猜想证明与拓广.doc

课题学习——猜想、证明与拓广
设计思路
《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题——图形“倍增”，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。
教学目标：1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。
3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程
教学难点：在问题解决过程中综合运用所学知识
一.世界三大几何难题
平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题.
1.化圆为方
2.三等分任意角
对于某些角如900、1800三等分并不难,但是否所有角都可以三等分呢？例如600,若能三等分则可以做出200的角,那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为3600/18=200）.
其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的.
3.倍立方
倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍

这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.
1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .
二．猜想，证明与拓广
1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?
l 你准备怎么去做?
l 你是怎么做的?
l 你有哪些解决方法?
l 你提出新的问题吗?
解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.
若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;
若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为 a.
无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
2. 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍?
解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.
所求矩形的周长和面积应分别为12和4.
l 接下来该怎么做?你有何想法?
l 有两种思路可供选择:
l 先从周长是12出发,看面积是否是4;
l 或先从面积是4出发,看周长是否是12.
(1)从周长是12出发,看面积是否是4;
如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为 x(6-x).根据题意,得
x(6-x)=4.
即 x2-6x+4=0.
如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.
解这个方程得:

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
(2)从面积是4出发,看周长是否是12.
解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为2(x+4/x).根据题意,得
x+4/x=6.
即 x2-6x+4=0.
显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在.
解这个方程得:

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
l 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?
l 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢?
l 更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论?

分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.
从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;
解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为 x[2(m+n)-x].根据题意,得
x[2(m+n)-x]=2mn.
即 x2-2(m+n)x+2mn=0.

结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
在探索结论:“任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.”的过程中,我们经历了猜想,由特殊到一般的尝试,证明,拓广的全过程,从而得到了一般性的结论.
3.任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?
认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形 的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.
l 如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?
l 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?
l 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢?
解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为3和1.设所求矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).根据题意,得
x(1.5-x)=1.
如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.
由b2-4ac=32-4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实数根.
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
解:当如果矩形的长和宽分别为3和1,4和1,5和1时.设所求矩形的长为x, 根据题意所得的方程均有没有实数根解,则说明这样的矩形不存在.
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
我们已经知道:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.这个结论是否具有一般性?
4.如果这个结论不具有一般性,那么当矩形的长和宽满足什么条件时,才存在一个新的矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?你能再找出这样的一个例子吗?
解:如果矩形的长和宽分别为6和1,那么其周长和面积分别为14和6,所求矩形的周长和面积应分别为7和3.设所求矩形的长为x,那么它宽为3.5-x,其面积为x(3.5-x).根据题意,得
x(3.5-x)=3.
即 2x2-7x+6=0.
由b2-4ac=72-4×2×6=1>0,知道这个方程有实数根:
结论:如果矩形的长和宽分别为6和1时.存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为m+n和mn/2.设所求矩形的长为x,那么它宽为(m+n)/2-x,其面积为x[(m+n)/2-x].根据题意,得
x[(m+n)/2-x]=mn/2.
即 2x2-(m+n)x+mn=0.
由Δ=b2-4ac=(m+n)2-4×2×mn=m2+n2-6mn.
知道只有当m2+n2≥6mn时,这个方程才有实数根:

结论:如果矩形的长和宽满足m2+n2≥6mn时.才存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.