数学史(第0章绪论).doc

第0章 数学史——人类文明史的重要篇章
主题：数学史的文化特点
1 数学史研究的主要内容：人文积淀、数学源流、思想方法。
2 数学史的文化特点：
（1） 数学史构成了科学史最富有理性魅力的题材。
数学家、科学家是如何认识和如何做数学的？数学是如何成长壮大的？（数学是人类理性认知的力量源泉）
（2） 数学发展的累积性，使数学体系庞大。（数学还是统一的吗？数学脉络是什么？学习数学学习什么？）
3数学的文化特点：
1 抽象性（形式化）、精确性（逻辑性）、理论性（公理化）
2 模式化（算法）、应用性（描述世界的方式）
3 创造性、艺术性、文化性
5 什么是数学？
（古希腊）亚里士多德：数学是量的科学。
（17C）笛卡儿：凡是研究顺序与度量为目的的科学都与数学有关
（19C）恩格斯：数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学
（20C初）罗素：形式化定义，不管研究的内容是什么能否理解，只管逻辑是否正确。
（20C50－60）前苏联数学家：修正恩格斯定义为：量之间可能的关系。
（20C80）美国数学家：数学是关于模式的科学
第1章 人类早期文明与数学发展
第一节 数与形概念的产生
不同文明的起源
古希腊、埃及：测地与测量；古印度：宗教；古中国：天文观测
第二节 河谷文明和早期数学
1河谷文明：沿着著名的河流和谷地地区发展的人类早期的文明，包括埃及、美索不达米亚、中国和印度。特点：河流与平原；地域：西方与东方
2 埃及数学：
背景：数学是埃及文明的一部分。（埃及金字塔为埃及的数学褶褶生辉，几何学为尼罗河边的金字塔催生）
文献：埃及数学的文献主要是两部纸草书。主要记载关于现实生活的数学问题。（两部纸草书：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。两部纸草书都是用僧侣文写成的。前者包括84个数学问题，后者包括25个数学问题。）
成果：
代数：（象形文字—僧侣文）十进制记数系统（但没有位值制）；单位分数；四则运算；一、二次方程。特点：运算复杂
几何：
几何内容大都与土地面积和谷堆体积计算相关。可以找到关于“正方形、矩形、等腰梯形”等图形的面积公式；对圆面积给出了很好的近似，初等三角的萌芽等。其中给出了“平截头方锥体”的体积公式是一个了不起的成果（最伟大的金字塔）。
小结：埃及数学的特点
埃及数学产生于生产实践，以问题的形式来表现，是实用数学。算术运算繁琐复杂，几何计算结果粗糙。古埃及还没有命题证明的思想，不过常常对问题的数值结果加以验证。埃及数学具有与王朝更迭相应的相对静止的特性，缺乏发展性。
3 美索不达米亚数学的早期发展
知识理解：
背景：两河流域灌溉的美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一，那里创造了伟大的“美索不达米亚”文明。
文献：泥版文书（楔形文字）。
时期：主要集中在古巴比伦时期（公元前2千头几个世纪）和新巴比伦和波斯王朝时期（公元前1千后几个世纪）。
数与代数：
记数系统：60进制为主的记数系统，采用了位置制，位值原理用于分数；计算：发展算法，数表；代数：熟练处理二次三项式，简单的三次方程，使用代换方法。
几何：
给出了一系列几何图形和形体的面积、体积计算公式，多采用近似公式；对圆面积有很好的近似；会使用勾股定理；普林顿322所讨论的“整勾股数”表现了理论的倾向。
小结：美索不达米亚文明中数学的特点：
美索不达米亚文明创造了辉煌的数学成果。不过，与埃及数学一样这些成果主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期。几何学主要是计算，属于算术的应用。
第2章 古代希腊数学
主要成就：
1 论证数学的鼻祖及主要贡献：
泰勒斯（前625－前547） 泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500） 毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数” （这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。（4）发现了不可公度量。
2 雅典时期的希腊学派活动
这一时期，雅典是希腊的政治经济文化中心，学派林立（这些学派有哪些？）。这一时期的主要成就表现在下面的一些方面：
一 三大几何问题：
化圆为方 倍立方体 三等分任意角（你知道这些问题的具体含义吗？）
在化圆为方的研究中诡辩学派的代表人物安提丰产生了“穷竭法”的思想而被称为“穷竭法”的始祖。关于被倍立方体问题，柏拉图学派的梅内赫莫斯发现了圆锥曲线。但是，真正对问题的解决是到了19世纪，数学家才弄清三大问题是不可解的。
二 无限的早期探索：
主要以芝诺悖论为代表，提出了四个悖论，（具体是什么？）
3 亚历山大学派——希腊数学黄金时代（前338年－前30）（重点）
主要人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯
欧几里得.希腊论证几何学的集大成者。
《原本》是数学史上的一座丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想。
阿基米德（前287－前212）
阿基米德的成就涉及数学、力学和天文学，有流传于世的丰富文稿，其中数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题
阿波罗里奥斯（前262－前190）
主要贡献涉及几何学和天文学，最主要的是数学成就，创立了完美的圆锥曲线理论，直至17世纪笛卡儿和帕斯卡之前无人超越。
4 亚历山大后期（公元30年－公元6世纪）和希腊数学的衰落
从论证数学转向实用的数学
海伦：主要讨论几何图形的面积和体积计算，如海伦公式（阿基米德发现，命名是海伦公式）。
建立三角学：代表人物是托勒枚《大成》：弦表和托勒枚定理，他是第一个有明确的构造原理并流传于世系统的三角函数表。
5 本章研讨题目
1、 希腊文化与理论数学的起源
2、 “穷竭法”的历史起源及其价值
3、 “圆锥曲线”的历史起源
4、 “公理化”思想方法的起源与发展
5、 托勒枚“弦表”算法与三角公式
第3章 中世纪的中国数学
中国古代数学成就与特点：
1中国传统数学的主要特征是什么？几次发展高潮是哪几个时期？
2《周髀（bi）算经》有哪些主要贡献，谈谈赵爽的勾股定理的证法。
3《九章算术》有哪些突出贡献及重要意义？
4 刘徽有哪些主要数学贡献及其意义？
5 祖冲之父子的主要数学贡献及其意义？
6隋唐时期中国数学有哪些发展？
7 宋元“四大家”的主要贡献有哪些及其重要意义？
8 概述中国传统数学在高次方程数值求解的发展。
9 概述中国传统数学在方程方向的发展。
10 中国传统数学落后的原因有哪些？
主要内容：
我国古代数学具有的特点是:实用性;算法化;模式化
中国数学，从公元前后至公元14世纪，先后经历那三次发展高潮，即两汉期、魏晋南北朝时期和宋元时期，其中宋元达到那顶峰。
两汉时期（西汉：前206－23，东汉：25－220）：
两汉时期的数学主要沿着实用与算法的方向发展。
《周髀算经》：公元前2世纪之前，是我国最早的一部数学著作，涉及数学和天文学，数学知识主要有分数运算、勾股定理及其在天文学上的运用，其中突出的论述是勾股定理。中国最早证明勾股定理是公元3世纪三国时期的赵爽，运用面积出入相补原理证明。
《九章算术》：中国古典数学最重要的数学著作，最早形成中国古典数学体系。成书在公元前1世纪之前。据考证，《九章算术》是从先秦至西汉中期，经过众多学者编纂、修改二成的一部数学著作。
魏晋南北朝时期（220－581）：
其中最杰出的代表有刘徽和祖冲之父子。
刘徽，3C，魏晋人，《九章算术注》，其中包含许多独立的创造，最著名的是“割圆术”和体积理论。
割圆术：作为计算周长、面积以及圆周率的基础，割圆术的要旨在于用圆内接正多边形去逼近圆.刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。
“出入相补”：一个几何图形（平面和立体的）被分割成若干个部分后，面积或体积的总和保持不变。
祖冲之父子：重要贡献是球的体积的推导和圆周率计算，《缀术》。
圆周率：精确到6位有效数字，获得了小数点后的七位的上下限。约率，密率。
球体积公式推导：祖氏原理（西方称卡瓦列尼原理）。
问题：阿基米德和祖氏都得到了正确的球体积公式，谁更早得出？
隋唐时期：主要是数学教育制度的确立和数学典籍的整理。
算经十书：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱肩算经》、《夏侯阳算经》、《五曹算经》、《五经算经》、《缀术》、《辑古算经》。
《孙子算经》：其中关于“物不知数”问题是关于一次同余组一般解法剩余定理的特殊形式，这个问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。问题：中国剩余定理最早出现在哪部书中？
《张邱建算经》：讨论不定方程问题。
《辑古算经》：最早讨论三次方程组代数解法。
宋元时期（960－1386）：
宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。
高次方程数值解是宋元数学的突出成就之一。贾宪三角（杨辉三角，帕斯卡三角1654）和增乘开方法（霍纳算法1819）；
秦九韶（约1202－1261），四川安岳人。高次方程数值求解集大成者。
