梯度神经网络的设计及其应用.doc

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本科生毕业设计

题 目：
梯度神经网络的设计及其应用
作 者：

学 号：

所属学院：
信息科学与工程学院
专业年级：

指导教师：

职 称：

完成时间：
2015年5月23日

吉首大学教务处制

目 录
摘 要 I
Abstract II
第1章 绪 论 1
1.1 梯度神经网络研究的背景和目的 1
1.2 国内外研究现状 1
1.3 本文的研究内容和设计结构 2
第2章 梯度神经的设计过程 3
2.1 MATLAB技术背景 3
2.1.1 基本介绍 3
2.2 梯度神经设计和基本模型 4
第3章 梯度神经网络的应用 6
3.1 梯度神经的网络应用 6
第4章 梯度神经网络的仿真验证 7
4.1 仿真设计 7
4.2举例仿真 7
结 语 22
参考文献 23
附 录 24
致 谢 28

梯度神经网络的设计及其应用
摘 要
神经网络是一种模拟生物神经网络结构进行信息处理的数学模型，在图像恢复，信号处理，机器人逆运动学等领域有广泛应用。近年来，随着对神经动力学方法的大力研究，已开发了基于梯度方法的各种神经动力学模型。在线求解次方根是非线性方程求解的一种重要的特殊情况,广泛应用在科学和工程领域当中。在本文中,首先设计针对一般问题求解的梯度神经网络模型;其次,为了求解次方根,定义一个基于平方的标量取值的能量函数，再根据梯度下降法,进一步推导出求解次方根的梯度神经网络模型。最后使用MATLAB仿真软件进行建模、仿真和验证:计算机仿真实例以及它们的仿真结果，证明了梯度神经网络求解求解次方根的有效性。
关键词：梯度神经网络；次方根 ；MATLAB
Design of gradient neural network its and application
Abstract
Neural network is a kind of simulation mathematical model for information processing of biological neural network structure, and has a wide range of applications in the image restoration, signal processing, the inverse kinematics, and other fields have. In recent years, with the neural dynamics method to study, various neural dynamics model based on gradient method have been developed. Online solution of the pth root is a kind of important special case of nonlinear equation solving, which is widely used in the field of science and engineering. In this paper, a general gradient neural network is first designed for solving the common problem. In addition, in order to find thepth root, a scalar-valued square-based energy function is first defined. Then, according to the gradient descent method, a gradient-neural-network model is further derived for finding thepth root. Finally, the MATLAB software is used for modeling, simulation, and verification. Computer-simulation examples and their simulative results.
substantiate the effectiveness of the gradient neural network for finding thepth root
Key words: Gradient Neural Network; pth Root; MATLAB Simulation
27

