实变函数与泛函分析总复习题.doc

第一章 复习题（一）
一、判断题
1、大人全体构成集合。（× ）
2、小个子全体构成集合。（× ）
3、所有集合都可用列举法表示。（× ）
4、所有集合都可用描述法表示。（√ ）
5、对任意集合，总有。（√ ）
6、。（× ）
7、。（√ ）
8、若，则。（√ ）
9、，，其中表示全集。（× ）
10、。（× ）
11、，。（× ）
12、，。（√ ）
13、若，，则。（√ ）
14、若，则，反之亦然。（√ ）
15、若，，且，，则。（× ）
16、若，则。（√ ）
17、若，且，则。（× ）
18、可数集的交集必为可数集。（× ）
19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ）
20、因整数集有理数集，所以为不可数集。（× ）
21、。（√ ）
第二章 复习题

一、判断题
1、设，，则。（× ）
2、设，，则。（× ）
3、设，则。（× ）
4、设点为点集的内点，则。（√ ）
5、设点为点集的外点，则。（√ ）
6、设点为点集的边界点，则。（× ）
7、设点为点集的内点，则为的聚点，反之为的聚点，则为的内点。（× ）
8、设点为点集的聚点，则为的边界点。（× ）
9、设点为点集的聚点，且不是的内点，则为的边界点。（√ ）
10、设点为点集的孤立点，则为的边界点。（√ ）
11、设点为点集的外点，则不是的聚点，也不是的边界点。（√ ）
12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ）
13、开集中可以含有边界点和孤立点。（× ）
14、是开集的内部（开核）。（√ ）
15、任意多个开集的并集仍为开集。（√ ）
16、任意多个开集的交集仍为开集。（× ）
17、有限个开集的交集仍为开集。（√ ）
18、闭集中的每个点都是聚点。（× ）
19、和都是闭集。（√ ）
20、是闭集。（√ ）
21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√ ）
22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（× ）
23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√ ）
24、是开集是闭集。（√ ）
25、是完全集（完备集）是无孤立点的闭集。（√ ）

二、填空题
1、设，是上的全部有理点，则；的内部 空集 ；。
2、设，，则；的内部 空集 ；。
3、设，，则；的内部；。
4、设是康托（三分）集，则为 闭 集；为 完全 集；没有 内 点； c ； 0 。
5、设为上的开集的构成区间，则满足，且，。
6、设，写出的所有的构成区间。
7、设，写出的所有的构成区间。
8、设为上的闭集，为的孤立点，则必为的两个邻接区间的 公共 端点。
9、设为上的闭集，则的邻接区间必为的构成区间。
第三章复习题

一、判断题
1、对任意，都存在。（√ ）
2、对任意，都存在。（× ）
3、设，则可能小于零。（× ）
4、设，则。（√ ）
5、设，则。（× ）
6、。（× ）
7、。（√ ）
8、设为中的可数集，则。（√ ）
9、设为有理数集，则。（√ ）
10、设为中的区间，则。（√ ）
11、设为中的无穷区间，则。（√ ）
12、设为中的有界集，则。（√ ）
13、设为中的无界集，则。（× ）
14、是可测集是可测集。（√ ）
15、设{}是可测集列，则，都是可测集。（√ ）
16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（√ ）
17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（√ ）
18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（√ ）
19、若，则。（× ）
20、若是无限集，且，则是可数集。（× ）
21、若，则必为无界集。（√ ）
22、在中必存在测度为零的无界集。（√ ）
23、若，都是可测集，且，则。（× ）
24、和都是可测集，且，。（√ ）
25、设为可测集，则。（× ）
26、设为可测集，且，则。（× ）

二、填空题
1、若是可数集，则 0 ；为 可测 集； 0 。
2、若为可测集，则 小于或等于 ；若为两两不相交的可测集，则 等于 。
3、设为可测集，则 大于或等于 ；若还有，则
大于或等于 。
4、设为可测集，且，，则 等于 。
5、设为的内点，则 大于 。
6、设为康托三分集，则为 可测 集，且 0 。
7、 0 ， +∞ 。
8、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表示成一个型集与零测集的差集 。
9、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表示成一个型集与零测集的并集 。
第四章 复习题

