调兵山一高高一数学竞赛试卷.doc

调兵山一高中高一数学竞赛试卷2013-4-1
考试时间：120分钟 满分150分 班级_________姓名_________
一、 选择题（每小题5分，总计50分）
1．已知集合，则的值为 （ B 　）．
A． 　 B．　　 C． 　　D．
2．函数的图象与直线交点的个数为（ C ）
A．必有一个 B．1个或2个 C．至多一个 D．可能2个以上
3.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ C ）
（A）， （B），
（C）， （D），
4.给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 （D ）
（A） （B）（C） （D）
5、

6、一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ C ）
A. B.
C. D.
7.已知集合，,，且，则整数对的个数为 （ C ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 42
8已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数．如果对于任意的a、b∈R都满足
f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则函数f(x) ( A )
(A)是奇函数 (B)是偶函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数
9.若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（　B　）
（A）2　　　（B）1　　　（C）√3　　　　（D）√2
10.命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2 长方体中，必存在到各棱离相等的点；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
命题3 长方体中，必存在到各面离相等的点；以上三个命题中正确的有 ( B )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二．填空题（每小题5分，总计30分）
11.．直线x+7y-5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.
12. 设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______
13. 已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。
14. 已知不共线，点C满足，且，则__________.
15. 若O为△ABC 的内心，且，，则△ABC 的形状为____等腰三角形______.
16.   函数的值域是
三．解答题：
16.（本小题满分10分）已知正四棱锥R—ABCD的底面边长为4，
高为6，点O是底面ABCD的中心，点P是RO的中点，点Q是
△RBC的重心.
（1）求证：面ROQ⊥面RBC；

（2）求异面直线PQ与BR所成的角的余弦值.
解：（1）∵正四棱锥R—ABCD中Q是△RBC的重心，∴RQ⊥BC 又∵RO⊥底面ABCD，∴RO⊥BC，
∵RO∩RQ=R，∴BC⊥平面ROQ ∴平面ROQ⊥平面RBC
（2）在BC上取一点K，使则,计算可得，
由此可求得PQ与BR所成的角为
17. （本小题满分15分） 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：
【证明】  若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα<cos(-β)=sinβ,
所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1，
所以       
若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,
所以>1。又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1，
所以，得证。

18．（本小题满分15分）已知直线和圆.
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：（Ⅰ），
∴当k≠0时，解得且k≠0
又当k＝0时，m＝0，方程有解，所以，综上所述
（Ⅱ）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．设直线与圆交于A，B两点
则∠ACB＝120°．∵圆，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．
故有，整理得．
∵，∴无实数解．
因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．
19（本小题满分15分）.设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|.
(1)当a=2时, 求f(x)的最小值;
(2)若f(-1)=f(1), f(-)=f()(a∈R, 且a≠1), 求a的值
19.(1)当a=2时, f(x)=|x+1|+|2x+1|=
∴当x≤-1时, f(x)递减, 故f(x)≥f(-1)=1, 当-1＜x＜-时, f(x)递减, 故f(x)＞f(-)=,
当x≥-时, f(x)递增, 故f(x)≥f(-)=, 因此, f(x)的最小值为
(2)由f(-1)=f(1)得 2+|a+1|=|1-a| (*), 两边平方后整理得|a+1|= -(a+1)
∴ a≤-1 ①
同理, 由f(-)=f()得2+|+1|=|1-|, 对比(*)式可得
≤-1 ∴ -1≤a＜0 ②
由①②得a= -1
20．（本小题满分15分）已知函数（，）的反函数是，而且函数的图象与函数的图象关于点对称．
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数在上有意义，求的取值范围．
【解】（Ⅰ）由（，），得……5分
又函数的图象与函数的图象关于点对称，
则，于是，．（）…………………10分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，有．
要使有意义，必须
又，故．　　……………………………………………………… 15分
由题设在上有意义，所以，即．
于是，．　　　　…………………………………………………………… 20分
21．（本题满分15分）设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：
（1）任意，有，当时，且；
（2）；
（3），
试求：（1）证明：任意， ，都有；
（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由. （阶乘定义：）

解：
（1）当时，， ，
若，则得，不可能，舍去
当时，，得，
若，则，，，，

同理，若，任意， ，都有
（2）
由（1）可得为单调减函数

得

…

相乘得： …①
又由①式得：

…
，
相加得：，

，，，，，，，，
由于当时，能被25整除
综上，存在正整数，当或时，是25的倍数