含参不等式恒成立问题高等方法.doc

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。
一、 分离参数
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。
例1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。
解：根据题意得：在上恒成立，
即：在上恒成立，
设，则
当时， 所以
（可用导数求最值）
在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围；若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
例2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：令， 所以原不等式可化为：，
要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。

（可用导数求最值）

（例4中应为方程无是根或有重根）
    例4（04辽宁）已知函数.
（1）求函数的反函数的导数
（2）假设对任意,不等式成立，求实数m的取值范围.
解析：(1) 解略. =，=；得=；
(2) 解此绝对值不等式得+<<-
把（1）代入上式，得-+<<+-
若把此不等式左右两边设为两个新函数，即
令=-+，=+-
则原不等式对于任意恒成立，意即<<成立，
只需满足<<即可.
=，=，
注意到0<<<，即<1<，
故>0 , >0 , 故、均为增函数，
∴在上，==，==，
故原不等式成立，当且仅当<<，即<<.
点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。

二、 分类讨论
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。

（1） 当即：时， 又所以不存在；
（2） 当即：时， 又
（3） 当 即：时， 又
综上所得：
例6.已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.（Ⅲ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
解：（Ⅰ） 当所以

因此， 即 曲线
又 所以曲线

（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当 即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅲ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。
由于“对任意，存在，使”等价于
“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）
又=，，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾
②当时，因为，同样与（*）矛盾
③当时，因为，解不等式8-4b，可得
综上，b的取值范围是。

三、 确定主元
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
例4、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。
解：设，对满足的，恒成立，
解得：
四、 利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。
例5、当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：
（1） 当时，，则问题转化为
（2） 当时，，则问题转化为
综上所得：或

五、 数形结合
数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。
例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。
解：由题意知：在内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数和
观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；
当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，
综上得：
上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。
例1.已知
(1) 求ａ、ｂ的值及函数的单调区间．
(2) 若对恒成立，求ｃ的取值范围．
解：(1)
例4.已知是实数，函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设为在区间上的最小值。
（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。
解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。
考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。
（1） 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。
（2） 当时，由，得；由，得。
因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。
（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：
（1） 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。
（2） 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：
① 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以。
② 当，即时，在上单调递减，所以。
综上所述，
（）令。
①若，无解；
②若，由解得；
③ 若，由解得。
综上所述，的取值范围为。
例1（05湖北理）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围.
解析：由向量的数量积定义，=()+()=+++
∴=++.
若在区间(-1,1)上是增函数，则有≥0
≥-在 (-1,1)上恒成立.
若令=-=-3()-
在区间[-1,1]上，==5，故在区间(-1,1)上使≥恒成立，
只需≥即可，即≥5.
即的取值范围是[5，∞）.
点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。
例2使不等式->对任意的实数都成立，求实数的取值范围.
解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.
令=-，则如果原不等式对任意的实数都成立等价于>.
又=-=4()，令=0，解得，=0或=1.
的符号及的单调性如下：

(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)

-
0
-
0
+

↘
无极值

↘
极小值

↗
因为在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即== -1，
∴= -1>，即>3.
例1. （2008安徽高考题理20）设函数
（1） 求函数的单调区间；
（2） 已知对任意成立，求实数的取值范围
解：（1），，列表如下：

+
0
—
—

单调增
极大值
单调减
单调减
所以的单调增区间为，单调减区间为
（3） 在两边取对数，得由于所以① 由（1）的结果知，当时，。为使①式对所有成立，当且仅当即
例4　已知函数 
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 
解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.
例6　已知函数,对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围．
解　函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立
知 对一切x∈（0，+∞）恒成立．
即　　对x∈（0，+∞）恒成立．
设　则，由h′(x)=0，解得．
当h′(x)>0时，解得0＜x＜；当h′(x)＞0时，解得x＞．
所以函数h(x)在（0，）上递增，在（，+∞）上递减．
故h(x)的最大值为，所以．

含参数函数的单调性问题三个基本讨论点
1、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。
例1设，函数，
试讨论函数的单调性。
解：。
考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。
（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，
因此，对参数分和两种情况讨论。
（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；
（2） 当时，。
由，得，因为，所以。
由，得；由，得。
因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。
（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。
（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；
（2） 当时，。
由，得；由，得。
因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。
综上所述：
（1） 当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。
（2） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数。
（3） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。

2、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。
例2已知是实数，函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。
考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。
（1） 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。
（2） 当时，由，得；由，得。
因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。
3、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
例3已知函数，其中。
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅱ）由于，所以
。
由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。
（1） 当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。
（2） 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。
例4设函数，其中，求函数的极值点。
解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。
（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。
（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：
。
这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：
（ⅰ）当时，，所以。
此时，与随的变化情况如下表：

0

递减
极小值
递增
由此表可知：当时，有唯一极小值点。
（ⅱ）当时，，所以。
此时，与随的变化情况如下表：

递增
极大值
递减
极小值
递增
由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。
综上所述：
（1） 当时，有唯一极小值点；
（2） 当时，有一个极大值点和一个极小值点；
（3） 当时，无极值点。
从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。例2.已知函数处取得极值
(1) 求函数的解析式.
(2) 若过点可作曲线y=的三条切线,求实数m的取值范围.
解:(1)求得
(2)设切点为

3.已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.

