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2022-2023 学年广东省广州市越秀区培正中学七年级(上)期末数学试卷
第 9页(共 16页)
一、选择题(共 30 分)
1.(3 分) | -2 | 的值等于( )
A.2 B. - 1
2
C. 1
2
D. -2
2.(3 分)我国幅员辽阔,南北跨纬度广,冬季温差较大,12 月份的某天同一时刻,我国最南端的南海三沙市气温是 27° C ,而最北端的漠河镇气温是-16° C ,则三沙市的气温比漠河镇的气温高( )
A. 1° C
B. 43° C
C. -11° C
D. -43° C
3.(3 分) x 的 3 倍与 y 的平方的和用代数式可表示为( )
A. 3x + y2
B. (3x + y)2
C. 3x2 + y2
D. 3(x + y)2
4.(3 分)如图,是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,有“创”字一面的相对面上的字是( )
A.文 B.明 C.城 D.市5.(3 分)已知实数 a , b 在数轴上的位置如图所示,下列结论中错误的是( )
A. a < b
B. | a |>| b |
C. b - a < 0
D. -a > b
6.(3 分)下列去括号中正确的( )
A. x + (3y + 2) = x + 3y - 2
B. a2 - (3a2 - 2a + 1) = a2 - 3a2 - 2a + 1
C. y2 + (-2 y -1) = y2 - 2 y -1
D. m3 - (2m2 - 4m -1) = m3 - 2m2 + 4m -1
7.(3 分)若关于 x 的方程2x + a - 4 = 0 的解是 x = -2 ,则 a 的值等于( )
A.8 B.0 C.2 D. -8
8.(3 分)把一副三角板按照如图所示的位置摆放,使其中一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的边上,形成的两个夹角分别为Ða,Ðb,若Ða= 35° ,则Ðb的度数是( )
A. 55° B. 60° C. 65° D. 75°
9.(3 分)定义运算 a Äb = a(1 - b) ,下面给出了关于这种运算的四个结论:① 2 Ä(-2) = 6 ;
② a Ä b = b Ä a ;③若2 Ä a = 0 ,则 a = 1;④ a Ä1 = 0 .其中正确结论有( )
A.①③④ B.①③ C.②③ D.①②④
10.(3 分)如图,每一幅图中均含有若干个正方形,第①幅图中含有 1 个正方形;第②幅图中含有 5 个正方形;按这样的规律下去,则第⑥幅图中含有正方形的个数为( )
A.55 B.78 C.91 D.140
二、填空题(共 18 分)
11.(3 分)建筑工人在砌墙时,经常在两个墙角分别立一根标志杆,在两根标志杆之间拉一条线,沿这条线就可以砌出直的墙了,其中的数学道理是 .
12.(3 分)新疆是中国最大产棉区,据新疆新闻办消息,2021 年新疆棉花种植面积 3718
万亩,预计产量达 520 万吨左右.将数据“520 万”用科学记数法表示为 .
13.(3 分)若关于 x 的方程(k -1)x|k| + 3 = 2022 是一元一次方程,则 k 的值是 .
14.(3 分)若单项式 am-1b2 与 1 a2bn 的和仍是单项式,则 mn 的值是 .
2
15.(3 分)把18.36° 用度、分、秒可表示为 ° ¢ ¢¢ .
16.(3 分)已知线段 AB ,点C 为线段 AB 的中点,点 D 在直线 AB 上,且 BD = 1 BC ,若
2
AB = 12 .则CD 的长是 . 三、解答题(共 72 分)
17. 计算:
(1) -2 ´ (-5) + 4 - (-28) ¸ 4 ; (2) -32´ | - 2 | +(-1)2021 - 5 ¸ (- 5 ) .
9 4
18. 解方程:
(1) 2(3x - 6) = 4 - x ; (2) 3x - 1 - 5x - 7 = -1.
4 6
19. 如图,已知正方形网格中的三点 A , B , C ,按下列要求完成画图和解答:
(1) 画线段 AB ,画射线 AC ,画直线 BC ;
(2) 取 AB 的中点 D ,并连接CD ;
(3) 根据图形可以看出: Ð 与Ð 互为补角.