第1章 绪 论
1.1 梯度神经网络研究的背景和目的
1．1.1神经网络简介
神经网络[1-10]有着广泛的前景，分布在系统辨识、模式识别、智能控制等领域。在智能控制中，人们把对神经网络自学习功能这一特点，认为是是解决自动控制中控制器适应能力的关键之一。通过模拟人类实际神经网络的数学方法，我们把这种通过模拟人类实际神经网络的数学方法称为神经网络。
目前广泛应用的神经网络是由大量的简单元件连接而成的，用来模拟人脑复杂行为的一种网络信息处理系统。通过模拟大脑反映人脑的许多基本特性，如良好的容错性与联想记忆功能、自组织性和很强的学习能力，表现出良好的智能特性，随着对生物脑的深入了解，人工神经网络汲取了生物神经网络的许多优点特性，获得了长久的发展，具有了高度的非线性，能够进行复杂的逻辑操作和非线性关系实现，涉及很多工程领域。
神经网络是由许多的、简单的处理单元广泛地互相连接而形成的复杂网络系统，它反映了人脑功能的许多基本特征。梯度神经网络是由若干个非线性神经元构成的全连接型的人工神经网络，其中，任何一个神经元既接受来自于其他神经元的输入，同时也对其他神经元输出信号。梯度神经网络构成的是具有反馈的系统，输出可以返回来调节输入，从而建立动态关系。因此，也可将的神经网络看作是以权值和外部输入为参数的，关于内部状态的一个动力学系统。我们将提出一类梯度神经网络来实现求解静态次方根方程问题，为了方便理解，我们把建立梯度神经网络模型的过程定义为神经动力学设计方法。梯度算法是一种简单又常用的常用的神经网络训练算法。在本章中，介绍了此次研究课题背景和意义，然后叙述了国内外发展现状及趋势，最后阐述了研究设计方法。
1.2 国内外研究现状
求解次方根是求解静态问题中的一个重要的情况，应用在各种科学与工程领域中。通过求解次方根，一幅图可以在Torelli群中被描述出来；再如Harris图像可以从其原图像的次方根中提炼到得到。因此，很多的数值算法被提出来求解这样一类次方根问题。由于对神经网络的深入研究，许多基于神经动力学的模拟求解器也被广泛提出来。考虑到潜在的大规模电路实现和高性能并行处理能力，神经动力学方法已经被认为是一种强有力的实时问题求解方法。目前，许多已经报导非常受欢迎的计算方案都是基于梯度设计方法。而我们知道，这些数值算法和梯度神经网络理论上都是用来求解静态次方根，即。

1.3 本文的研究内容和设计结构
1.3.1研究内容

在求解次方根问题被认为是非线性方程求解的一种重要的情况，并应用于科学与工程领域中。如通过求解次方根，一幅图可以在Torelli中被描述出来；再如Harris图像可以从其原版图像的次方根当中得知。因此，许多相关的数值算法被提出来求解这样一类次方根问题。而且，对于神经网络的深入研究，许多相关的数值算法被提出来求解这一类的次方根问题。而且，对于神经网络的深入研究，许多基于神经动力学的模拟求解器也被广泛提出。

1.3.2设计方法

梯度神经网络应用设计通过使用MATLAB软件，结合神经网络工具箱，在介绍神经网络中的各种类型以及训练过程的基础上，利用MATLAB工具箱进行梯度神经网络的设计及其应用。各种梯度神经网络在不同应用时的网络性能分析与直观的图形结果，能更加透彻地分析各种神经网络的性能和优缺点，从而可以正确、合理和充分应用神经网络。在实际应用中，面对一个具体的应用问题，首先要分析用神经网络方法求解问题，根据问题特点，确立网络模型。最后通过网络仿真分析，确定网络是否适合。是否需要修改，来设计研究出功能更好，更有效的神经网络和神经网络应用的成果[11-20]。

作者首先进行梯度神经网络的开发背景概述，并大概介绍国内外现状，然后进行梯度神经网络设计，最后论述设计的仿真验证，根据文章管理模块的功能需要，
本文共分为四章，组织结构如下:
1)第1章介绍了梯度神经网络的开发背景；介绍了梯度神经网络的国内外研究的现状和未来的深入发展。简述作者在梯度神经网络的设计工作内容，给出论文的层次结构。
2)第2章分析了梯度神经网络的的技术背景和基本模型。
3)第3章介绍了MATLAB的技术可行性分析以及应用方程。
4)第4章对梯度神经网络所应用的方程进行仿真验证。
第2章 梯度神经的设计过程
2.1 MATLAB技术背景
2.1.1 基本介绍
  MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国The MathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C，C++和FORTRAN）编写的程序。

尽管MATLAB主要用于数值运算，但利用为数众多的附加工具箱（Toolbox）它也适合不同领域的应用，例如控制系统设计与分析、图像处理、信号处理与通讯、金融建模和分析等。另外还有一个配套软件包Simulink，提供了一个可视化开发环境，常用于系统模拟、动态/嵌入式系统开发等方面。

MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。

2.1.2 发展历程

20世纪70年代，美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler为了减轻学生编程的负担，用FORTRAN编写了最早的MATLAB。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市场。到20世纪90年代，MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件。

2.1.3 软件特点

1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；
2) 具有完备的图形处理功能,实现计算结果和编程的可视化；
3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；
4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,为用户提供了大量方便实用的处理工具。

2.1.4编程环境

MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。而且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。
2.2 梯度神经设计和基本模型
作为进一步讨论的基础，我们将针对标量取值的一般等式问题，设计一个可以普遍应用的梯度神经网络。

2.2.1 问题描述

首先我们考虑如下标量取值的一般等式问题：
(2.1.1)
其中代表一个映射函数，它既可以为线性函数，也可以为非线性函数. 在这一节,我们将就这样一个等式问题(2.1.1), 设计一个梯度神经网络: 该梯度神经网络可以实时求解一个,它可以满足以上一般方程(2.1.1)的要求。

2.2.2 梯度神经网络模型

在这一节, 我们将根据梯度神经网络设计方法，开发一般的梯度神经网络模型来实时求解一般等式问题(2.1.1). 梯度神经网络的设计过程如下。
首先,为了监控等式(2.1.1)的求解过程, 通过利用梯度设计方法, 我们可以定义一个
基于平方的标准取值的能量函数:
(2.2.2)
显然, 当该能量函数等于零时, 所对应的解x可以满足一般等式问题(1)的要求.
其次, 为了使该能量函数(2.2.2)能够收敛到零, 我们可以使该能量函数沿着它的负梯度方向下降, 所以能量函数(2.2.)的负梯度可以求得如下:
, (2.2.3)
最后, 基于一个典型的负梯度信息的连续时间自适应法则，我们可以推到出如下普遍适应的梯度神经网络模型:
, (2.2.4)
其中, 神经状态从随机产生的初始值出发,对应于一般等式方程(2.1.1)的解,设计参数用来调节一般梯度神经网络模型(2.2.4)的收敛速度。

第3章 梯度神经网络的应用
3.1 梯度神经的网络应用
如上面所提到的,求解次方根是求解等式问题中的一个重要情况，如通过求解次方根，一幅图可以在Torelli群中被描述出来; 再如Harris图像可以从其原图像的次方根中提炼到得到。所以, 根据上一节一般梯度神经网络的设计过程，我们将把该设计方法具体应用到次方根求解。
首先, 我们考虑如下标量取值的次方根问题:
（3.1.1）
其中表示一个标量取值的实数. 我们本章主要工作就是设计一个梯度神经网络来实时求解一个 ,从而可以满足以上次方根(3.3.1)的要求。为了表示方便，我们令表示的次方根的理论解。
根据以上一般梯度神经网络的设计过程，为了监控静态次方根的求解过程，我们首先可以定义了如下的一个基于平方的标准取值的能量函数:
（3.1.2）然后, 基于该能量函数(3.1.2)的负梯度:
, (3.1.3)我们就可以得到如下的求解p次方根的梯度神经网络模型:
, (3.1.4)其中, 神经状态从随机产生的初始值出发,对应于次方根(5)的解,设计参数用来调节一般梯度神经网络模型(3.1.4)的收敛速度。

第4章 梯度神经网络的仿真验证
4.1 仿真设计
在之前的章节里面， 我们首先设计了一个普遍适应的梯度神经网络, 其次由于次方根求解的重要性, 我们又设计了一个专门针对次方根求解的梯度神经网络. 在这一节当中, 为了验证梯度神经网络模型(3.1.4)的有效性, 我们将挑选了几个富有代表性的次方根进行求解。在这章中，我们将用计算机实例仿真和它们的仿真结果。
我们使用MATLAB软件来仿真函数，如图a.

