一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案).doc

一元二次方程
本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：
建立一元二次方程
此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题， [课时作业]的第6、7题。
１． 一元二次方程的概念
此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
2.一元二次方程的解的含义
利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
点击一：一元二次方程的定义
答案： （5）
针对练习 。
答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故m≠－3
点击二：一元二次方程的一般形式
元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.
针对练习3:
答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).
点击三：一元二次方程的根的定义的意义
一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c＝0（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c＝0（a≠0）成立，则m一定是ax2+bx+c＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.
针对练习
答案： m3+2m2+2009＝m3+ m2+m2+2009＝m（m2+ m）+ m2+2009＝m+ m2+2009＝1+2009＝2010.
类型之一：一元二次方程的定义
例1.关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？
【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.
【解答】由mx2－3x=x2－mx+2得到（m－1）x2+（m－3）x－2=0,所以m－1≠0，即m≠1.所以关于x的方程是一元二次方程，m应满足m≠1.
【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.
类型之二：考查一元二次方程一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数c叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。
例2一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是 .
【解析】一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2－x－7=0。
【解答】2x2－x－7=0
类型之三：考查一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。
例3已知关于x的一元二次方程（m－2）x2+3x+（m2－4）=0有一个解是0，求m的值。
【解析】；因为0是方程的解，所以m2－4=0，m=±2。又因为方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数m－2≠0、m≠2，所以m的值是－2。
【解答】m=－2
【点拨】本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m－2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。
类型之四：综合应用
例4. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是　　　　　　（只需写出一个方程）
【解析】这是一道结论开放题，答案不唯一，解这类题的一般思路有两种：一种思路是根据根的定义，写一个含有1的等式，例如，再把1换成x：；也可根据等式性质，由x=1，可得x+2=1+2，两边再平方得即可。
【解答】答案不唯一。例如：等。
1.下列方程中的一元二次方程是( )
A.3(x+1)2=2(x－1) B.+－2=0
C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x－1)
【解析】A 注意一元二次方程中二次项系数不能为0,并且最高为二次.
2.把方程－5x2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( )
A.x2+x+=0 B.x2－6x－3=0 C.x2－x－=0 D.x2－x+=0
【解析】C 注意方程两边除以－5,另两项的符号同时发生变化.
3. 已知关于x的方程(m－3)－x=5是一元二次方程，求m的值.
【解析】利用一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为0的条件.
【解答】由题意,得m2－7=2且m－3≠0，所以只能取m=－3，即当m=－3时，方程(m－3)－x=5是一元二次方程.

1.将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )
A. 3,2,－1 B. 3,－2,－1 C. 3,－2,1 D. －3,－2,1
【解析】C 将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式，可化为3x2－2x＋1＝0.
2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________.
①x2＋2x＋y＝1 ②－5x2＝0 ③x2－1=3x
④（m2＋1）x＋m2＝6 ⑤3x3－x＝0 ⑥x2+－1=0
【解析】判断一个方程是否是一元二次方程,必须具备以下三个条件：①方程中只含有一个未知数；②方程中未知数的最高次数是2；③方程两边都是关于未知数的整式方程.
【答案】②③
3.已知方程(m+2)x2+(m+1)x－m=0，当m满足__________时，它是一元一次方程；当m满足___________时，它是一元二次方程.
【解析】当m＋2＝0，m＝－2时，方程是一元一次方程；当m＋2≠0，m≠－2时，方程是二元一次方程.
【答案】m＝－2 m≠－2
4.把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.
【解析】题中方程不是一般形式，应先去括号、移项、合并同类项，将方程化为一般形式.在化的时候，移项要变号，合并同类项要准确.
【解答】一般形式为x2－3x+2=0，它的二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为2.

1. a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足+(b－2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.
【解析】此题关键是理解算术根、完全平方数和绝对值的意义，即≥0，(b－2)2≥0，|a+b+c|≥0，只有使各项为0时，其和才为0.本题考查了对已学知识的掌握情况，同时与新学的一元二次方程知识密切联系.
【解答】由+(b－2)2+|a+b+c|=0，
得解得a=1,b=2,c=－3.
∵a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，
∴所求的方程为x2+2x－3=0.
课时作业：
7．填表：
方程
x2－1=2x
x－x2=0
6－3y2=0
（x－2）（2x+3）=6
一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

8．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解：
（1）x2+5x+4=0 （x1=－1，x2=1，x3=－4）；
（2）（3x－1）2=3（x+2）2=7－6x （x1=3，x2=2，x3=1，x4=－1）．

9．根据题意，列出方程：
有一面积为60m2的长方形，将它的一边剪去5m，另一边剪去2m，恰好变成正方形，试求正方形的边长．

10．当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=x2－（x+1）是关于x的一元二次方程？当m 取何值时，方程m（x2+x）=x2－（x+1）是一元一次方程？

B等级
11．把方程化成一般形式是 ．
12．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ．
13．已知是方程的一个根，则 ．
14．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ．
15．已知的值为，则代数式的值为 ．
16．下列关于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．
18．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
19．已知是关于的方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
20．如下图所示，相框长为10cm，宽为6cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：
（1）若设相框的边缘宽为，可得方程 （一般形式）；
（2）分析并确定的取值范围；
（3）完成表格：

0
1
2
3
（1）中

（4）根据上表判断相框的边框宽是多少厘米？

C等级
21. 关于x2=－2的说法，正确的是 （ ）
A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程
B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C.x2=－2是一个一元二次方程
D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解
22. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
23．无论a为何实数，下列关于的方程是一元二次方程的是（ ）
A．(a2－1)x2+bx+c=0 B.ax2+bx+c=0
C． a2x2+bx+c=0 D.(a2+1)x2+bx+c=0
24. 方程x2+x－x+1=0的一次项系数是（ ）
A． B.－1 C.－1 D.x－x
25. 把方程整理为的形式，并指出各项的系数.

26. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的元降到了元，设平均每次降价的百分率为，则列出方程为_________________________________.
27. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图17②，地毯图案长8米、宽6米，整个中央的矩形地毯的面积是40平方米．求花边的宽

28. 若，求的值。

课前预习
1．利用平方根的定义，将方程直接开平方，所得方程的解为（ ）
A． B。
C． D。
2.用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．

答案：
课时作业：
1．C
2．D
3．C
4．－；－2
5．－5
6．（1）8－x；x（8－x）=12 （2）x2+x2=1
7．
方程 x2－1=2x x－x2=0 6－3y2=0 （x－2）（2x+3）=6
一般形式 x2－2x－1=0 －x2+x=0 －3y2+6=0 2x2－x－12=0
二次项系数 1 －3 2
一次项系数 －2 1 0 －1
常数项 －1 0 6 －12
8．（1）x1=－1，x3=－4是原方程的解，x2=1不是原方程的解．
（2）x1=3，x4=－1是原方程的解，x2=2，x3=1不是原方程的解．
9．设正方形的边长为xm，（x+5）（x+2）=60
10．当m≠时，原方程是关于x的一元二次方程；当m=时，原方程是一元一次方程．
11．
12．
13．
14．
15．7
16．A
17．C
18．B
19．C
20．（1）；（2）；（3），，，；（4）1cm．
21. D
22. C
23. D
24. C
25. (2k－3) x2+（3k－6）x+ k+2=0,二次项系数2k－3，一次项系数3k－6，常数项k+2。
26.
27. (8－2x)(6－2x)=40
28. （提示：在利用方程解有关代数式求值问题时,可用整体代入的方法求解,把变为x2－ x=2代入代数式中求值.）
课前预习
1. C
2. D
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