20.已知: A = 2a2 + 3ab - 2a - 1 , B = -a2 + ab - 1
(1)求 4 A - (3A - 2B) 的值;
(2)若 A + 2B 的值与 a 的取值无关,求b 的值.
21. 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段达到节水的目的,该市自来水收费的价目表如表(注: 水费按一个月结算一次):请根据价目表的内容解答下列问题:
价目表
每月用水量(m3 )
单价(元/m3 )
不超出 26m3 的部分
3
超出 26m3 不超出34m3 的部分
4
超出34m3 的部分
7
(1) 填空:若该户居民 1 月份用水 20 立方米,则应收水费 元;若该户 2 月份用水 30
立方米,则应收水费 元;
(2) 若该户居民 3 月份用水 a 立方米(其中 a > 34) ,则应收水费多少元?(结果用含 a 的代数式表示)
(3) 若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ,求该户 4 月份用水量是多少立方米?
22. 如图,在数轴上点 A 表示的数为 a ,点 B 表示的数为b ,且 a ,b 满足| a +10 | +(b - 5)2 = 0 .
(1) a = , b = ;
(2) 点C 在数轴上对应的数为 10,在数轴上存在点 P ,使得 PA + PB = PC ,请求出点 P 对应的数;
(3) 点 A 、 B 分别以 2 个单位/ 秒和 3 个单位/ 秒的速度同时向右运动,点 M 从原点O 以5 个单位/ 秒的速度同时向右运动,是否存在常数 m ,使得3AM + 2OB - mOM 为定值,若存在,请求出 m 值以及这个定值;若不存在,请说明理由.
23. 将两块直角三角板的顶点 A 叠在一起,已知ÐBAC = 30° ,ÐDAE = 90° ,将三角板 ADE
绕点 A 旋转,在旋转过程中,保持ÐBAC 始终在ÐDAE 的内部.
(1) 如图①,若ÐBAD = 25° ,求ÐCAE 的度数.
(2) 如图①, ÐBAE 与ÐCAD 有什么数量关系,请说明理由.
(3) 如图②,若 AM 平分ÐBAD , AN 平分ÐCAE ,问在旋转过程中, ÐMAN 的大小是否发生改变?若不变,请说明理由;若改变,请求出变化范围.
2022-2023 学年广东省广州市越秀区培正中学七年级(上)期末数学试卷
一、选择题(共 30 分)
1.(3 分) | -2 | 的值等于( )
A.2 B. - 1
2
参考答案与试题解析
C. 1
2
D. -2
【解答】解: | -2 |= 2 . 故选: A .
2.(3 分)我国幅员辽阔,南北跨纬度广,冬季温差较大,12 月份的某天同一时刻,我国最
南端的南海三沙市气温是 27° C ,而最北端的漠河镇气温是-16° C ,则三沙市的气温比漠河镇的气温高( )
A.11° C
B. 43° C
C. -11° C
D. -43° C
【解答】解:由题意得 27 - (-16) = 27 + 16 = 43(° C) ,
故选: B .
3.(3 分) x 的 3 倍与 y 的平方的和用代数式可表示为(
)
A. 3x + y2 B. (3x + y)2 C. 3x2 + y2
D. 3(x + y)2
【解答】解:根据题意得: 3x + y2 . 故选: A .
4.(3 分)如图,是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,有“创”字一面的相
对面上的字是( )
A.文 B.明 C.城 D.市
【解答】解:有“创”字一面的相对面上的字是:市, 故选: D .
5.(3 分)已知实数 a , b 在数轴上的位置如图所示,下列结论中错误的是( )
A. a < b
B. | a |>| b |
C. b - a < 0
D. -a > b
【解答】解:由实数 a , b 在数轴上的位置关系可得: -2 < a < -1, 0 < b < 1 ,
\ a < b ,故 A 说法正确,不符合题意;
| a |>| b | ,故 B 说法正确,不符合题意;
b - a > 0 ,故C 说法错误,符合题意;
-a > b ,故 D 说法正确,不符合题意; 故选: C .