图a

4.2举例仿真
下面我们通过GD模型去求解，，的收敛情况。
例1: 首先让我们考虑如下的次方根求解(具体来讲):
， （4.2.1）
很显然, 在实数域里面, 方程（4.2.1）有理论解:是。下面我们将运用梯度神经网络模型()去实时求解次方根（4.2.1）. 不失一般性, 我们令设计参数 , 初始状态(0) x 在[ 5,5] - 区域内随机产生, 仿真结果如图1和图2所示. 从图1可以看出, 从[ 5,5] - 区域内随机产生的初始状态出发, 神经状态解在0.2秒内都收敛到次方根的理论解。 这充分说明了我们梯度神经网络的有效性。另外, 我们也展示了神经状态解对应的误差函数收敛情况, 具体如图2所示。从图2我们同样可以得到, 随着时间的推移, 神经状态解对应的误差函数也在0.2秒内收敛到零, 这更加直观的证明了我们梯度神经网络的有效性。

图1梯度神经网络仿真的状态解
图2梯度神经网络仿真的误差函数
此外, 为了说明设计参数的重要性, 在其他条件不变的情况下, 我们把设计参数调大为1。
当 =1时， 如图3图4所示：

图3 梯度神经网络仿真的状态解

图4 梯度神经网络仿真的误差函数
可以看出, 当 , 误差函数在2毫秒内就能收敛到零。

图5 梯度神经网络仿真的状态解

图6 梯度神经网络仿真的误差函数
当 =100时，如图5图6所示，误差函数的收敛时间只需要不到20微妙。
仿真结果说明设计参数l对我们梯度神经网络的收敛速度有至关重要的作用。 因此, 在实际的应用中, 我们应根据具体需求, 选择一个合适的设计参数去设计梯度神经网络。通过的不同可以看出，值越大，收敛的时间就越短。这一仿真例子说明了我们梯度神经网络的有效性。

例2: 首先让我们考虑如下的次方根求解(具体来讲):
， （4.2.2）
很显然, 在实数域里面, 方程（4.2.2）有两个理论解: 一个是, 另一个是。下面我们将运用梯度神经网络模型（4.2.2）去实时求解次方根（4.2.2）。 不失一般性, 我们令设计参数= ,初始状态(0) x 在[ 1,5] - 区域内随机产生, 仿真结果如图7和图8所示。从图1可以看出, 从[ 1,5] - 区域内随机产生的初始状态出发, 神经状态解在0.02秒内都收敛到次方根的理论解或者。这充分说明了我们梯度神经网络的有效性。另外,我们也展示了神经状态解对应的误差函数收敛情况, 具体如图2所示。从图2我们同样可以得到, 随着时间的推移,神经状态解对应的误差函数也在0.02秒收敛到零, 这更加直观的证明了我们梯度神经网络的有效性。

图7 梯度神经网络仿真的状态解
图8 梯度神经网络仿真的误差函数

此外, 为了说明设计参数的重要性, 在其他条件不变的情况下, 我们把设计参数调大为1。
当 =1时，如图9图10所示

图9 梯度神经网络仿真的状态解

图10梯度神经网络仿真的误差函数
由图9图10可以看出，误差函数在0.005秒内就能收敛到零.
当 =100时，如图11图12所示

图11 梯度神经网络仿真的状态解

图12梯度神经网络仿真的误差函数
把l调大为100, 如图11图12所示, 误差函数的收敛时间只需要不到20微秒。仿真结果说明设计参数对我们梯度神经网络的收敛速度有至关重要的作用. 因此, 在实际的应用中, 我们应根据具体需求, 选择一个合适的设计参数去设计梯度神经网络。通过的不同可以看出，值越大，收敛的时间就越短。这一仿真例子再次说明了我们梯度神经网络的有效性。

