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圆周运动问题分析
【专题分析】
圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动结合（衰变后在磁场中做圆周运动）。可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。
不论圆周运动题目到底和什么知识相联系，我们都可以把它们分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种。同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。
1、匀速圆周运动
匀速圆周运动的规律非常简单，就是物体受到的合外力提供向心力。只要受力分析找到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。
2、竖直面内的非匀速圆周运动
物理情景：在重力作用下做变速运动，最高点速度最小，最低点速度最大，所以最高点不容易通过。
特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”，
其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”，
整个过程中机械能守恒。
注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。
另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。
基本解题方法：
1、涉及受力，使用向心力方程；
2、涉及速度，使用机械能守恒定律或动能定理。
A
B
图3-2-1
【题型讲解】
题型一 匀速圆周运动问题
例题1：如图所示，两小球A、B在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面，若两小球的质量相同，圆周半径关系为rA>rB，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期以及向心力、支持力的关系如何？（只比较大小）
A
B
图3-2-2
解析：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-2所示，由几何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。
两小球圆周运动的向心力相等，半径关系为rA>rB，
由公式，可得vA>vB；
由公式，可得ωA<ωB；
由公式，可得TA>TB；
A
B
C
O
图3-2-3
［变式训练］如图3-3-3所示，三条长度不同的轻绳分别悬挂三个小球A、B、C，轻绳的另一端都固定于天花板上的P点。令三个小球以悬点下方的O点为圆心，在水平面内做匀速圆周运动。则三个小球摆动周期的关系如何？
（答案：）
[思考与总结]

题型二 重力作用下的竖直面内的圆周运动
例题2：用一根长为L的轻绳将质量为m的小球悬挂在O点，使小球处于静止状态，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I0，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I0应满足什么条件？
解析：小球受到水平冲量后，获得水平向右的速度，之后小球在竖直面内运动，且绳上始终有拉力，包括两种情况。
第一种情况：小球做完整的圆周运动，即小球可以通过最高点。
在最高点，由向心力方程 ，
可知
小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理

在小球受到瞬时冲量时，由动量定理

由以上三式可得
第二种情况：小球做不完整的圆周运动，由于绳子不能松弛，所以只能在O点下方来回摆动，其最高点不能超过O点，并且不能包括O点，因为刚好摆到O点时，小球速率为零，由向心力方程可知，拉力为零。
小球在O点下方摆动。刚好能摆到与O点等高时，由动能定理

在小球受到瞬时冲量时，由动量定理

由以上两式可得
A
B
R
O
h
图3-2-4
因此，冲量I0应满足的条件为或。
［变式训练］内侧光滑的3/4圆弧轨道AB竖直放置，半径为R，如图3-2-4所示。一小球自A点正上方由静止释放。为使小球由A点进入轨道后能到达B点，小球下落的高度h至少为多少？
(答案：h=1.5R)
[思考与总结]

题型三 天体的圆周运动
例题3：（06广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析：（1）第一种形式下，三星共线，中央星不动，边缘星受到其它两星的万有引力做圆周运动。由万有引力定律和牛顿第二定律，得：

图3-2-5
　　　（2）第二种形式下，三颗星组成等边三角形，转动的圆心在三角形的中心，向心力由其它两星对其的合力提供，如图3-2-5所示。设三角形的边长为l，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：
°＝
星体之间的距离为：
［变式训练］我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为　　[ ]　
A．0.4km/s 　 　　　B．1.8km/s 　　　　　　　
C．11km/s 　　　D．36km/s

(答案：B)
[思考与总结]

题型四 电场中的圆周运动
R
E
v0
m q
图3-2-6
例题4：竖直面内有一光滑圆环轨道，轨道半径为R，处于水平向右的匀强电场中。一质量为m带+q电量的小球以初速度v0由圆环最低点开始运动，如图所示。若小球所受电场力为重力的0.75倍。求：若令小球能做完整的圆周运动，则小球的初速度v0的最小值为多少？运动过程中速度的最小值为多少？
E
图3-2-7
A
B
θ
解析： 小球在运动过程中，同时受到重力和电场力作用，当两力的合力与小球所在位置对应的半径共线时，其运动的速度为最大值或最小值，如图3-2-7所示，小球在B点速度最小。所以小球能做完整的圆周运动，需要能够过B点。电场力为重力的0.75倍，由几何关系可知θ=37°。当小球刚好能经过B点时，环对小球的弹力为零，有

此时小球在最低点所需的速度v0为最小值，对小球从最低点运动到B点应用动能定理

两式联立可得

A
C
B
θ
图3-2-8
［变式训练］如图3-2-8所示，由长度为L的轻绳系一质量为m的小球，将小球拉至轻绳处于水平位置A时释放，整个装置处于水平向右的匀强电场，小球能摆到竖直方向左侧且轻绳与竖直方向夹角为θ的B点，则当小球从B摆到C点时，绳上的拉力大小为多少？
(答案：)
[思考与总结]

