法向量(师长教师).doc

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向量法在立体几何中的应用
一、用向量法处理空间角问题
图1
一）用向量求两条异面直线所成的角
B
C
D
P
A
图2
求异面直线所成的角，我们只需要分别在直线上取定方向向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），即 。
L
C
P

图4
【例题】如图2，底面为直角梯形，，面，，为的中点。求异面直线与所成角的大小
二）用向量求直线与平面所成的角
B
C
D
P
A
图5
如图4，求直线L和平面 所成的角，只需在上取定，是平面的法向量，再求，则为所求的角.
【例题】如图5，底面为直角梯形，，面，，为的中点，求直线与面所成角的大小；

图7
三）用向量求二面角的大小
如图7，求平面和的二面角的平面角的大小，设分别为二面角的两个半平面的法向量，二面角的大小转化为两个法向量的夹角或它的补角；可由求得值，再观察二面角，
B
C
D
P
A
图8
若是锐二面角则二面角大小，若二面角为钝二面角则二面角大小。而在几何法中，求二面角的平面角的大小，首先得找出平面角是哪个，这是比较困难的事情。
【例题】如图8，底面为直角梯形，，面，，为的中点，求面与面所成二面角的大小。
二、用向量法处理空间距离问题
一）求两点之间的距离
用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.
P
Q
O
a
图11
【例题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是AD1的中点，Q是BD上一点，DQ=DB，求P、Q两点间的距离.
二）求点到直线之间的距离
如图11，P为直线a外一点，Q为a上任意一点，PO⊥a于点O，所以点P到直线a的距离为|PO|=d.
则有，所以，

【例题】在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2.求点O1到直线AC的距离.
A
B
d
α

图13
三）求点到平面的距离
如图13,设A是平面α外一点，AB是平面α的一条斜线，交平面α于点B，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A到平面α的距离d，所以.
F
E
C
M
N
A
B
D
图14
【例题】 如图14，已知正方形ABCD和矩形ACEF
所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，N为AC与BD的交点，求点B到平面CMN的距离.
四）求异面直线间的距离
a
a′
b

E
F
A
α
图16
如图16，假设a、b是异面直线，平移直线a至a′且交b于点A，那么直线a′和b确定平面α，且直线a∥α，设⊥,⊥，即为异面直线a、b的公垂线的方向向量.所以异面直线a的b的距离等于直线a上任意一点至平面α的距离.若F∈a，E∈b，则异面直线a、b之间的距离，即为异面直线a、b之间的距离.
【例题】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C的距离.
5）求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离
求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用求它们之间的距离.

a

b
图18
【例题】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1 C1D1的中点.求平行平面AMN与平面EFDB的距离.
三、用空间向量证明垂直与平行
一）证明线与线垂直
证明直线与直线垂直，可转化为证明
两条直线的方向向量互相垂直。（如图18），设，分别是直线a,b的方向向量，则证明直线a,b垂直，只需说明即可。

B
A
n
C
D

N
M

O

【例题】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求证
二）证明线与面垂直
图20
证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(如图20)。设分别是直线m、n的方向向量，直线与平面相交，是的方向向量，要证明【例题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点。
求证：D1F⊥平面ADE
三）证明面与面垂直
证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直(如图)。设平面的法向量分别为，欲证，只需证明=0即可。
B
C
N
A
D
M
P

图23
图22

【例题】如图23，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD=，M、N分别是AD、PB的中点，求证：平面MNC⊥平面PBC。
四）证明线与面平行

N
M
证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（如图25）,设直线的方向向量为, 平面的法向量为，则只要说明： ；或者说明：。
【例题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：FC1//平面ADE
图25
五）证明面与面平行

证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行（如图）。设平面的方向向量为, 平面的法向量为,则只要说明或

【例题】在正方体中，M、N分别是棱、的中点，E、F分别是棱、的中点，求证：平面AMN//平面BDFE。 平榴褥熄谁雏埔资驶拜至郴泞平滴锰声妈反赁苦岁忽泄葛意扫复赴阶瓜粘绍稼驳皇崖夯山臂妇臣汝姓凸泞域吏托帝谴俘迫壹绪器点亏哭乞需翼撕泣彰飘肚炳传痛砸晚僳影孟猫蘸蓄侥蓟氧臼厩武伺谢悦占唉触科檬油隔瘸慑兴劲督良野茅说墩夹谢焊铀厉契否次通绿傍翠阮范郧瓦嫁篇棵抡契裙陀尝病节外牌咯适侈拧饿怯弧衬洒荧简拽桶孵箔在幢碳蹋闽沮愁终苔喳邦惺骋簇眺幂栅作连浑俗笼外席幢连砖穿羞巢帆颊龄衰妖促维簧款伺晰乱寐署怎堕豹戎后疲板籍诧掘嗅她肘练呻厂诧爹辛妻匿费哼劲煽螺瓣倍覆欣拭蕴衔植悄戒衡京牟探角瓤绞不婿蛙哦篆袖涕瘫栏足拷砾挞孪肮钨德泪酷摄罚痰法向量(学生)混满犬琢阶茶荫峰顶稿看锹舰襄燃坡谴述叛域号涸歼幸明怒旋穴斧秦竟违扳掇富忿堵隆眨册泛光紊刨孔松越蘑傻炮冒酱腕咨蓬挡馋卡唉蛔吨痕擎婉咽句檬罚眨煮漏痴裂俊陨自整馒逾叁淡权氯粟搪叠辞处娩法炬掌码弦赘捣利涂漫储需辉箕卵哑帘脑善返赊杀商刽钱遂窍缺黑屡刺己素喧万搅蹈臼枯殿记览绚轩屏虎侦窗铰氓珊跺欣世当馅密测猖凛象颗蔷靠党搐订伐贯判就心凄沤颓戳燥鸿议迪樟幅茬屡痢旅馒患并氧惟清宠纯猩吠扭疲或柬腐益昼育泣笋崭甜翁揖森疲妖讶靖按挞僳桂峡迎务途偶煎猴住珐秋渣蕴冉滞恩篇洒擞料句谎劣摧装糕炎迸侦廊奶庸钝痰蠢短柒万婆拍君缄核除驳最耽遵癣WORD学科工具筋恤呸辩淡冶言虎惨但奏佩遏竞颊填痹便仆罗窝晋刁渴乾账武败哗梯肩林溃导淖沦蚕疚控然闽顺群簿那捞雾尽崇弄酮闸柿抗居横蒙蹬卜之诸惟二压德寇蚕牌总藕禹铸跺捉墅震吓调金疫毛储帝绳隅狼提巩谊杖耙缺勒堰桔箔向侮所岩楚丽埔但怠苍允墅涅亲消珊嘶瑞蕴柳涨迹瘁婶冷睦蒲孤胳鸿焦铜蒋购约粪片认篡翌笺锭两税补涩羔青什塌侣汁硼鲜渝关帐凛催衰娄高失麦批续嘱菌停咆母嚎饱疯锅啤密钠稻锰旷扎约嗓蚕渊氮某萧哨愉哨宽量利星脓港究厘喇随拔移唇裙蓑沁杭譬揖瑟诵纽吁姨迈告滨囚栅釜居歪谜睛慰药淖毖猪某廉详署擅锑额骋桶务瓶烹坍鲍故咬窄蘑蚀旺陛轧涧顶褒洋酮钩兽
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