边垂直。
（4） 利用等腰三角形的性质，顶角平分线或者底边中线与底边垂直，利用菱形的对角线互相垂直，利用三角形的垂心性质。
（5） 利用圆的有关性质：比如半圆上的圆周角是直角或者过圆的弦中点的直线垂直于弦，两个相交圆的连心线垂直于他们的公共弦。
（6） 利用一条线段的两端到另一条线段的两端距离的平方差相等时，这两条线段垂直，这是这是通过计算来证明垂直的重要途径。
（7） 利用几何变换来证明两线垂直。
4.3证明两直线平行的常见思路
（1） 我们可以利用平行线的基本判定定理：同位角相等或者内错角相等或者同旁内角互补的时候两条直线平行；平行或者垂直于同一条直线的两条直线平行。
（2） 我们可以利用三角形或者梯形的中位线性质定理。
（3） 利用平行四边形的性质。
（4） 利用平行线截得的比例线段定理的逆定理。
（5） 利用相同底相同面积的两个三角形的底边和另外两个对应点的连线平行。
（6） 利用圆里面夹等弧的不相交的两个弦或者一顶一切线平行；过相交或者相切的两个圆的交点的两条割线交这两个圆于四个点，同一个圆上的两点所形成的弦平行。
（7） 利用几何的变换证明两条直线平行
例1：平分，，，求证。

证明：延长交与，已知平分,且，即，那么。
又因为，所以是三角形的中位线，所以。
例2：在正方形中，是的中点，与交于点，求证：。
证明：假设与相交于点。在直角三角形和直角三角形中，因为，所以直角三角形直角三角形，于是。
又在和里，因为，，是公共边，所以我们可以得到，，所以，从而我们可以得到。所以，也就是我们所需要求证的。
4.4 点共线与线共点的问题
证明三个点共线的常见思路有以下几种：
（1） 适当的选取一条通过三点钟的一点的直线，如当点为x时直线为,并且连接,当两点位于的同一侧时，那么证明或者；当两点在的同一侧的时候，那么只要证明
（2） 利用平行或者垂直，比如证明平行或者垂直于同一直线。
（3） 证明三个点在某个一定的直线上；证明两点的连线和某个定直线的交点是第三个点。
（4） 证明三个点两两连接的线段存在和差关系，或者三个点所组成的三角形的面积为零。
（5） 证明得到其中一点是对称或者位移中心，其他的两个点是对称或者位似图形的一双对应点。
（6） 利用梅涅劳斯定理的逆定理，或者斯特瓦尔特定理的逆定理，或者张角定理的逆定理；利用西姆松定理，欧拉定理等。
（7） 还可以采用反证法等其他方法。
证明三条直线共点的思路有：
（1） 化线共点为点共线问题，即证明三条直线中的两条直线的交点和第三条直线上的两个点共线。
（2） 证明两条直线的交点必定在第三条直线上面。
（3） 证明构成三角形的巧合点（外心，内心，重心，垂心，旁心等）利用这些共线点的结论。
（4） 利用赛瓦定理的逆定理。
（5） 利用对称或者位似图形上面的对应点的连线共点于对称或者位似中心。
（6） 利用根心定理，即圆心不共线的三圆两两相交或者相切，他们的公共弦或者公共切线所在的直线共点。
例1：圆，圆外切于点，它们的直径分别为，以的中点作为圆心，以小于的长度为半径画圆分别交圆，圆于点。求证三点共线。
证明：连接，由知道。又因为,,那么，从而可以得到，也就是。因为和都是等腰三角形，而且他们的顶角相等，那么底角.于是和在同一条直线上面，所以三点共线。
例2：证明连接四边形的对边的中点的两条线和连接对角线的中点的线段相交于一点，而且被这个点平分。