一、判断题
1、设是定义在可测集上的实函数，如果对任意实数，都有为可测集，则为上的可测函数。（√ ）
2、设是定义在可测集上的实函数，如果对某个实数，有不是可测集，则不是上的可测函数。（√ ）
3、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数， 为可测集。（× ）
4、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（× ）
5、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（√ ）
6、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数和（）， 为可测集。（× ）
7、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（√ ）
8、若可测集上的可测函数列{}在上几乎处处收敛于可测函数，则{}在上“基本上”一致收敛于。（× ）
9、设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则在上“基本上”连续。（√ ）
10、设为可测集，若上的可测函数列（），则{}的任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。（× ）
11、设为可测集，若上的可测函数列于，则（）。（× ）

二、填空题
1、 等于 ， 等于 。
2、 包含于 ， 包含于 ；
等于 ， 等于 。
3、设，则 等于 。
4、设，则 等于 。
5、由于区间上的单调函数的不连续点所成的集为 至多可数 集，则为上的 几乎处处 连续函数，从而为上的 可测 函数。
6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。
7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。
8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。
9、叙述叶果洛夫定理 设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。
10、叙述鲁津定理 设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数 。
11、若，（），则 等于 几乎处处于 。

第五章复习题
复习题（一）

一、判断题
1、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（√ ）
2、设是可测集上的非负简单函数，则在上勒贝格可积。（× ）
3、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（√ ）
4、设是可测集上的非负可测函数，则一定存在。（√ ）
5、设是可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积。（× ）
6、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（√ ）
7、设是可测集上的可测函数，则一定存在。（× ）
8、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。（√ ）
9、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则在上勒贝格可积。（× ）
10、设是可测集上的可测函数， 若且，则在上勒贝格可积。（√ ）
11、设是可测集上的可测函数， 若，则。（√ ）
12、设是可测集上的可测函数， 若且，则。（√ ）
13、若为零测集，为上的任何实函数，则。（√ ）
14、若，则。（√ ）
15、若，则。（√ ）
16、若，则。（√ ）
17、若，为的可测子集，则。（√ ）
18、在上勒贝格积分值存在。（× ）
19、若，且，，则于。（√ ）
20、若在上可积，则若在上可积，且
。 （√ ）
21、若，，且于，则。（√ ）
22、若，，则于。（× ）
23、若，则于。（× ）
24、若与存在，且，则。（√ ）
25、若存在，是的可测子集，且，则。（× ）
26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（× ）

二、计算题
1、设，求。
解：因为有理数集为零测集，所以，于，于是
。

2、设，其中为中的三分康托集，求。
解：因为，所以，于，于是
。
第五章 复习题（二）

一、判断题
1、设{}是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果于，则。（×）
2、设{}是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果（），则。（×）
3、设{}是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果且（）或于，则
。（×）
4、设{}是可测集上的非负可测函数列，如果，则
。（√ ）
5、设{}是可测集上的非负可测函数列，如果，则
。（×）
6、设{}是可测集上的非负可测函数列，则
。（×）
7、设{}是可测集上的非负可测函数列，则
。（√ ）
8、设{}是可测集上的非负可测函数列，则
。（√ ）
9、设{}是可测集上的非正可测函数列，则
。（√ ）
10、设{}是可测集上的可测函数列，则
。（×）
11、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，则
。（×）
12、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，{}为两两不交的可测集，则
。（√ ）
13、设在上可测，则
。（×）
14、设在上非负可测，则
。（√ ）
15、设在上勒贝格可积，则
。（√ ）

二、计算题
1、设（），求。
解：因为，且，由有界法则得，
。

2、设（），求。
解：当时，，且
。
而，
所以，。由勒贝格控制收敛定理得
。

3、设（），求。
解：易见，且
，而。
由勒贝格控制收敛定理
。
4、设（），求。
解：易见，且
，而。
由勒贝格控制收敛定理
。