例2: 首先让我们考虑如下的次方根求解(具体来讲):
， （4.2.3）
很显然, 在实数域里面, 方程（4.2.3）有两个理论解:是。下面我们将运用梯度神经网络模型（4.2.3）去实时求解次方根（4.2.3）。 不失一般性, 我们令设计参数= , 初始状态(0) x 在[ 1,5] - 区域内随机产生, 仿真结果如图7和图8所示。从图1可以看出, 从[ 1,5] - 区域内随机产生的初始状态出发, 神经状态解在0.15秒内都收敛到次方根的理论解。这充分说明了我们梯度神经网络的有效性。另外, 我们也展示了神经状态解对应的误差函数收敛情况,具体如图2所示。从图2我们同样可以得到, 随着时间的推移,神经状态解对应的误差函数也在0.03秒收敛到零, 这更加直观的证明了我们梯度神经网络的有效性。

图13梯度神经网络仿真的状态解
图14梯度神经网络仿真的误差函数
此外, 为了说明设计参数的重要性, 在其他条件不变的情况下, 我们把设计参数调大为1。从图16可以看出, 当 , 状态解误差函数在0.003秒内就能收敛到零. 如果再继续把l调大为100, 如图12所示, 误差函数的收敛时间只需要不到30微妙. 仿真结果说明设计参数对我们梯度神经网络的收敛速度有至关重要的作用. 因此, 在实际的应用中, 我们应根据具体需求, 选择一个合适的设计参数去设计梯度神经网络。
=1时，如图15图16所示

图15梯度神经网络仿真的状态解

图16梯度神经网络仿真的误差函数

从图15图16可以看出, 当 , 状态解误差函数在0.003秒内就能收敛到零.
（3）当 =100时，如图17图18所示

图17梯度神经网络仿真的状态解

图18梯度神经网络仿真的误差函数
把l调大为100, 如图12所示, 误差函数的收敛时间只需要不到30微妙.
分析，通过的不同可以看出，值越大，收敛的时间就越短。经MATLAB软件
核对, 神经状态解都收敛到该次方根方程(4.2.3)的理论解。
这一仿真例子再次说明了我们梯度神经网络的有效性。仿真结果说明设计参数对我们梯度神经网络的收敛速度有至关重要的作用. 因此, 在实际的应用中, 我们应根据具体需求, 选择一个合适的设计参数去设计梯度神经网络。

4.3 小结
我们提出一类特殊的GD模型去求解次方根问题，是和GD模型有关的基于平方的能量函数，并把这一类设计推广到求解一般的静态次方根方程。最后，我们做了大量的计算机仿真，通过前面三个例子，我们证实了通过GD模型去求解次方根问题的有效性，我们可以成功的把此类方法推广到求解一般的静态方程。

结 语
经过一学期的知识准备和接近半个月的论文撰写，自己终于完成了此次毕业设计，这是我学生生涯中的最后一次设计。通过此次毕业设计，使我感受颇多，第一，深深感到自己的所学知识的肤浅，应用程序并非是通过考试获取的，而在于平时的积累和不断的操练，这一点我并没有做的好。第二，在系统的仿真验证阶段，自己不能从专业的角度分析用户的描述内容，这些问题导致我在进行总体设计出现了种种状况，我时常在想我要是能再来一次我会认真的学习。虽然受到了挫折，但我并没有退缩，通过上网查找资料，图书馆搜集书籍，和老师交流，在老师指导下，而这些问题都在从中找到了答案。
本次毕业设计已经结束，我不仅收获了知识而且也锻炼了自己的学习能力，通过这次毕业设计，我对待事情的态度更加的严谨和细心，并且把我要的结果都变完美了。毕业设计的完成给本科阶段的学习画上了完美的句号，但学习是终身的，在以后的时间里，我会本着对技术的追求，继续钻研。
本次毕业设计，从选题，设计任务书，论文撰写，每一过程都得到我的指导老师的悉心指导，在我论文设计过程中排忧解难，在此衷心感谢我的指导老师xx老师和各位朋友的帮助。毕业设计不仅是在对大学四年所学知识的一种检测，更是对自己专业能力的一种提高和升华。我发现在专业上的不足，在今后的学习和工作中应不断的去学习。