证明：如上图，假设在四边形中分别是的中点。很明显可以看出四边形MENF是平行四边形，那么互相平分于点。又因为四边形是平行四边形，那么也互相平分与点。所以，三线共点于点而且都被点所平分。
4.5点共圆与圆共点的问题：
证明点共圆的方法一般有：
（1） 利用圆的定义，证明各个点都和某一个定点的距离相等。
（2） 证明连接各点所得的凸多边形和某一个圆内接凸多边形相似。
（3） 如果各个点都在某两个点所在的直线的两侧，而且各个点对这两个点都张等角，那么这些点共圆。。
（4） 如果凸四边形的对角互补或者一个外角等于内对角，那么凸四边形的四个顶点共圆。
（5） 利用相交弦，切割线，个线定理的逆定理去证明四点共圆。
（6） 利用托勒密定理的逆定理，或者西姆松定理的逆定理来证明四点共圆。
（7） 证明五点或者五点以上的点共圆，可以分别证明各四点共圆，而且四点里面有三个点相同。
关于圆共点的解题思路通常有以下几种：
（1） 证明几个点共圆，先确定可能共的点，然后利用共圆的证明方法，分别证明这个点在各个圆上，从而将圆共点转化为点共圆的问题证明。
（2） 证明这其中某两个圆的同一个交点在其他各圆上。
（3） 证明各个圆都经过同一个特殊点或者是某一个点。
例1：设是中的一点，线段和都是的中点，求证：的外接圆共点。
证明：因为分别和关于点中心对称，所以，
假设是的外接圆的交点（不同于），那么因为圆内接四边形的外角等于他的内对角即，于是从而可以得到也在的外接圆上面，同理可得也在的外接圆上面，于是四个三角形的外接圆共点。

结 论
在这篇论文的撰写过程中，由于我的知识有限遇到了很多的困难，但同样也学习到了很多东西。从收集、查找论文的相关资料文献到撰写论文，再到整理论文。这个过程让我感受到焕然一新的感觉，取得了很大的进步。
通过对本文的撰写，我更加坚定了自己要成为一名光荣的人民教师的理想，努力将自己所知、所学、所感、所悟传递给每一位学生。同时也相信通过自己的不断努力，一定可以将知识变得越来越丰富。现在对这段时间的论文撰写情况作一个总结，并分享一下一些感受。
通过撰写本文，不仅让我对初等几何的相关知识有更深入的了解，也让我更进一步认识到高等几何对初等几何的指导作用，并从初等几何证题方法中看到初等几何更深的含义。
高等几何和初等几何是数学专业的重要的基础理论课程。高等几何的涵义较为广泛，现在我国开设的高等几何课内容上基本以射影几何为主，同时兼顾其它，方法上则采用代数法和综合法兼容并侧重代数方法。旨在使学生系统地接受射影几何（主要是实射影平面几何）的基本知识，了解射影空间的基本特性、研究方法以及几何学的本质，深化了对几何空间概念的认识，从更高层面上了解了几何学的本质，发展了几何空间的概念，更深入地掌握初等几何的内涵和外延。通过对高等几何和初等几何的学习，我们认识到了高等几何与初等几何的内在联系，拓宽对于几何学的眼界，认识到初等几何在几何学中的地位，有助于我们从全局与整体的方面来认识和分析初等几何，对初等几何中的许多问题也有了透彻的理解，减少在以后教学中的盲目性，避免了一些错误的发生。
掌握了高等几何和初等几何，在以后任教进行备课、答疑和编造习题时都能以高等几何为背景，来丰富几何题的多样性。此外，也为日后注重培养学生的空间思维能力和创新能力提供了方法论的指导。在以后的教学我们就可以引导学生进行多层次的思维，从而达到培养学生能力，发展学生的智力的目的。

致 谢
在毕业论文完成之际，我要感谢学校和学院对我几年来的培养，感谢关心和帮助我的所有同学和老师。特别感谢本次论文撰写过程中指导老师王艳明老师对我的细心关心和指导，王老师让我更加自信，更加努力，让我在论文的撰写过程中学到了更多知识，学到了很多。在此，我向王老师表示深深的谢意，谢谢您！

参 考 文 献
[1]．朱德祥，朱维宗等. 初等数学研究[M]. 北京:高等教育出版社, 2005.
[2]. 李仲来. 几何与数理逻辑[M]. 北京:北京师范大学出版社, 2007.
[3]. 胡国权. 几何与代数导引[M]. 北京:科学出版社, 2006.
[4]．王家铧, 沈文选等.几何课程研究[M]. 北京:科学出版社,2006.
[5]．郑崇友. 几何学引论[M]. 北京:高等教育出版社,2005.
[6]．于祖焕. 几何基础[M]. 北京:中央广播电视大学出版社, 2002.
[7]. 栗竹林. 几何系列题研究及证法[M]. 沈阳:东北工学院出版社, 1988.
[8]. [法] 古斯塔夫.肖盖. 几何教学[M].北京:北京师范大学出版社, 1984.