题型五 正交的电磁场中的圆周运动
× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×
E
B
P
RA
RB
图3-2-9
例题5：如图所示是匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电场方向竖直向下，场强为E，磁场的方向水平指向纸内、磁感应强度为B。在该复合场中有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两个小球间的库仑力可以忽略），运动轨迹如图。已知两个带电小球A和B的质量关系为，运动轨迹半径的关系为。
（1）试说明小球A和B分别带那种电荷？它们所带的电荷量之比等于多少？
（2）设带电小球A和B在轨道最低点P相碰撞，若碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后的轨道半径（设碰撞过程中电量不发生转移）。
解析：（1）带点小球受到恒定的电场力和重力作用，同时受到洛伦兹力，只有在重力与电场力等大反向时，才能做匀速圆周运动。由图电场方向向下，可知，两小球一定带负电。

所以
（2）小球在P点所受洛伦兹力向上，由左手定则可判断小球的运动均为顺时针方向，即两小球在P点相撞前，速度方向相同。
对小球，洛伦兹力提供向心力

半径关系
可得
碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，即其运动半径加倍，可得B碰后其速度加倍，
碰撞过程中，由动量守恒定律

可得
所以A球碰后运动半径
M
N
R
A
B
a
b
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
图3-2-10
[变式训练] 如图3-2-10所示，MN为相距30cm的光滑平行金属导轨，ab为电阻r等于0.3Ω的金属棒，且可以紧贴平行导轨运动，相距为27cm的水平放置的金属板A、B与导轨相连，图中R为0.1Ω的定值电阻，导轨的电阻忽略不计，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，当ab杆沿导轨向右匀速运动时，一带电粒子刚好能在AB板间以与ab杆相同的速率做半径为11.1cm的匀速圆周运动，试求金属杆向右匀速运动的速度（取整数答案）.
(答案：v = 2m/s )
[思考与总结]

【强化训练】

A
B
图3-2-11
1、如图3-2-11所示，将完全相同的两小球A、B，用长L=0.8 m的细绳悬于以v = 4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为(取g=10 m/s2)（ ）
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
A
B
图3-2-12
2、如图3-2-12所示，在光滑的水平面上钉相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上．开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是( )
A．0.9s B．1.8s
C．1.6s D．0.8s
3．用m表示地球通信卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受的地球对它的万有引力的大小等于 （ ）
A．0 B．
C． D．以上都不正确
O
E
v0
L
m
图3-2-13
4、如图3-2-13所示，质量为m，带电量为q（q >0）的小球，用一长为L的绝缘细线系于一匀强电场中的O点，电场方向竖直向上，电场强度为E，试讨论小球在最低点要以多大的水平速度v0运动，才能使带电小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动？

h
L
m
m
O
图3-2-14
5、如图3-2-14所示， 两个质量均为0.1kg的小球用长为1m的不可伸长的轻线相连，将轻线水平拉直，并让两球静止开始同时自由下落，下落h高度后，线的中点碰到水平的钉子O上，如果轻线能承受的最大拉力为19N，要使轻线能被拉断，h至少应为多大？ （g=10m/s2）

M
m
r
o
图3-2-15

6、在质量为M的电动机上，装有质量为m的偏心轮，其示意图如图3-2-15所示。偏心轮转动的角速度为ω，当偏心轮重心在转轴的正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离 r 多大？在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大?

7、北京时间11月5日上午11时37分，嫦娥一号在月球捕获点实施首次关键的近月点减速，卫星成功进入绕月轨道，成为中国首颗绕月卫星。设嫦娥一号在距月球表面280km的轨道上做匀速圆周运动，月球的半径为3470km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的。求嫦娥一号在此轨道上运行的速度。（地球表面处g取10m/s2）

E
L
θ
图3-2-16

8、如图3-2-16所示，一个质量为m带+q电量的小球，用长L的绝缘细线悬吊在竖直向下的场强为E的匀强电场中。如果将细线拉至与竖直方向成θ角，然后将小球无初速释放。求小球运动到最低点时细线的拉力多大？

A
B
E
C
图3-2-17
9、如图3-2-17所示，半径为R的环状非金属管竖直放置，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB以下处于水平向左的匀强电场中。现将一质量为m，带电量为q的小球从管中A点由静止释放，小球恰好能通过最高点C，求:
(1)匀强电场的场强E；
(2)小球第二次通过C点时，小球对管壁压力的大小和方向。

圆周运动问题分析答案

1、C 2、D 3． BC 4、当Eq<mg时，；当Eq=mg时，；
当Eq>mg时， 5、h=4m 6、；
7、v=2.3×103m/s 8、 9、；，方向向上