参考文献
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附 录
例1：
我们采用GD模型,求解的静态次方根问题和误差的收敛情况。
（1）当 =0.1时，如图1图2所示：
程序如下:
format long;
clear,clc;
gamma=0.001;
options=odeset();
for i=1:10
x0=16*(rand(1,1)-0.5);
[t1,xz]=ode15s(@gnnright,tspan,x0,[],gamma);
figure (3);plot(t1,xz,'b-');hold on
for j=1:length(t1)
TT=t1(j);
errz(:,j)=xz(j,:)^3-16;
nerrz(j)=norm(errz(:,j));

end
figure(2); plot(t1,nerrz);
ylim([0,5])
hold on
nerrz=0;
plot(t1,0,'r--');hold on;
ylim([-1,5])
end
例2：
我们采用GD模型,求解的静态次方根问题和误差的收敛情况。
（1）当 =0.001时，
如图7图8所示
程序如下;
format long;
clear,clc;
gamma=0.001;
tspan=[0 10];
options=odeset();
for i=1:10
x0=16*(rand(1,1)-0.5);
[t1,xz]=ode15s(@gnnright,tspan,x0,[],gamma);
figure (3);plot(t1,xz,'b-');hold on
for j=1:length(t1)
TT=t1(j);
errz(:,j)=xz(j,:)^4-10;
nerrz(j)=norm(errz(:,j));

end
figure(2); plot(t1,nerrz);
ylim([0,5])
hold on
nerrz=0;
plot(t1,0,'r--');hold on;
ylim([-1,5])
end

我们采用GD模型,求解的静态次方根问题和误差的收敛情况。
（1）当 =0.001时，
如图13图14所示
程序如下

format long;
clear,clc;
gamma=0.001;
tspan=[0 10];
options=odeset();
for i=1:10
x0=16*(rand(1,1)-0.5);
[t1,xz]=ode15s(@gnnright,tspan,x0,[],gamma);
figure (3);plot(t1,xz,'b-');hold on
for j=1:length(t1)
TT=t1(j);
errz(:,j)=xz(j,:)^5-12;
nerrz(j)=norm(errz(:,j));

end
figure(2); plot(t1,nerrz);
ylim([0,5])
hold on
nerrz=0;
plot(t1,0,'r--');hold on;
ylim([-1,5])

end
例3：
我们采用GD模型,求解的静态次方根问题和误差的收敛情况。
（1）当 =0.001时，
如图13图14所示
程序如下

format long;
clear,clc;
gamma=0.001;
tspan=[0 10];
options=odeset();
for i=1:10
x0=16*(rand(1,1)-0.5);
[t1,xz]=ode15s(@gnnright,tspan,x0,[],gamma);
figure (3);plot(t1,xz,'b-');hold on
for j=1:length(t1)
TT=t1(j);
errz(:,j)=xz(j,:)^5-12;
nerrz(j)=norm(errz(:,j));

end
figure(2); plot(t1,nerrz);
ylim([0,5])
hold on
nerrz=0;
plot(t1,0,'r--');hold on;
ylim([-1,5])

end

致 谢
这篇论文花了将近六个月时间完成，在此次毕业设计中，我遇到了很多在学习中不同的困难，这都是在老师和同学的帮助下度过的，尤其是我的指导老师--xx老师，他对我的帮助让我学到了很多知识，还不厌其烦的帮助我进行论文修改和改进。其次，还要感谢吉首大学图书馆的老师们，提供了很多方便，让我能查找各种资料来帮助论文的完成和更进。
毕业在即，时光飞逝，在吉首大学有很多美好的回忆和成长的经历。在这四年的大学生活中，我的自学能力得到了提升，我感谢我所有的恩师，给我的人生赋予最有意义的收获，丰富了知识，学会了做人，都是我人生中宝贵的经历！
由于我的知识水平有限，所写的论文难免会有不足的地方，恳请老师批评和指正！在此感谢吉首大学，感谢我的老师和同学们！