“大衍总数术”，是一次同余式的一般解法，，这个解法后来被称着中国剩余定理。在几何方面的另一项杰出成果是“三斜求积术”。
《数书九章》的“正负开方术”,“大衍求一术”达到了当时数学的最高成就。
朱世杰（1300前后）：是一位平民数学家和数学教育家。
《算学启蒙》（1299）（通俗数学著作）和《四元玉鉴》（1303），突出的成就有“招差数”（即高次内插法），“垛积术”（高阶等差级数求和），“四元术”（多元高次联立方程组与消元解法）。
李冶，《测圆海镜》（1248）《益古演段》（1259），系统阐述天元术（一元方程的解法），天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。反映了代数符号化的尝试。
元末以后，中国传统数学骤转衰落。落后的原因主要有：封建社会的社会局限性阻碍了数学的发展，数学的社会地位低下，数学发展缺乏社会的动力和新思想的刺激。数学内部的局限性也限制了数学的发展：筹算系统的复杂性；缺乏演绎的算法倾向也难以升华为现代数学。
第4章 印度与阿拉伯数学
线索：
1印度数学发展的三大重要时期是什么？
2 《绳法经》有哪些主要数学成果？
3 “巴克利沙手稿”有哪些主要数学成果？
4 “0”号的发明和传播过程是怎样的？
5 “悉檀多”时期的印度数学有哪些方面的成果？
6 “悉檀多”时期的主要代表人物及其数学成果？
7 花拉子米《代数学》上的主要数学成果？
8 阿拉伯在高次方程数值求解上有哪些主要数学成果？
9 阿拉伯在三角学和几何学上有哪些发展？
主要内容：
一、印度数学：
1 印度数学三个重要时期：达罗吡荼人时期（约前3000－前1400），史称河谷文化；吠托时期（约前10世纪－前3世纪）；悉檀多时期（5世纪－12世纪）。
吠托时期
《绳法经》：最早可考文字是婆罗门教的经典《吠陀》，其中关于庙宇、祭坛设计与测量的部分为《绳法经》（《测绳法规》）（约前8世纪－前2世纪），包括几何和代数计算问题，如勾股定理、矩形对角线性质、相似直线形的性质以及一些作图法等。几何计算导致了求解一、二次代数方程问题，用算术方法给出了求解公式。
“巴克利沙手稿”：公元前2C－3C的印度数学。这一时期的“巴克利沙手稿”涉及丰富的数学内容。特别是：特别是其中使用了一些数学符号，出现了完整的十进制数码，用点表示0的符号，后来变为用今天通用的符号。
0是印度数学的一大发明，其他文化中0的意义只在位值记数中的意义，而印度则把它当成一个数。包含有零号的印度数码和十进制在11世纪臻于成熟。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又传入欧洲，最迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍。（“0”号的传播过程）
“悉檀多”时期
这一时期是印度数学的鼎盛时期，主要内容是算术和代数，著名数学家有：阿耶波多、婆罗摩笈多、马哈维纳和婆什迦罗。
阿耶波多（476－约550）：《阿耶波多历数书》（499），突出的是对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法，最大贡献建立了丢番图方程求解。
二、阿拉伯数学：
代数：阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。
（一）花拉子米（约783－850）：花拉子米是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家。
1花拉子米的《代数学》
（1）确立《代数学》名称；
（2）探讨代数方程的一般解法；
（3）确立代数学的主要对象：方程。
（二）奥马.海亚姆（1055－1092）：11C
用圆锥曲线解三次方程
另外：纳西尔.丁和阿尔.卡西给出了开高次方程的一般性算法
（三）三角学与几何学
继承并推进了希腊的三角术，对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲
1 更高精度的三角函数表的编制：海拜什.哈西卜，比鲁尼
2 对希腊三角学系统化：阿尔.巴塔尼创立了系统的三角函数术语，芬克引入正割和余割，艾布.瓦法和比鲁尼丰富了三角公式
特点：追求三角的算术性
3 对第五公设的关注
第5章 近代数学的兴起
主题：
近代数学发展的显著变化
线索问题：
1 斐波那契的主要数学贡献及其意义是什么？
2在三四次方程求解方面哪些数学家作出了贡献？
3 代数符号化的发展过程是怎样的及有哪些代表人物？
4 欧洲三角学的发展过程中哪些主要人物作出了贡献？
5 射影几何的发展过程及其代表人物是什么？
6 对数的发明及其代表人物是什么？
7 解析几何的诞生及其意义？
二 文艺复兴时期的欧洲数学的发展
（一）代数学：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。
1 三、四次方程的求解和有关代数方程理论的探索
（1） 三次方程的根式解：
费罗（1465－1520）1515年发现那形如的三次方程的代数解法；塔塔尼亚发现形如的解法。
卡尔丹（1501－1576）将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，并补充了几何证明。（1545年出版《大法》（Ars Magna））费拉里（卡尔丹学生）解决那一般的四次方程求解，不久也被写入《大法》中。
（2）复数引进：卡尔丹遇“不可约”，邦贝利引进虚数。
（3）代数基本定理：吉拉德推断，18C高斯最早证明
（4）根与系数的关系：卡尔丹、韦达、牛顿、格列高里
（5）因式分解定理：韦达
2 符号化的发展
过程：韦达引进，吉拉德、奥特雷德继承、韦达改进
意义：韦达系统地引入数学符号，数学符号体现了数学学科的高度抽象与简练，从而导致了代数性质上产生重大变革。他把符号代数称作“类的算术”，代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用广泛。
（二）三角学的发展
1 精确正弦表：波伊尔巴赫
2将三角学独立天文学：雷格蒙塔努斯
3 系统化：韦达
（三）射影几何的发展
1 透视学：阿尔贝蒂《论绘画》（1511），数学透视法；
2 射影几何：德沙格（1591－1661），从数学上直接给予解答的第一个人，包含投影变换下的交比不变性质，从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。帕斯卡（1623－1662），投射与取景法，帕斯卡定理。
计算技术与对数：苏格兰数学家纳皮尔（1550－1617），发现了对数方法。瑞士工匠比尔吉（1552－1632）1600年也独立地发明了对数方法简化天文计算。
解析几何：近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明，其基本思想是在平面上引进“坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题。解析几何的前驱是法国数学家奥雷斯姆（1323－1382），《论形态幅度》，解析几何的真正发明者还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿合费马，他们出发点不同，但殊途同归。
笛卡儿（1596－1650）：1637发明解析几何，出发点是一个著名的希腊问题——帕波斯问题。笛卡儿提出了一系列新颖想法，和方法论原则，提出“通用数学的思路”：任何问题——数学问题——代数问题——方程求解。
费马：费马的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作，《论平面轨迹》。
第7章 微积分的创立
二 微积分的创立
1 牛顿创立微积分的过程：
出发点：1664 笛卡儿《圆法》，1665 发明“正流数术”（微分），1666 “反流数术”（积分），《流数简论》（1666年）是历史上第一篇系统的微积分文献。
（3）特点：微积分具有运动学背景
（4）意义：在这之前，面积总是被看成无限小量不可分量之和，牛顿这是从确定面积变化率入手通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在以往场合也被人模糊提出过，但没有把它作为一种系统的理论总结出来，而只有牛顿以敏锐的眼光和能力将这种互逆关系明确作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。牛顿是自古希腊以来将求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。微积分算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，表现了此类算法的极大的普遍性和系统性。
（5）发展：
《运用无限多项方程的分析》（简称《分析学》）（1699），
《流数法与无穷级数》（1671），
《曲线求积术》（1691）
三篇论文反映了微积分学说的发展过程，并对于微积分的基础先后给出不同的解释。
（6）发表：《原理》
2 莱布尼茨创立微积分的过程
其人：莱布尼茨（1646－1716）：
（1）起点：特征三角形
（2）建立：
（3）分析微积分：形式化
（4）有关文献：
（5）其他数学贡献：
三 比较
背景：运动背景几何化；几何背景形式化
方法：综合方法；分析方法
形式：和力学运动学结合在一起；与几何背景抽象出来
思考：微积分创立有什么意义
第8章 分析时代
线索问题：
1 无限小算法推广的两条路线及其成果，两条路线的特点是什么？
2 欧拉的主要数学贡献及其意义是什么？
3微积分深入发展的方向：积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念的深化、微积分的严格化的含义是什么？
4 18世纪微积分应用的发展特点，新分支形成过程及基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、变分法等是什么？
5 概述微分几何的发展、代数的发展、数论的发展。
主要内容：
恩格斯说：“人类精神的最高胜利”。微积分的产生推动了许多新的数学分支产生，形成了“分析”这样一个在观念和方法具有鲜明特点的数学领域。18世纪是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
一、无穷小算法发展的两条路线：一是英国一批数学家以牛顿的流数术为出发点的微积分应用方向。二是欧洲大陆一批数学家沿着莱布尼茨路线的分析方向。
英国的优秀代表有：泰勒（泰勒公式，是微积分进一步发展的有力工具）、麦克劳林（微积分的形式化努力，由于其几何传统没有成功，旋转椭球体的引力定理）、棣莫弗、斯特林等。他们获得了许多微积分算法的成果，并且也向微积分形式化方向但由于几何传统而不成功。
欧洲大陆：新分析方向是在莱布尼茨的后继者推动下发展。雅各布.伯努利和约翰.伯努利，他们的工作构成了现在初等微积分的主要内容。18世纪微机分最重要的贡献是欧拉作出的。欧拉（1707－1783），《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》是微积分学史里程碑式的工作，欧拉引进了一批标准的符号，对分析表述的规范化起了很重要的作用。除此之外，18世纪推进微积分的还有法国学派，代表人物又克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。
二、微积分发展的几个方面：
（1）积分技术与椭圆积分：变量代换和部分分式等方法；椭圆积分，它们不能用已知初等函数来表示，一般的形式为：后来对椭圆函数的一般研究在19世纪被阿贝尔和雅可比独立地发展成深刻的椭圆函数理论。
（2）微积分向多元函数的推广：
（3）无穷级数理论：调和级数，欧拉常数，悖论，级数收敛判别法则
（4）函数概念深化：函数在17世纪引入，牛顿“生成量”，莱布尼茨首先使用“函数”（function），这时函数堪称“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”，约翰.伯努利，函数概念公式化，欧拉将伯努利将函数解析化，他将函数定义为：变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。函数概念大大丰富了，发现了一系列的超越函数，比如函数和函数。
（5）微积分的严格化尝试：代表人物是：达朗贝尔、欧拉、拉格朗日。
在严格化过程中，英国牛顿的后继者由于坚持几何论证而显得软弱无力，而欧洲大陆数学家则力图以代数化来克服微积分基础的困难。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。
19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西（1789-1851）。柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。
“分析算术化”的主将是维尔斯托拉斯，因为分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。创造了一套语言，用以重建分析体系。实数理论：戴德金分割，康托尔的“基本序列”。康托尔建立集合论。
（6）微积分的应用与新分支
这些分支有如下：
常微分方程，偏微分方程，变分法
三、18世纪的几何与代数
1微分几何
2代数
（1）代数基本定理
（2）高次方程根式解
（3）方程组理论
（4）数的认识
数论：费马提出的一些列猜想费马提出的部分定理：
（1）费马小定理：
（2）费马大定理：
第9章 代数学的新生
主要内容：
一、背景：
18世纪末，数学内部提出了一系列问题，其中最突出的有这样几个问题：
（1）高于四次的代数方程的根式求解问题；
（2）欧几里得的几何中平行公理的证明问题；
（3）微积分算法的逻辑基础问题。
二、代数方程根式解突破过程
1 拉格朗日的探索
2 阿贝尔的贡献
3伽罗瓦的贡献
三、“群”的产生及其意义
1伽罗瓦群
2 群概念的发展
3 影响
四 四元数与超复数
1 复数的向量应用
2 复数推广
3 哈密顿的四元数及其意义
五、布尔代数
1 逻辑数学化：从莱布尼茨到布尔
2 数理逻辑的发展
六、代数数论：
在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从高斯在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。
《算术研究》中有三个主要思想：同余理论，复整数理论和型的理论。其中复整数理论正是代数数论的开端，而这个理论又是从高斯对同余理论的研究中派生出来的
高斯特别研究了二次剩余。而关于二次剩余和二次非剩余，有一个著名的定理与之相联系，高斯称之为二次互反律，它最先由欧拉所发现，高斯证明。
第十章 几何学的突破与发展
线索：
1.欧几里得平行公设
2.非欧几何的诞生
3.非欧几何的发展与确认
4.射影几何的繁荣
5.几何学的统一
1、几何学的变革
几何学的基础：现实空间与思维空间。
1.1 微分几何
平面曲线理论17世纪基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。
1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。
1.2 非欧氏几何
“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是后
来的所谓“普莱菲尔公设”（平行公设）
萨凯里第一个获得有关非欧几何有意义的结果，因而推动非欧几何有意
义的进展； 克吕格尔是第一个对“平行公设能由其他公设推出”表示怀疑的数学家；兰伯特是第一个认识到可以通过替换平行公设而展开新几何（非欧几何）研究。这三个人可以看成是非欧几何的先行者。非欧几何的创立者有三位：高斯（德国）、J.波约（匈牙利）和罗巴切夫斯基（俄国）。高斯是最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容的并且可以描述物理空间的正确理论。1832年，匈牙利青年数学家J.波约写成了《绝对空间的科学》文章，三人中，最早和最系统发表自己的研究成果的是罗巴切夫斯基。三人基本思想是一致的。
罗巴切夫斯基非欧几何基本思想是：通过直线外一点，可以引不止一条而至少两条与已知直线平行”作为替代公设，由此出发进行推导而得出新几何定理。这种逻辑上可能的，无矛盾的理论就是非欧几何学。罗巴切夫斯基提出了“平行线”和“不相交直线”。
罗巴切夫斯基非欧几何简称罗氏几何，又叫“双曲几何”（F.克莱因）一些新奇的罗氏非欧几何结论：
1.三角形内角之和小于两直角，并且三内角可以趋向0；
2.不存在面积任意大的三角形；
3.两个三角形的3个角相等则全等。
黎曼几何中三角形的内角和大于二直角。
德国数学家黎曼（1826－1866）：三维空间的内蕴几何，最重要的一种对象是常曲率空间。有以下三种情形：
1.曲率大于0；——黎曼创造的几何
2.曲率小于0；——罗氏几何
3.曲率等于0。——欧式几何
1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。目的：非欧几何与欧氏几何具有相同的真实性。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。
1.3 射影几何
将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。
综合方法。1822年庞斯列（法，1788－1867年）的《论图形的射影性质》，探讨图形在投射和截影下保持不变的性质，阐述了连续性原理、对偶原理。
代数方法。1827年默比乌斯（德，1790－1868年）的《重心计算》中的齐次坐标，1829年普吕克（德，1801－1868年）的三线坐标。
1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置几何学》不借助长度概念就得以建立射影几何。凯莱（英，1821－1895年）和克莱因（德，1849－1925年）在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何。
1.4 统一的几何学
1872年克莱因（德，1849－1925年）在埃尔朗根大学的教授就职演讲《关于近代几何研究的比较考察》——称为爱尔朗根纲领阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。
克莱因简介。
1.5 几何学的公理化
19世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多弱点。1899年希尔伯特《几何基础》，提出了对现代数学影响深远的统一几何学的途径：公理化方法。
希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的三原则：相容性、独立性、完备性

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