附录X 译文

初等几何分为不同的几何范式

凯瑟琳·韩德蒙特、阿兰·库斯尼卡

近些年来，我们已经形成了一个关于几何教学方面的科学的调查研究，尤其是对职前教师。本研究是基于特定的理论框架。我们选择给出一些框架中的基本原理并且我们希望呈现更加一致的我们工作小组在实证研究中的例子。由于我们初等几何主要可以分为三个不同的范式:自然几何(几何I),自然公理的几何(几何II)和固定公理的几何(几何III)。我们可以得到一个关于我们目前在教师培训研究中的综述。
学生在他们的学习生涯中面对着不同的数学世界,至少有一个代数世界和一个几何世界。在代数世界中,对象(例如数字)是由“抽象的符号”(并列的数),而不涉及它们实际引用的数量。相比之下,在几何世界中的客体表征经常保持空间可比性。事实上,从E.Fischbein用概念“图形概念”来描述一个真实的空间对象之后，我们还有很长的路要走。
众所周知的研究者,像Van Hiele(1986)，他们基于一个关于图形和处理概念的发展和进程的几何教学方法。学生一起来从全球和感知方法的结构方式来看几何。这种发展的关键一点是外观演绎,这就使得几何从“看来知道”产生了过渡。(Parzysz 1988)
对于我们来说,这种几何方法在很大程度上是正确的,但它又过于严格线性和意义明确了，尤其是当我们想要理解想要成为老师的成年人们的障碍更觉如此。事实上,在Bachelard和Koyre之后,一些思想家开展了一场关于科学中的概念的平静的变革，当然也包括数学领域。这种关于这些历史思想的矛盾观点在Kuhn的著作中达到了一种高潮。对于他来说，那是用新范式取代旧范式的科学的革命。我们保留和发展这个关于初等几何中不同范式的观点。出示之前这些范例,让我们从一个示例开始。
在诺曼底，一个问题呈现在这些想成为小学教师而参加职前教师考试的学生的面前，他们完成了大学学业但不一定要是在数学方面的。在这个考试中给出由CABRI制作出的图形，候选者必须利用尺规在一张白纸上画出这个图形。
没有给出明确的假设，在不同的测试中，学生们必须自己发现需要的属性来构造图形。问题要求对图形立即有一个敏锐的分析，根据对它最初意义的直觉:对一个视觉对象的理解。这种直觉与一个第一类型的几何对象有关，它依赖于个人进行分析的知识。

附录Y 外文原文

ELEMENTARY GEOMETRY
SPLIT INTO DIFFERENT GEOMETRICAL PARADIGMS

Catherine Houdement and Alain Kuzniak

Since several years, we have developed a scientific investigation on the teaching of Geometry, especially for pre-service teachers. This research is based on a specific theoretical frame. We have chosen to give some elements of our frame and we hope to present more consistent examples of our empirical studies during the working group. For us elementary geometry appears to be split into three various paradigms: natural geometry (Geometry I), natural axiomatic geometry (Geometry II) and formalist axiomatic geometry (Geometry III).We obtain a synthesis that we currently study in teachers training.
During their school career, students are faced with different mathematical worlds, at least with a numerical one and a geometrical one. In the numerical world, the objects (e.g. the numbers) are represented by “abstract signs” (juxtaposition of digits), that do not evoke the quantity they refer to. In contrast to this, in the geometrical world representations of objects often remain spatial objets. And in fact, the way is very long from a real spatial object to the notion of “figural concept” described by E. Fischbein (1993).
Well known researchers, like van Hiele (1986), have based a pedagogical approach to Geometry upon the development of the conception of the figure and of its processing. Students come along from a global and perceptive approach to a structural way to see Geometry. The crucial point of this development is the appearance of deduction, which allows the transition from “seeing to knowing” (Parzysz 1988).
For us, this way to Geometry is to a great extent correct but too strictly linear and univocal especially if we want to understand the obstacles met by adults who want to become teachers. Indeed, after Bachelard1 and Koyré2, several thinkers have shown the illusion of a peaceful evolution of scientific concepts even in mathematics. A kind of culmination of this conflicting view of the history of the ideas is reached with Kuhn’s works. For him, there are scientific revolutions that replace the old paradigms with new ones3.We retain and develop this idea of different paradigms for Elementary Geometry. Before presenting these paradigms, let us begin with an example.
The problem was given to students in a pre-service teachers exam in Normandy.These students wish to become teachers in primary school; they have finished university studies but not necessarily in mathematics.The drawing given during the exam is made with CABRI and the candidates must draw the figure with ruler and compass on white paper.
No hypotheses are explicitly given; students must find properties needed for the construction at different scale. Immediately the problem requests a perceptive analysis of the drawing, based upon the intuition in its first meaning: apprehension of an object by vision. This intuition is related to a first typology of the geometrical objects depending on knowledge of the individual who proceeds to the analysis.