6.(3 分)下列去括号中正确的( )
A. x + (3y + 2) = x + 3y - 2
B. a2 - (3a2 - 2a + 1) = a2 - 3a2 - 2a + 1
C. y2 + (-2 y -1) = y2 - 2 y -1
D. m3 - (2m2 - 4m -1) = m3 - 2m2 + 4m -1
【解答】解: A 、 x + (3y + 2) = x + 3y + 2 ,故本选项错误; B 、 a2 - (3a2 - 2a + 1) = a2 - 3a2 + 2a -1,故本选项错误; C 、 y2 + (-2 y -1) = y2 - 2 y -1 ,故本选项正确;
D 、 m3 - (2m2 - 4m -1) = m3 - 2m2 + 4m + 1,故本选项错误; 故选: C .
7.(3 分)若关于 x 的方程2x + a - 4 = 0 的解是 x = -2 ,则 a 的值等于( )
A.8 B.0 C.2 D. -8
【解答】解:把 x = -2 代入方程得: -4 + a - 4 = 0 , 解得: a = 8 ,
故选: A .
8.(3 分)把一副三角板按照如图所示的位置摆放,使其中一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的边上,形成的两个夹角分别为Ða,Ðb,若Ða= 35° ,则Ðb的度数是( )
A. 55° B. 60° C. 65° D. 75°
【解答】解:如图.
由题意得, ÐABC = 90° .
\Ðb= 180° - Ða- ÐABC = 180° - 35° - 90° = 55° . 故选: A .
9.(3 分)定义运算 a Äb = a(1 - b) ,下面给出了关于这种运算的四个结论:① 2 Ä(-2) = 6 ;
② a Ä b = b Ä a ;③若2 Ä a = 0 ,则 a = 1 ;④ a Ä1 = 0 .其中正确结论有( )
A.①③④ B.①③ C.②③ D.①②④
【解答】解:① 2 Ä(-2) = 2 ´[1 - (-2)] = 2 ´ 3 = 6 ,故①正确;
② a Äb = a(1 - b) = a - ab , b Ä a = b(1 - a) = b - ab , 即当 a ¹ b 时 a Ä b ¹ b Ä a ,故②错误;
③若 2 Ä a = 2(1 - a) = 0 ,
1 - a = 0 ,
a = 1 ,故③正确;
④ a Ä1 = a(1 -1) = 0 ,故④正确, 即正确都有①③④,
故选: A .
10.(3 分)如图,每一幅图中均含有若干个正方形,第①幅图中含有 1 个正方形;第②幅图中含有 5 个正方形;按这样的规律下去,则第⑥幅图中含有正方形的个数为( )
A.55 B.78 C.91 D.140
【解答】解:观察图形发现第一个有 1 个正方形,
第二个有1 + 4 = 5 个正方形,
第三个有1 + 4 + 9 = 14 个正方形,
第 n 个有:1 + 4 + 9 + ¼+ n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 个正方形,
6
第 6 个有1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 个正方形, 故选: C .
二、填空题(共 18 分)
11.(3 分)建筑工人在砌墙时,经常在两个墙角分别立一根标志杆,在两根标志杆之间拉一条线,沿这条线就可以砌出直的墙了,其中的数学道理是 两点确定一条直线 .
【解答】解:建筑工人在砌墙时,经常在两个墙角的位置分别立一根标志杆,在两根标志杆 之间拉一根线,沿着这条线就可以砌出直的墙.
则其中的道理是:两点确定一条直线. 故答案为:两点确定一条直线.
12.(3 分)新疆是中国最大产棉区,据新疆新闻办消息,2021 年新疆棉花种植面积 3718
万亩,预计产量达 520 万吨左右.将数据“520 万”用科学记数法表示为 5.2 ´106 .
【解答】解:520 万= 5200000 = 5.2 ´106 . 故答案为: 5.2 ´106 .
13.(3 分)若关于 x 的方程(k -1)x|k| + 3 = 2022 是一元一次方程,则 k 的值是 -1 .
【解答】解:由题意得: | k |= 1 ,且 k - 1 ¹ 0 , 解得: k = -1 ,
故答案为: -1 .
14.(3 分)若单项式 am-1b2 与 1 a2bn 的和仍是单项式,则 mn 的值是 9 .
2
【解答】解:由题意得:
m - 1 = 2 , n = 2 ,
\ m = 3 ,
\ mn = 32 = 9 , 故答案为:9.