10、已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.
解：（Ⅰ） 当 所以
因此， 即 曲线
又 所以曲线

（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当 即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
13、已知函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　　
12、已知函数
（I） 讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于 ， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即 .
从而 故a的取值范围为（-∞，-2].
13、)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。
解：（I）当时，，
由于，， 所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，. 所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时， 故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
14、设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。

利用导数求参数范围举例
例3．已知且。
（1）设，求的解析式。
（2）设，试问：是否存在，使在（）上是单调递减函数，且在（）上是单调递增函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解：（1）易求c=1,
　　（2）＝，∴
由题意在（）上是单调递减函数，且在（）上是单调递增函数知，是极小值，∴由得
当，时，∴是单调递增函数；
时，∴是单调递减函数。所以存在，使原命题成立。
例5.已知函数，其中。
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅱ）由于，所以
。
由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。
（1） 当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。
（2） 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。
例7.已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。
解：（I）当时，，
由于，， 所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，. 所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时， 故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
例5已知,,函数= 的图象与函数=的图象相切，
(Ⅰ)求与的关系式（用表示）；
(Ⅱ)设函数=在(-∞,+∞)内有极值点，求的取值范围.
解析：(Ⅰ)∵ 与的图象相切，∴切线的斜率相等，
即=即，故，
切点的纵坐标为=，解得，
又∵,，∴，即.
(Ⅱ) ∵==，
∴=，令=0，即
=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况)
Δ==
① 若Δ=0，=0有一个实根，则=，
的变化如下：

（-∞，）

（，+∞）

+
0
+

故=不是的极值点；
②若Δ＞0，=0有两个不同的实根、，不妨设＜，则=，的变化如下：

（-∞，）

（，）

（，+∞）

+
0
-
0
+
故、分别为函数的极大值点和极小值点.
综合①②，当Δ＞0，=0在(-∞,+∞)内有极值点.
由Δ=＞0，即＞，又由(Ⅰ) ，
得，＞解得， 或.
故的取值范围是（0，）∪（，+∞）.
点评：解决Ⅰ要明了切线与导数之间的关系；解决Ⅱ借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系.
三 与集合之间的关系相联系
例6设≠0，点是函数与=的图象的一个公共点.两函数的图象在点处有相同的切线，
(Ⅰ)用表示，，；
(Ⅱ)若函数=在(-1,3)上单调递减，求的取值范围.
解析：(Ⅰ) 为切点，切线相同，此问与例5大同小异。
把点代入两函数解析式，有，又≠0，故，
又在点处切线相同，故，即，
将代入，得=，从而，=，即.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)，=，
∴==，
∴==，
函数=单调递减，即＜0，
由=＜0，当＞0时，＜＜；＜0时，＜＜.
故函数的单调区间，当＞0时，为；当＜0时，为.
故要使函数在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) 或(-1,3) ，即
或，解得，≥3或≤-9.故的范围是(-∞，-9]∪[3，+∞）.
点评：Ⅱ题看题意似与例1相似，其实不然。本题的表达式中含、和，不能把全部移到另一边构造新的二次函数，故利用了集合之间的包含关系确定边界点的范围，从而得出结果。
4、 已知，函数在是一个单调函数。
（１） 试问函数在上是否为单调减函数？请说明理由；
（2）若函数在上是单调增函数，试求的取值范围。
解：（1），若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，即对恒成立，这样的值不存在。所以函数在区间上不是单调减函数。
（2）函数在区间上是单调增函数，则，即在上恒成立，在此区间上，从而得
例3：若函数没有极值点，求的取值范围。
解：由已知可得 ，若函数不存在极值点，则在方程即中，有，解之得
规律小结：极值点的个数，一般是使方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。

6.已知函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　

例3（05天津理）若函数=(>0,≠1)在区间(-,0)内单调递增，则的取值范围是（ ）A[,1) B[.1) C(,+∞) D(1, )
解析：是复合函数，须按0<<1及>1两种情况考虑.
令=，∵在(-,0)上为增函数，
① 若0<<1，则在(-,0)上为减函数，即=<0在(-,0)上恒成立，
即>3在(-,0)上恒成立, ∴≥3=,此时，≤＜1；
② 若>1，则在(-,0)上为增函数，须使=＞0在(-,0)上恒成立，
即＜3在(-,0)上恒成立, 即≤0，不合题意.
综上，∈[.1).
点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙.