资源描述
1. 有理数
（1） 有理数的分类：
第一章 有理数
1.2 有理数
ì ì正整数
ï正有理数í
ï
í
①按有理数的性质分类： 有理数ï零
î正分数
；
ï ì负整数
ï负有理数í
îï î负分数
ì ì正整数
ï ï
ï整数í零
í î
②按有理数的定义分类： 有理数ï ï负整数．
ï
ï ì正分数
分数í
îï î负分数
（2） 整数与 对应，正数与 对应， 既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数．在习惯上我们将 和 称为非负有理数，将 和 称为非正有理数，将 和 称为非负整数，将 和 称为非正整数．
（3） 所有 组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合．
（4） 因为小数可以化为 ，所以我们也把它们看成分数．
（5） 分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数又都可以化为分数．
2. 数轴
（1） 数轴的定义：在数学中，可以用 表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
①在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做 ；
②通常规定直线上从原点向右（或上）为 ，从原点向左（或下）为负方向；
③选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3，…； 从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，…
（2） 数轴的三要素： 、 、 ．
（3） 数轴的画法：
①画一条水平的 ．
②在直线上适当选取一点为 ．
③通常规定从原点向 为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）．
④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为 1，2，3，…， 从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示：
（4） 可以根据实际需要灵活选取单位长度．在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一．
（5） 数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数–a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a 个单位长度．
3. 相反数
（1） 相反数的定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 ．
（2） 注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 ．
（3） 相反数的判定与性质：求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“–”即可．若原数带符号， 则应先添加括号．判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为 ，若和为 0，则两个数互为 ，即若 a+b=0，则 a，b 互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是 0，即若 a，b 互为相反数，则 ．
（4） 多重符号的化简方法：①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数 ；②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的 ；③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为 时，结果取“+”，当“–”的个数为 时，结果取“–”．
4. 绝对值
（1） 绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的 叫做 a 的绝对值，记作 ．
（2） 绝对值的代数定义：
①一个正数的绝对值是 ；
②一个负数的绝对值是它的 ；
③0 的绝对值是 ．
ìa (a > 0)
ìa (a ³ 0)
í
î
即： a = ï0 (a = 0) 或
a = í-a
．
(a < 0)
î
ï-a (a < 0)
（3） 绝对值的性质：
①| a |³ 0 ，即| a |有最小值；
②若几个非负数的和为零，则每一个非负数 ；
③若|x|=a（a>0），则 x= ．
（4） 任何数都有绝对值，且只有一个，无论 a 取何有理数，都有|a|≥0，即任何一个有理数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0．
（5） 由绝对值的定义可知：当|a|=a 时，a 是正数或 0；当|a|=–a 时，a 是负数或 0．
（6） 互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等的两个数相等或互为相反数．
（7） 在数轴上，一个数对应的点离远点越近，它的绝对值越小；离远点越远，它的绝对值越大．
（8） 绝对值和四则运算“加减乘除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数（即去掉绝对值符号）．
K 知识参考答案：
1．（2）分数，负数，零，正有理数，零，正整数，负有理数，零，零，负整数，零（3）正整数（4）分数
2．（1）一条直线上的点，原点，正方向，单位长度（2）原点，正方向，单位长度（3）直线，原点，右
3．（1）符号，0（2）0（3）0 相反数，a+b=0（4）相等，相反数，偶数，奇数
4．（1）距离，|a|（2）它本身，相反数，0（3）都为零，±a
K—重点
（1）有理数的概念及分类；（2）数轴的定义及画法；（3）相反数的概念；（4）
绝对值的概念．
K—难点
（1）数轴上的点与有理数的关系；（2）多重符号的化简；（3）有理数大小的比
较．
K—易错
（1）有理数的分类；（2）数轴上的点与有理数的关系．
一、有理数的概念和分类
正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．
1. 按整数和分数的关系分类：
（1） 整数：正整数、0、负整数
（2） 分数：正分数、负分数
2. 按正数、0 和负数的关系分类：
（1）正有理数：正整数、正分数；（2）0；（3）负有理数：负整数、负分数
【例 1】下面说法正确的是
A．有理数是正数和负数的统称 B．有理数是整数
C．整数一定是正数 D．有理数包括整数和分数
【答案】D
【例 2】下列说法不正确的是
A．任何一个有理数的绝对值都是正数
B．0 既不是正数也不是负数
C．有理数可以分为正有理数，负有理数和零
D．0 的绝对值等于它的相反数
【答案】A
【解析】有理数包括：正有理数、负有理数和 0；0 既不是正数也不是负数；A，应是任何一个有理数的绝对值都是非负数，故错误；B、C、D 都正确．故选A．
二、数轴上的点和有理数
一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数–a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a 个单位长度．
【例 3】在数轴上，点 B 表示–5，从 B 点出发，沿数轴移动 3 个单位，则点 B 表示的数可能是 ．
【答案】–8 或–2
【解析】（1）当点 B 向左移动时，B 点表示的数为–5–3=–8；（2）当点 B 向右移动时，B 点表示的数为
–5+3=–2．
【名师点睛】向左移动用减法，向右移动用加法．
三、相反数
1. 几何意义：互为相反数 的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数．
2. 代数意义：互为相反数中，“相反”的意思是说“只有符合相反”，即两个数除符号不同外其余都是相同．例如：–3 和+1，虽然符号相反，但不互为相反数，而–3 和+3，–1 和+1 互为相反数．
3. 相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0 的相反数仍是 0．
【例 4】在下列说法中，正确的有
①符号相反的数就是相反数；
②每个有理数都有相反数；
③互为相反数的两个数一定不相等；
④正数和负数互为相反数．
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】A
四、绝对值
1. 绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记住 a ．
2. 绝对值的意义
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是正数，一个负数的绝对值是正数，0 的绝对值是 0．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
【例 5】如果两个数不相等，在下列四种情况中，绝对值肯定相等的是A．两个数都是正数 B．两个都是负数
C．两个数一正一负 D．两个数互为相反数
【答案】D
【解析】A、如有两个正数 2 与 3，2≠3，但|2|≠|3|，故错误； B、如有两个负数–2 与–3，–2≠–3，但|–2|≠|–3|，故错误；
C、如有两个数 2 与–3，2≠–3，但|2|≠|–3|，故错误；
D、正确．故选D．
五、有理数大小的比较
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数；即正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
【例 6】下列有理数的大小比较，正确的是
A．–5>0.1 B．0> 1
5
C．–5.1<–4.2 D．0< - 1
4
【答案】C
【解析】所有负数均小于 0，所有正数均大于 0，所以 A、B、D 均不正确；C 选项中，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，正确，故选C．
【名师点睛】
1. 整数可以看作分母为 1 的分数．无限循环小数可以写成分数形式，所以是有理数．
2. 有理数都可以用数轴上的点表示，而且是唯一确定的点，但数轴上的点并不都是表示有理数．
3. 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小，两个数的大小关系反映的就是在数轴上的两个点的左右关系，两个数的绝对值的大小反映的是数轴上的两个点
到原点距离的大小．
1．下列说法正确的是
A．0 不是正数，不是负数，也不是整数B．正整数与负整数包括所有的整数C．–0.6 是分数，负数，也是有理数
D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数2．下列说法中错误的是
A．互为相反数的两个数和为 0 B．一个数的相反数必是 0 或负数
C． 3 的倒数的相反数是- 3
D．负数的相反数是正数
2 2
3. 下列说法正确的是
A．数轴是一条直线 B．表示–9 的点一定在原点的右边
C．数轴上的原点表示 0 D．–3 小于–7 4．下列说法正确的是
A．两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等B．任何一个数的相反数与这个数一定不相等
C．两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等
D．两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数5．在数轴上如果点 a 表示到原点距离等于 5 的数，则 a+2 等于
A．7 B．–7 C．–3 D．–3 或 7
6. 1 的绝对值是
2
A．–2 B．2 C． - 1 2
D． 1
2
7. 若–2 的绝对值是a ，则下列结论正确的是
A. a = 2
B. a = 1
2
C. a = -2
D. a = - 1
2
8. 当a = 1时， | a - 3 | 的值为
A．4 B．–4 C．2 D．–2 9．下列说法中不正确的是
A. –3.14 既是负数，分数，也是有理数
B．0 既不是正数，也不是负数，但是整数
C．–2000 既是负数，也是整数，但不是有理数
D．0 是正数和负数的分界
10. 下列各组数中，互为相反数的是
A．|+2|与|–2| B．–|+2|与+(–2) C．–(–2)与+(+2) D．|–(–3)|与–|–3|
11. –3 的绝对值是
A．–3 B．3 C． 1 3
D． - 1
3
12．4 的相反数是 ，–3 的倒数是 ，–5 的绝对值是 ．
13．在数轴上，表示数–3，2.6， - 3 ，0， 4 1 ， -2 2 ，–1 的点中，在原点左边的点有 个．
5 3 3
14. 相反数等于它本身的数是 ，相反数大于它本身的数是 ，相反数小于它本身的数是 ，相反数不小于它本身的数是 ．
15. -5 8 的相反数为
9
．学！科网
16. 2m 是 的相反数．
17. p- 3 的相反数为 ．
18. 的绝对值是 2017，0 的绝对值是 ．
19. 绝对值等于3 1 的数是
2
，他们互为 ．
20. 一个数的绝对值是指在 上表示这个数的点到 的距离．
21． | -8 | + | -2 |= ．
22．已知 a、b 互为相反数，求a + b + 2017 ．
23．化简：（1） -(-3) ；（2） +(-6) ；（3） -[-(-2017)] ．
24．已知│x+y+3│=0，求│x+y│的值．
25. 把下列各数填入它所属于的集合的圈内．
15， - 1 ，–5， 2 ， - 13 ，0.1，–5.32，–80，123，2.333．
9 15 8
26. 画数轴，并在数轴上描出表示下列各数的点：
1.5，–2，2，–2.5， 9
2
- 2 ，0
3
27. 数轴上一点从原点向正方向移动 3 个单位长度，再向负方向移动 5 个单位长度，此时该点表示的数为
A．8 B．–2 C．–5 D．2
28. 如果–2 与 2m 互为相反数，那么 m 等于
A．1 B． 1
2
C．2 D．–2
29. 在数轴上点 A 表示–4，如果把原点 O 向正方向移动 1 个单位，那么在新数轴上点 A 表示的数是
A．–5 B．–4 C．–3 D．–2
30. 下列说法错误的是
A. –0.5 是分数 B．零不是正数也不是负数
C．整数与分数称为有理数 D．0 是最小的有理数
31. 设 a 为有理数．则 a–|a|的值
A. 可能是正数 B．必是正数
C．不可能是正数 D．可能是正数，也可能是负数32．下列说法错误的个数是
①绝对值是它本身的数有两个，是 0 和 1；
②任何有理数的绝对值都不是负数；
③一个有理数的绝对值必为正数；
④绝对值等于其相反数的数一定是非负数．
A．3 B．2 C．1 D．0 33．实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简： |a - b|-|c - a|+|b - c|- | a | 的结果是
A．a–2c B．–a C．a D．2b–a 34．数轴上有两点 A、B，若 A 表示–3 且 AB=2，则点 B 表示的数是 ．
35. 若 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，则 2a+2b+2017cd= ．
36. 有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示：化简|a–b|–（–a）–|b|= ．
37. 在数轴上 A 表示– 5 ，点 B 表示 3 ，则点
离原点的距离近些．
6 4
38. 写出下列各数的相反数：
3， 1 ，0， -3 1 ，–1.5
4 2
39. 工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数，低于标准重量的克数记作负数，现对 5 个乒乓球称重情况如下表所示，分析下表，根据绝对值的定义，判断哪个球的重量最接近标准重量？
代号
A
B
C
D
E
超标情况
0.01
–0.02
–0.01
0.04
–0.03
40．（2018•重庆）下列四个数中，是正整数的是
A．–1 B．0 C． 1 2
D．1
41．（2018•连云港）–8 的相反数是
A．–8 B． 1
8
C．8 D．– 1
8
42．（2018•泰州）–（–2）等于
A．–2 B．2 C． 1 2
D．±2
43．（2018•青岛）如图，点 A 所表示的数的绝对值是
A．3 B．–3 C． 1 3
D．− 1
3
44．（2018•南京）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数： ．
1. 【答案】C
【解析】A．0 不是正数也不是负数，0 是整数，故A 错误；
B．正整数于负整数不包括 0，故 B 错误；
C．–0.6 是分数，负数，有理数，故C 正确；
D．0 是最小的自然数，故D 错误； 故选C．
2. 【答案】B
【解析】正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 0，故一个数的相反数不一定是 0
或负数，也可能是正数．故选B．
4. 【答案】D
【解析】A，如 2 和–2 不相等，但两个数的绝对值相等，都是 2，故本选项错误；B，0 的相反数还是 0， 故本选项错误；C，两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数相等或互为相反数，故本选项错误；D， 两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数，正确．故选D．
5. 【答案】D
【解析】根据题意得：|a|=5，即 a=±5，则 a+2=7 或–3．故选D． 6．【答案】D
【解析】根据“一个正数的绝对值是它本身”求解即可，∴ 1 的绝对值是 1 ，故选 D．
2 2
7．【答案】A
【解析】∵ -2 的绝对值表示-2 到原点的距离，∴ -2 的绝对值是2 ，即a = 2 ，故选 A． 8．【答案】C
【解析】本题考查的是绝对值的定义，根据绝对值的定义即可解答．当a = 1时，| a - 3 |=|1 - 3 |= 2 ，故选
C．
9．【答案】C
【解析】选项A、B、D 说法均正确，C 中–2000 是有理数，选项 C 说法不正确，故选 C． 10．【答案】D
【解析】A，|+2|=2，|−2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；B，−|+2|=−2,+(−2)=−2，故这两个数相等，故此选项错误；C，−(−2)=+(+2)=2，这两个数相等，故此选项错误；D，|−(−3)|=3，−|−3|=−3，这两个数是互为相反数，故此选项正确．故选D．
13. 【答案】4
【解析】数轴上，表示负数的点在原点的左边；表示正数的点在原点的右边．本题中的负数有–3，- 3 ，
5
-2 2 ，–1，共 4 个，所以在原点左边的点有 4 个．学！科网
3
14. 【答案】0；负数；正数；非正数