15.(3 分)把18.36° 用度、分、秒可表示为 18 ° ¢ ¢¢ .
【解答】解:Q1° = 60¢ ,1¢ = 60¢¢ ,
\0.36 ´ 60¢ = 21.6¢ ,
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0.6 ´ 60¢¢ = 36¢¢ ,
\18.36° = 18°21¢36¢¢ , 故答案为:18,21,36.
16.(3 分)已知线段 AB ,点C 为线段 AB 的中点,点 D 在直线 AB 上,且 BD = 1 BC ,若
2
AB = 12 .则CD 的长是 9 或 3 .
【解答】解:分两种情况:
当点 D 在点 B 的右侧时,如图:
Q点C 是线段 AB 的中点, AB = 12 ,
\CB = 1 AB = 6 ,
2
Q BD = 1 BC ,
2
\ BD = 3 ,
\CD = CB + BD = 9 ,
当点 D 在点 B 的左侧时,如图:
Q点C 是线段 AB 的中点, AB = 12 ,
\CB = 1 AB = 6 ,
2
Q BD = 1 BC ,
2
\ BD = 3 ,
\CD = CB - BD = 3 ,
\线段CD 的长为 9 或 3, 故答案为:9 或 3.
三、解答题(共 72 分)
17. 计算:
(1) -2 ´ (-5) + 4 - (-28) ¸ 4 ;
(2) -32´ | - 2 | +(-1)2021 - 5 ¸ (- 5 ) .
9 4
【解答】解:(1)原式 = 10 + 4 + 7
= 21 ;
(2)原式= -9 ´ 2 - 1 - 5 ´ (- 4)
9 5
= -2 - 1 + 4
= 1.
18. 解方程:
(1) 2(3x - 6) = 4 - x ;
(2) 3x - 1 - 5x - 7 = -1.
4 6
【解答】解:(1)去括号得: 6x - 12 = 4 - x ,移项合并得: 7x = 16 ,
解得: x = 16 ;
7
(2)去分母得: 3(3x -1) - 2(5x - 7) = -12 , 去括号得: 9x - 3 - 10x + 14 = -12 ,
移项合并得: -x = -23 ,
解得: x = 23 .
19. 如图,已知正方形网格中的三点 A , B , C ,按下列要求完成画图和解答:
(1) 画线段 AB ,画射线 AC ,画直线 BC ;
(2) 取 AB 的中点 D ,并连接CD ;
(3) 根据图形可以看出: Ð ADC 与Ð 互为补角.
【解答】解:(1)如图,线段 AB ,射线 AC ,直线 BC 即为所求;
(2) 如图,线段CD 即为所求;
(3) ÐADC 与ÐCDB 互为补角. 故答案为: ADC , CDB .
20.已知: A = 2a2 + 3ab - 2a - 1 , B = -a2 + ab - 1
(1)求 4 A - (3A - 2B) 的值;
(2)若 A + 2B 的值与 a 的取值无关,求b 的值.
【解答】解:(1) 4 A - (3A - 2B) = A + 2B
Q A = 2a2 + 3ab - 2a - 1 , B = -a2 + ab - 1,
\原式= A + 2B
= 2a2 + 3ab - 2a -1 + 2(-a2 + ab -1)
= 5ab - 2a - 3 ;
(2)若 A + 2B 的值与 a 的取值无关, 则5ab - 2a - 3 与 a 的取值无关,
即: (5b - 2)a - 3 与 a 的取值无关,
\ 5b - 2 = 0 ,
解得: b = 2
5
即b 的值为 2 .
5
21. 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段达到节水的目的,该市自来水收费的价目表如表(注: 水费按一个月结算一次):请根据价目表的内容解答下列问题:
价目表
每月用水量(m3 )
单价(元/m3 )
不超出 26m3 的部分
3
超出 26m3 不超出34m3 的部分
4
超出34m3 的部分
7
(1) 填空:若该户居民 1 月份用水 20 立方米,则应收水费 60 元;若该户 2 月份用水
30 立方米,则应收水费 元;
(2) 若该户居民 3 月份用水 a 立方米(其中 a > 34) ,则应收水费多少元?(结果用含 a 的代数式表示)
(3) 若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ,求该户 4 月份用水量是多少立方米?
