高三数学导数及其应用人教实验版(B)-知识精讲.doc

高三数学导数及其应用人教实验版（B）

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
导数及其应用

二. 教学重点
导数及其应用

三. 高考要求
1. 导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
②通过函数图像直观地理解导数的几何意义．
（2）导数的运算
①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x的导数；
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；
③会使用导数公式表．
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．
（4）生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．
2. 命题走向：
导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题．在高考中考查形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考查基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2008年高考将继续以上面的几种形式考查，不会有大的变化：
（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考查，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；
（2）07年高考已涉及导数综合题，以导数为数学工具考查．

四. 教学过程
（一）知识点回顾
1. 导数的概念
函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=．
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|．
即f（x）==．
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数．
（2）是自变量x在x处的改变量，当时，而是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x)=．
2. 导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率．也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）．相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）．
3. 常见函数的导数公式.
（1）（C为常数） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
4. 两个函数的和、差、积、商的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，
即：(
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数，则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：′=（v0）．
5. 导数的应用
（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；
（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值．①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值．

【典型例题】
例1. 已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、3.0001秒……各段内的平均速度；（2）求t=3秒时的瞬时速度．
解：（1）指时间改变量；
指时间改变量．
　　．
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限
v= =
=（6+=3g=29.4(米/秒)．

例2. （1）求的导数；
（2）求的导数；
（3）求的导数；
（4）求y=的导数；
（5）求y=的导数．
解：（1），
（2）先化简，

（3）先使用三角公式进行化简.

（4）=；
（5）y=－x＋５－
=3（x）＇－x＇＋5＇－9）＇=３×－1＋0－9×（－）=．
点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后再进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

例3. （06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处的导数为4，此点的切线为，故选A；

例4.（06全国II）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）
A. B.
C. D.
解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得=0或－4，代入可验证D正确，选D．
点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率．

例5. （1）（06湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)=r2，周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)′=2r①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②；②式可以用语言叙述为： ．
（2）（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 ．
解：（1）V球=，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”；
（2）曲线和在它们的交点处坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是．
点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果．

例6. （1）（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ）
A. f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
C. f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
（2）（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

解：（1）依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）在x=1处取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C；
（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A．
点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域．导函数的正负对应原函数的增减．

例7. （06浙江卷）在区间上的最大值是（ ）
A. －2 B. 0 C. 2 D. 4
解：，令可得x=0或2（2舍去），当－1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，所以当x=0时，f（x）取得最大值为2．选C；

例8. （06山东卷）设函数f(x)=
（I）求f(x)的单调区间；
（II）讨论f(x)的极值．
解：由已知得，令，解得．
（I）当时，，在上单调递增；
当时，，随的变化情况如下表：

0

+
0

0

增
极大值
减
极小值
增
从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．
（II）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．

例9. （06广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点．求：
（I）点的坐标；
（II）动点的轨迹方程．
解：（I）令解得；
当时，，当时，，当时，．
所以，函数在处取得极小值，在处取得极大值
故，．
所以，点A、B的坐标为．
（II）设，，
，
所以．
又PQ的中点在上
所以，消去得．
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题．

例10. （06江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解：设OO1为x m，则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）．
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：

帐篷的体积为（单位：m3）：

求导数，得；
令解得x=－2(不合题意，舍去)，x=2．
当1<x<2时，，V(x)为增函数；当2<x<4时，，V(x)为减函数．
所以当x=2时，V(x)最大．
答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用．

【模拟试题】
1. 函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是
A. x2－x+1 B. （x+1）（2x－1） C. 3x2 D. 3x2+1
2. 函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则
A. 0<b<1 B. b<1 C. b>0 D. b<
3. 已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是
A. －37 B. －29
C. －5 D. 以上都不对
4. 曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x+y+3=0，则
A. （x0）>0 B. （x0）<0
C. （x0）=0 D. （x0）不存在
5. 函数f（x）=ax3+3x2+2，若（－1）=4，则a的值等于________．
6. 曲线y=2x2+1在P（－1，3）处的切线方程是________________．
7. 已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________．
8. 设函数f（x）=x3－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则实数m的取值范围是________．
9. 如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y=f（x）在区间（－3，－）内单调递增；
②函数y=f（x）在区间（－，3）内单调递减；
③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；
④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；
⑤当x=－时，函数y=f（x）有极大值．
则上述判断中正确的是________．
10. 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.
11. 已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在［－3，1］上的最值．

【试题答案】
1—4 CAAB
5. 6. 4x+y+1=0 7. －12 8. 9. ③
10. （1）f（－1）极大；f（1）极小
（2）9x－y+16=0
11. （1）
（2）

用心 爱心 专心