【解析】0 的相反数是 0，负数的相反数比本身大；正数的相反数比本身小．
15. 【答案】5 8
9
【解析】-5 8 的相反数是-(- 8 = 5 8 ．
5 )
9 9 9
16. 【答案】-2m
【解析】在“ 2m ”前添加一个“–”即可得到它的相反数-2m ．
17. 【答案】3 -p
【解析】将“ p- 3 ”用括号括起来，再在前添加一个“–”即可得到它的相反数-(p - 3) = 3 - p ．
18．【答案】±2017 ，0
【解析】因为 2017 = 2017 ， -2017 = 2017 ，故±2017 的绝对值等于 2017，0 的绝对值是 0．
21. 【答案】10
【解析】| -8 | + | -2 |= 8 + 2 = 10 ．
22. 【答案】2017
【解析】因为 a、b 互为相反数，所以a + b = 0 ，所以a + b + 2017 = 0 + 2017 = 2017 ．
23．【答案】（1）3；（2）–6；（3）–2017
【解析】（1） -(-3) = 3 ；（2） +(-6) = 6 ；（3） -[-(-2017)] = -2017 ．
24. 【答案】3
【解析】∵ x + y + 3 = 0 ，∴ x + y + 3 = 0 ，∴ x + y = -3 ，∴ x + y = 3 ．
25. 【答案】答案详见解析．
【解析】
26. 【答案】答案详见解析．
【解析】
27. 【答案】B
【解析】0+3–5=–2．数轴上的点向正方向平移 1 个单位，则表示的数比原来增加 1．数轴上的点向正方向平移 a 个单位，则表示的数比原来增加 a；数轴上的点向负方向平移 b 个单位，则表示的数比原来减少 b．
28. 【答案】A
【解析】∵–2 与 2m 互为相反数，∴–2+2m=0，∴m=1．故选 A． 29．【答案】A
【解析】数轴的原点向正方向平移 a 个单位，则原数轴上的点表示的数比原来减少 a；数轴的原点向负方向平移 b 个单位，则原数轴上的点表示的数比原来增加 b．因此本题中，在新数轴上点 A 表示的数是–4–1=–5．
30. 【答案】D
【解析】A、–0.5 是分数，正确； B、零不是正数也不是负数，正确； C、整数与分数称为有理数，正确；
D、0 不是最小的有理数，故本选项错误； 故选D．
31. 【答案】C
【解析】当 a>0，a–|a|=a–a=0；当 a=0，a–|a|=0–0=0；当 a<0，a–|a|=a+a=2a． 所以 a–|a|的值为 0 或负数．故选 C．
32. 【答案】A
【解析】①，绝对值是它本身的数有正数和 0，故①错误；②，任何有理数的绝对值只能是 0 或正数， 都不是负数，故②正确；③，0 的绝对值是 0，但 0 不是正数，故③错误；④绝对值等于其相反数的数是负数和 0，负数和 0 统称非正数，故④错误．综上，错误的说法有 3 个，故选A．
33. 【答案】C
【解析】由数轴上 a、b、c 的位置关系可知：a<b，c>a，c>b，a<0，∴a–b<0，c–a>0，b–c<0，∴
|a - b|-|c - a|+|b - c|- | a | =b–a–（c–a）+（c–b）–（–a）=b–a–c+a+c–b+a=a．故选C． 34．【答案】–5 或–1
【解析】当 B 点位于 A 点的左边时，点 B 表示的数是–5，当 B 点位于 A 点的右边时，点 B 表示的数是
–1．故答案是：–5 或–1．
35. 【答案】2017
【解析】根据题意得：a+b=0，cd=1，则原式=2（a+b）+2017cd=0+2017=2017．故答案为：2017．
36. 【答案】0
【解析】|a–b|–（–a）–|b|=b–a+a–b=0，故答案为：0．
39. 【答案】A 球和 C 球
【解析】本题考查的是绝对值的性质．由已知和要求可知，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数．∵ 0.01 = 0.01 ，-0.02 = 0.02 ，-0.01 = 0.01 ，
0.04 = 0.04 ， -0.03 = 0.03 ，∴A 球和 C 球的绝对值最小，∴A 球和 C 球的重量最接近标准重量．
40. 【答案】D
【解析】A、–1 是负整数，故选项错误；
B、0 是非正整数，故选项错误；
C、 1 是分数，不是整数，错误；
2
D、1 是正整数，故选项正确． 故选D．
41. 【答案】C
【解析】–8 的相反数是 8，故选 C．
42. 【答案】B
【解析】–（–2）=2，故选 B． 43．【答案】A
【解析】|–3|=3，故选A． 44．【答案】–1
【解析】一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数 0 或负数．故答案为：–1．
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