压轴题：几何旋转.doc

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1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

2、如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

3、如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在相似关系，请说明理由；
（2）如图2，设∠ABP＝β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α＝60°时，点E、F与点B重合．已知AB＝4，设DP＝x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．

图1
A
B
C
F
D
P
E
A1
B1

图3
A
B
C
D
P
A1
B1
图2
A
B
C
F
D
P
E
A1
B1

4、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图1，当AB∥CB′ 时，设A′B′ 与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；
（2）如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S△ACA′ 和S△BCB′ ．
求证：S△ACA′ : S△BCB′ ＝1 : 3；
（3）如图3，设AC中点为E，A′B′ 中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝__________°时，EP长度最大，最大值为__________．

A
B
C
A′
B′
θ
图2
A
B
C
A′
B′
θ
图3
E
P
A
B
C
D
A′
B′
θ
图1

3