【解答】解:(1) 3 ´ 20 = 60 (元) ,
3 ´ 26 + 4 ´ (30 - 26)
= 3 ´ 26 + 4 ´ 4
= 78 + 16
= 94 (元) .
故答案为:60;94.
(2)依题意得:应收水费为3 ´ 26 + 4 ´ (34 - 26) + 7( a - 34) = (7 a -128) 元.
(3)设该户 4 月份用水量是 x 立方米. 当 26 < x34 时, 3 ´ 26 + 4( x - 26) = 3.8x , 解得: x = 130 (不合题意,舍去);
当 x > 34 时, 7x - 128 = 3.8x ,
解得: x = 40 .
答:该户 4 月份用水量是 40 立方米.
22. 如图,在数轴上点 A 表示的数为 a ,点 B 表示的数为b ,且 a ,b 满足| a +10 | +(b - 5)2 = 0 .
(1) a = -10 , b = ;
(2) 点C 在数轴上对应的数为 10,在数轴上存在点 P ,使得 PA + PB = PC ,请求出点 P 对应的数;
(3) 点 A 、 B 分别以 2 个单位/ 秒和 3 个单位/ 秒的速度同时向右运动,点 M 从原点O 以5 个单位/ 秒的速度同时向右运动,是否存在常数 m ,使得3AM + 2OB - mOM 为定值,若存在,请求出 m 值以及这个定值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)Q| a + 10 | +(b - 5)2 = 0 ,
\ a + 10 = 0 , b - 5 = 0 ,
\ a = -10 , b = 5 , 故答案为: -10 ,5;
(2) 设 P 点表示的数为 x ,
Q PA + PB = PC ,
\| x - (-10) | + | x - 5 |=| x - 10 | ,
解得: x = -15 或 x = -5 ,
\满足 PA + PB = PC 的 P 所对应的数是-15 或-5 ;
(3) 存在,
设经过t 秒运动,则 A 运动后表示的数是-10 + 2t , B 运动后表示的数是5 + 3t , M 运动后表示的数是5t ,
\ AM = 5t - (-10 + 2t) = 3t + 10 , OB = 5 + 3t , OM = 5t ,
\3AM + 2OB - mOM = 3(3t + 10) + 2(5 + 3t) - m × 5t = (15 - 5m)t + 40 ,
\15 - 5m = 0 ,即 m = 3 时, 3AM + 2OB - mOM 的值是定值,定值为 40.
23. 将两块直角三角板的顶点 A 叠在一起,已知ÐBAC = 30° ,ÐDAE = 90° ,将三角板 ADE
绕点 A 旋转,在旋转过程中,保持ÐBAC 始终在ÐDAE 的内部.
(1) 如图①,若ÐBAD = 25° ,求ÐCAE 的度数.
(2) 如图①, ÐBAE 与ÐCAD 有什么数量关系,请说明理由.
(3) 如图②,若 AM 平分ÐBAD , AN 平分ÐCAE ,问在旋转过程中, ÐMAN 的大小是否发生改变?若不变,请说明理由;若改变,请求出变化范围.
【解答】解:(1)Q ÐBAC = 30° , ÐDAE = 90° , ÐBAD = 25° ,
\ÐCAE = ÐDAE - ÐBAC - ÐBAD = 35° ;
(2) 由题意得: ÐBAE = ÐCAE + ÐABC , ÐCAD = ÐBAD + ÐBAC ,
\ÐBAE + ÐCAD = ÐCAE + ÐABC + ÐBAD + ÐBAC = ÐDAE + ÐBAC = 120° ;
(3) ÐMAN 的大小不改变,理由如下:
Q AM 平分ÐBAD , AN 平分ÐCAE ,
\ÐBAM = 1 ÐBAD , ÐCAN = 1 ÐCAE ,
2 2
QÐMAN = ÐBAM + ÐBAC + ÐCAN ,
\ÐMAN = 1 ÐBAD + ÐBAC + 1 ÐCAE
2 2
= 1 (ÐBAD + ÐCAE) + ÐBAC
2
= 1 (ÐDAE - ÐBAC) + ÐBAC
2
= 1 ´ (90° - 30°) + 30° 2
= 30° + 30°
= 60° .
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